1. ESERCIZI sui NUMERI REALI Determinare l’estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi. 1. A = {x 2 R | x

1. ESERCIZI sui NUMERI REALI

Determinare l’estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi.

1. A = {x 2 R | x ²  3}

2. B = {|x| | x ² x < 2 } 3. C = { _n+1 ⁿ | n 2 N [ {0}}

4. D = {2 ^{1 k} | k 2 Z}

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

5. Siano A e B sottoinsiemi limitati di R tali che A ✓ B. Allora A. sup A  sup B;

B. inf A  inf B;

C. se A 6= B allora sup A 6= sup B oppure inf A 6= inf B.

6. Sia A ⇢ R tale che inf A = 0 e sup A = 1. Allora A. 1 2 A;

B. esiste a 2 A tale che 0 < a < ¹ ₂ ; C. esiste a 2 A tale che a > ¹ ₂ .

7. Se A ⇢ R `e insieme non vuoto e limitato, allora A. A ammette massimo e minimo;

B. se inf A = sup A allora A `e costituito da un unico punto;

C. se inf A 62 A allora A contiene infiniti punti.

Utilizzando il Principio di induzione, provare le seguenti propriet` a.

8. Per ogni n 2 N il numero n ² + 3n `e pari.

9. Per ogni n 2 N si ha

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1 · 2 + 1

2 · 3 + 1

3 · 4 + ... + 1

n · (n + 1) = n n + 1

10. Per ogni n 2 N risulta n! 2 ^{n 1} dove n! = n · (n 1) · (n 2) · ... · 1 `e detto fattoriale del numero naturale n ^(a) .

(a)

occorrer` a utilizzare il fatto che se n 2 N allora n 1

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