1  000000

1

1

F1

F2 F3

In un generico punto P del corpo si ha:

2

Stato di sforzo

Tensore degli sforzi di Cauchy

Esempio:

0

0 0

0 0 0

x xy

yx

 

 

 

 

  

 

 

x

F

  A

3

16

xy yx

T

  d

 

3

Stato di sforzo

l, m ed n coseni direttori della retta normale al piano considerato

     

3

5

Esiste una rotazione di assi per la quale gli sforzi di taglio sono nulli.

Questa configurazione è quella degli sforzi principali:

1 2

3

0 0

0 0

0 0



 



 

 

  

 

 

Per >> tensore idrostatico

6

Stato di sforzo

Si vuole quindi trovare il piano tale che:

7

L’equazione precedente è una equazione omogenea che ammette soluzione solo se il suo determinante è pari a zero (problema agli autovalori) :

Stato di sforzo

Si ottengono quindi 3 radici reali e distinte ognuna delle quali rappresenta lo sforzo in una direzione principale

I coseni direttori definiscono le tre direzioni principali

I coseni direttori si ottengono sostituendo gli sforzi principali nell’equazione omogenea

5

9

ALTRO METODO:

        

 

      

   

xx h xy xz

yx yy h yz

zx zy zz h

   

    

   

  

 

   

  

 

1 ( )

3

h xx yy zz

con       

In questo caso il primo invariante è nullo ed il calcolo si semplifica

10

Stato di sforzo

Altro Metodo: CERCHI DI MOHR

11

Nel caso si conosca già una direzione principale per individuare gli sforzi e le direzioni principali possono anche essere usati i cerchi di Mohr

Stato di sforzo

7

13

14

Stato di sforzo

15

Stato di sforzo

9

17

Trazione pura

18

Cerchi di Mohr

19

Cerchi di Mohr

11

21

22

Cerchi di Mohr

23

Cerchi di Mohr

13

25

26

Deformazione

27