Anno Accademico 2006/2007
Fisica Matematica
Nome:.................................
N. matr.:................................. Ancona,20aprile 2007
1. Un corp o rigidopiano ecostituito da due lamine quadrate omogenee ABCD
edAEFG,dimassarisp ettivamenteMedmelatiLedl . Calcolarelamatrice
d'inerzia nelsistema di riferimentoO (x;y;z)mostrato in gura,sfruttandoil
pi u p ossibile il teorema di Huygens; individuare, sulla base delle simmetrie
materiali, la terna principale d'inerzia con origine in O e calcolare i momenti
principali d'inerzia.
m,l
x y
B A
O=C D
E G F
M,L
2. Sia F(x;y;z) = F
x
(x;y;z)
^
i+F
y
(x;y;z)
^
j+F
z
(x;y;z)
^
k un camp o di forze
genericode nito neldominio2R.Quando talecamp osidiceconservativo?
Discutere quindi l'implicazione, nei due sensi, tra conservativita ed irrotazio-
nalita, dimostrandone una parte. Stabilire in ne la conservativita (o meno)
dei due campi di forze
F
1
(x;y)=xy 2
^
i+x 2
y
^
j
F
2
(x;y)=xy
^
i+xy
^
j:
puntimateriali. Particolarizzarle quindialcasodiuncorp origidoconun
asse sso.
(ii) Un'astamaterialep esanteAB dimassamelunghezzalsimuovenelpiano
verticale O (x;y). L'estremo A scorre senza attrito sull'asse x, mentre
l'asta ruota lib eramente attorno ad A. Oltre alla forza p eso, sull'asta
agisconotremolle;duediesse,diugualcostanteelasticak
1
>0,collegano
gli estremiA eB dell'asta risp ettivamente conl'origine Oe con ilpunto
H,proiezione di B sull'asse x,mentrelaterzamolla,di costanteelastica
k
2
> 0, collega B con O . Determinare le con gurazioni di equilibrio
utilizzando leequazioni cardinali della statica.
1. Il sistemae piano,p er cuiI
33
=I
11 +I
22 ,I
13
=I
23
=0. Ciascun elementoe
lasomma delcontributodovuto alquadratodi massaM e di quellodi massa
m. Abbiamo
I M
11
= Z
L
0 Z
L
0 y
2
dxdy= 1
3 ML
2
=I M
22
Peril quadratopiccolo, dobbiamo usare ilteoremadi Huygens:
I m
11
=
1
3 ml
2 ml
2
4
+m
L+ l
2
2
= 1
12 ml
2
+m
L+ l
2
2
=I m
22
Pergli elementi fuori diagonale:
I M
12
= Z
L
0 Z
L
0
xydxdy= 1
4 ML
2
e, usandoilteoremadi Huygensnella suaformulapi ugenerale:
I m
12
=m
L+ l
2
2
Complessivamente:
I
11
= 1
3 ML
2
+ 1
12 ml
2
+m
L+ l
2
2
=I
22
I
33
= I
11 +I
22
=2
I
12
= 1
4 ML
2
+m
L+ l
2
2
e quindi la matriced'inerzia e
I=
0
@
0
0
0 0 2 1
A
Laternaprincipaled'inerziahal'assexlungoladiagonaledeiquadrati(dunque
passa p er O , A ed F), l'asse y ortogonale ad x e passante p er O , l'asse z
coincide con quello dato inizialmente (p erp endicolare al piano della gura).
I momenti principali d'inerzia I
1 , I
2 ed I
3
sono gli autovalori della matrice
d'inerzia, soluzioni dell'equazione
I 0
I 0
0 0 2 I
=0;
valea dire I
1
= ,I
2
=+ edI
3
=2.
2. Calcoliamo i rotori:
rF
1
=
@F
1x
@y
@F
1y
@x
^
k=(2xy 2xy)
^
k=0
rF
2
=
@F
2x
@y
@F
2y
@x
^
k=(x y)
^
k6=0
Essendo entrambi i domini = R 2
, il camp o F
1
e conservativo mentre il
camp o F non loe.
s- ascissadi A
' -angolo dell'asta con laverticale.
Prendendo l'estremo A come p olo p er il calcolo dei momenti, le equazioni
cardinali della staticasono
R e
=0
M e
(A)=0:
Le forze che agiscono sulsistema sono:
- laforza p eso cheagisce sulcentro di massa: F
p
= mg
^
j
- La forza elasticadi costantek
1
che agiscesu A: F
A
= k
1 s
^
i
- Le forze elastiche di costanti k
1 e k
2
che agiscono su B: F
B
=k
1 l cos'
^
j
k
2 h
(s+l sin')
^
i l cos'
^
j i
- La reazione vincolarein A:
A
=
y
^
j.
Le equazioni cardinali della staticadiventano esplicitamente:
mg
^
j k
1 s
^
i+k
1 lcos'
^
j k
2 h
(s+l sin')
^
i+l cos'
^
j i
+
y
^
j=0
(P
0
A)( mg
^
j)+(B A) n
k
1 l cos'
^
j k
2 h
(s+lsin')
^
i l cos'
^
j io
=0
Un p o' di cinematica:
B A = l
sin'
^
i cos'
^
j
P
0
A =
l
2
sin'
^
i cos'
^
j
Sostituendoe scomp onendo:
k
1 s k
2
(s+lsin')=0
mg+k
1
l cos' k
2
l cos'+
y
=0
mg l
2
sin'+l (k
1
lsin' k
2
s)cos'=0
s= k
2 l
k
1 +k
2 sin'
y
=mg k
1
l cos'+k
2 lcos'
l n
mg
2
+l [l (k
1 +k
2 ) k
2
scos']
o
sin'=0
mg
2 +l
k
1 +
k 2
2
k
1 +k
2
cos'
sin'=0
Con gurazioni di equilibrio:
s= k
2 l
k
1 +k
2 sin'
mg l
2
sin' k
1 l
2
cos'sin' k
2
2 l
2
k
1 +k
2
sin' cos'=0
mg 2l
k 2
2
k
1 +k
2 +k
1
cos'
sin'=0
Le primedue con gurazioni di equilibrio corrisp ondonoallora a
sin'=0
1 2
a
cos'= mg
2l
k
1 +k
2
k
1 (k
1 +k
2 )+k
2
2
s= k
2 l
k
1 +k
2 p
1
2
s
0
edesistonosoltantoquando1. Indicandocon'
0
l'angolotalechecos'
0
=
con sin'
0
> 0, abbiamo p er le altre due con gurazioni:
3
= (s
0
;'
0 ) e
4
=( s
0
; '
0 ).
