Capitolo 3
Geometria del metodo Gleason Face-milling
Questo capitolo illustra le basi teoriche del processo di generazione Gleason Face-milling; le espressioni geometrico-matematiche introdotte sono quelle implementate dall’Ing. Marco Gabiccini nel codice Hypoid Face Milling (codice DIMNP) in ambiente Mathematica 4.0 ; tale codice, assunti in input i dati necessari sulla geometria degli utensili e sulla cinematica delle macchine, `e in grado sia di descrivere la geometria del pignone e della ruota mediante equazioni parametriche, sia di risolvere la TCA in termini di errore di trasmissione e di bearing contact.
Il capitolo descrive analiticamente la geometria del dente pignone; i procedimenti sono perfettamente identici nella forma a quelli da seguire per l’ottenimento del dente corona. ` E opportuno osservare che, all’atto pratico, le superfici descritte dal modello teorico vengono modellate dall’operazione di rettifica.
La teoria esposta `e oggetto di ricerca da diversi anni, come testimoniato dai lavori [9], [10], [11], [12], [13], [7], [8], [14] e [15].
Prima di procedere, `e opportuno chiarire la notazione adottata per la descrizione compatta delle trasformazioni fra i sistemi di riferimento utilizzati nell’analisi; ci si avvale della definizione di matrice omogenea di roto-traslazione elementare M i (α, d), data dalla seguente espressione:
M i (α, d) =
· R i (α) d 0 T 1
¸
, (3.1)
dove R i (α) (i = 1, 2, 3) rappresenta la matrice di rotazione elementare intorno all’asse i- esimo (i=1, asse x; i=2, asse y; i=3, asse z) e d sono le componenti, nel sistema di partenza, della traslazione che porta l’origine del sistema di partenza a coincidere con quello d’arrivo.
Si ricorda che se la matrice di trasformazione globale viene assemblata pre-moltiplicando
le matrici elementari, le trasformazioni elementari sono fatte rispetto agli assi correnti,
mentre se la matrice globale viene assemblata post-moltiplicando le matrici elementari,
queste rappresentano trasformazioni tutte rispetto alla terna di partenza.
Si ricordano le matrici elementari di rotazione attorno ai 3 assi:
• asse x:
R 1 (α) =
1 0 0
0 cos α − sin α 0 sin α cos α
(3.2)
• asse y:
R 2 (α) =
cos α 0 sin α
0 1 0
− sin α 0 cos α
(3.3)
• asse z:
R 3 (α) =
cos α − sin α 0 sin α cos α 0
0 0 1
(3.4)
In base a questa notazione, quindi, se si vogliono portare a coincidere i vettori di un sistema di riferimento S j con quelli di un sistema di riferimento S k , ruotato dell’angolo α intorno al primo asse (i=1, asse x) e traslato del vettore d di componenti d j in S j , la matrice che riassume tale trasformazione `e semplicemente M 1 (α, d j ) e si pu`o scrivere:
S k = M 1 (α, d j ) S j . (3.5)
Il significato di questa equazione `e che i vettori del sistema di riferimento S k , espressi ancora in S j , sono ottenuti traslando l’origine di S j del vettore d j e poi ruotando intorno all’asse 1 (asse x) dell’angolo α. Questa `e l’interpretazione della trasformazione come spostamento da una posizione iniziale, identificata dal sistema S j , ad una posizione finale, identificata dal sistema S k . Tale interpretazione `e molto usata in campi come la computer graphics perch`e permette una agevole manipolazione degli oggetti in ambiente 3D.
In termini di trasformazioni di coordinate fra vettori omogenei (4x1) R j e R k , cor- rispondenti di r j e r k (3x1) nei sistemi di riferimento, rispettivamente, S j e S k , si pu`o scrivere invece:
R j = A jk R k = M 1 (α, d j ) R k . (3.6) Questo modo di vedere le cose `e invece pi`u diffuso in robotica ed in cinematica.
3.1 Generazione delle superfici del dente
La trattazione esposta in questa sezione ha per oggetto la generazione delle superfici del
generico dente del pignone; gli stessi concetti e le stesse equazioni possono essere applicate
per descrivere la geometria del generico dente della corona.
Partenza Arrivo Versore di rotazione Angolo Vettore traslazione origine
S 1 S b1 k 1 −ψ 1 (ψ c1 ) {0, 0, 0}
S b1 S a1 j b1 (γ m1 − π/2) {0, 0, −∆X D1 }
S a1 S m1 i a1 0 {0, ∆E m1 (ψ c1 ), −∆X B1 (ψ c1 )}
S m1 S c1 k m1 ψ c1 {0, 0, 0}
S c1 S f 1 k c1 ±(3π/2 + q 1 − j 1 ) {S r1 cos q 1 , S r1 sin q 1 , 0}
S f 1 S p j f 1 i 1 {0, 0, 0}
Tab. 3.1: Spostamenti fra i sistemi di riferimento impiegati per la generazione del pignone.
3.1.1 Sistemi di riferimento impiegati nell’analisi
Per simulare i movimenti dell’utensile rispetto al pignone in generazione, si introducono molti sistemi di riferimento ed a prima vista il loro numero potrebbe sembrare eccessivo.
Tuttavia questo viene fatto per scomporre la trasformazione globale in trasformazioni elementari e quindi rintracciabili anche intuitivamente. La loro utilit`a sar`a chiara nel seguito.
I sistemi di riferimento
S m1 = (O m1 ; x m1 , y m1 , z m1 ), S a1 = (O a1 ; x a1 , y a1 , z a1 ), S b1 = (O b1 ; x b1 , y b1 , z b1 ) sono fissi e rigidamente collegati al telaio della macchina utensile.
I sistemi di riferimento mobili sono S 1 = (O 1 ; x 1 , y 1 , z 1 ) ed S c1 = (O c1 ; x c1 , y c1 , z c1 ) e sono rigidamente collegati, rispettivamente, al blank pignone ed alla culla.
Il sistema di riferimento S p = (O p ; x p , y p , z p ) `e il sistema dove viene espressa la superficie generante per il dente del pignone ed `e solidale alla culla.
Nel seguito i versori del generico sistema di riferimento S l saranno indicati con (i l , j l , k l ).
Inoltre i simboli x l , y l e z l saranno usati per indicare i vettori degli assi x l , y l e z l . Se non diversamente specificato si assumer`a sempre valida questa convenzione.
Nella Tab. 3.1.1 si elencano tutti i sistemi di riferimento impiegati nell’analisi e gli spostamenti per passare da uno al successivo. In questa i segni superiori ed inferiori si riferiscono, rispettivamente, alla generazione di un pignone destro e sinistro. In tal proposito, si vedano le Fig. 3.1 e 3.2.
Nel nostro modello, la superficie generante `e costituita dalla traiettoria dai taglienti nel loro moto di rotazione intorno all’asse della fresa i p . Quindi la superficie generante verr`a espressa in partenza, in modo naturale, nel riferimento S p .
Esprimendo le matrici di passaggio fra i vari sistemi di riferimento, ossia traducendo
gli spostamenti elencati in Tab. 3.1.1, si assembler`a la matrice globale di trasformazione
che permette di determinare la famiglia inviluppante per le superfici del pignone.
x y
z
x y
z
q
y
x
y
z
x
z
j
i i
y
O
S
Fig. 3.1: Sistemi di riferimento applicati per il passaggio da S p a S m1 . Illustrazione dei settaggi macchina e dell’installazione dell’utensile per la generazione di pignoni right-hand.
3.2 Movimenti macchina
Le macchine Gleason a controllo numerico (ad esempio la Phoenix 450), hanno la possibi- lit`a di variare con continuit`a la posizione relativa fra gli assi dell’utensile e dello sbozzato ed il loro rapporto di rotolamento durante il processo di generazione. Una descrizione dettagliata dei movimenti macchina che sono all’origine di queste variazioni e che sono estremamente importanti per per poter descrivere correttamente le superfici dei denti, viene data nel seguito.
3.2.1 Modified roll
Le rotazioni della culla e del pignone intorno agli assi di versori k c1 ≡ k m1 e k 1 ≡ k b1 , sono indicate, rispettivamente, con ψ c1 e ψ 1 . Nella implementazione Gleason del processo di face-milling, la rotazione ψ 1 del pignone in generazione `e una funzione polinomiale di quinto grado della rotazione del cradle ψ c1 . Questa caratteristica viene generalmente indicata come modified roll. La relazione che sussiste fra questi due angoli `e:
ψ 1 (ψ c1 ) = m 1c1
·
ψ c1 − (2C)
2 ψ c1 2 − (6D)
6 ψ c1 3 − (24E)
24 ψ 4 c1 − (120F ) 120 ψ c1 5
¸
. (3.7)
Il coefficiente m 1c1 viene detto ratio of roll, mentre i coefficienti 2C, 6D, 24E e 120F
vengono chiamati, rispettivamente, modified roll 2nd, 3rd, 4th e 5th order coefficient. Ci`o
significa che durante la generazione, il rapporto di trasmissione fra culla e pignone non `e
x y
z
x y
z
q
y
x
y
z
x
z
j i
i y
O
S
y
Fig. 3.2: Sistemi di riferimento applicati per il passaggio da S p a S m1 . Illustrazione dei settaggi macchina e dell’installazione dell’utensile per la generazione di pignoni left-hand.
costante ma variabile. Si ha cos`ı un maggiore numero di gradi di libert`a nel controllo della microgeometria superficiale del dente, con il fine ultimo di ottenere migliori condizioni di contatto sotto carico ed una migliore forma del grafico di moto, che porta evidenti benefici in termini di vibrazioni, rumorosit`a ed efficienza della trasmissione.
3.2.2 Posizionamento della testa rotante sulla culla
Il posizionamento della testa rotante sulla culla `e determinata dai parametri S r1 , q 1 , j 1 ed i 1 che sono chiamati, rispettivamente, Radial distance/setting, Basic cradle angle, swivel angle e tilt angle. Il primo parametro, S r1 , controlla la distanza fra l’asse della testa rotante z p e quello della culla z c1 , misurata nel piano x m1 y m1 . Il secondo, q 1 , `e l’angolo compreso fra la congiungente O m1 O p e l’asse x c1 . L’angolo di tilt, i 1 , controlla l’inclinazione dell’asse della testa rotante rispetto all’asse del cradle, a cui, normalmente `e parallelo. L’angolo di swivel, j 1 , controlla la direzione nel piano x c1 y c1 dell’asse y p intorno a cui pu`o venire inclinata dell’angolo di tilt i 1 la testa rotante. E’ importante notare che, se l’angolo di tilt `e nullo, la rotazione j 1 di swivel `e ininfluente sulla posizione della testa rotante sul cradle, dato che questa `e fatta attorno ad un asse che `e ancora parallelo a quello di simmetria della fresa (o mola) e la lascia perci`o invariata.
Il posizionamento della testa rotante sulla culla per la generazione di pignoni con spira-
le destra (right-hand) e sinistra (left-hand) `e mostrato nelle Fig. 3.1 e 3.2, rispettivamente.
x y
z
g
x
y
z
x
y
z
x
y
y
g
D X
D E
D X
O
z
Fig. 3.3: Sistemi di riferimento applicati per il passaggio da S m1 a S 1 . Illustrazione dei settaggi macchina e dell’installazione dello sbozzato.
3.2.3 Posizionamento dell’asse della culla rispetto allo sbozzato
I parametri ∆X B1 , ∆E m1 , ∆X D1 e γ m1 detti, rispettivamente, Sliding base, Blank/Work offset, Machine center to back/cross point e Machine root angle, rappresentano i settaggi macchina durante la generazione del pignone ed influenzano il posizionamento relativo fra il pignone in generazione e cradle e quindi, in ultima analisi, fra ruota e testa rotante.
La posizione dello sbozzato pignone rispetto al sistema di riferimento S m1 `e riportato in Fig. 3.3.
Nella implementazione Gleason del processo di face-milling i settaggi ∆X B1 e ∆E m1 possono, in generale, non essere costanti ma essere funzioni polinomiali dell’angolo ψ c1 di rotazione della culla.
In particolare, lo Sliding base ∆X B1 ha la seguente forma
∆X B1 (ψ c1 ) = ∆X B10 + H 1 ψ c1 + 1
2 H 2 ψ c1 2 + 1
3 H 3 ψ 3 c1 , (3.8)
dove ∆X B10 `e un valore costante, assunto per angolo di cradle ψ c1 nullo, ed i coefficienti H 1 ,
H 2 e H 3 vengono detti, rispettivamente, 1st, 2nd e 3rd order helical motion coefficient. Si
parla di helical motion coefficients perch`e se almeno uno di questi coefficienti `e diverso da zero, la traiettoria tracciata dal generico punto della superficie conica generante dell’head- cutter in un sistema di riferimento assoluto, ad esempio S m1 , `e un’elica. In particolare, tale elica ha passo variabile se almeno uno dei coefficienti di ordine superiore al primo `e non nullo.
In modo del tutto simile al parametro precedente, anche il Blank/Work offset `e una funzione polinomiale dell’angolo di rotazione del cradle nel seguente modo
∆E m1 (ψ c1 ) = ∆E m10 + V 1 ψ c1 + 1
2 V 2 ψ c1 2 + 1
3 V 3 ψ 3 c1 , (3.9) dove ∆E m10 `e un valore costante, assunto per ψ c1 nullo, ed i coefficienti V 1 , V 2 e V 3
vengono detti, rispettivamente, 1st, 2nd e 3rd order vertical motion coefficient. Si parla di vertical motion coefficients perch`e controllano lo spostamento assoluto della testa rotante, dipendente dalla rotazione della culla, in un piano verticale (rispetto ad un osservatore che sta in piedi accanto alla macchina utensile).
3.3 Tipologie di utensili
Esistono vari tipi di taglienti (o di forme delle mole) che vengono montati sulla testa rotante. A seconda della geometria del profilo del tagliente (o della mola) gli utensili possono essere classificati nei seguenti quattro tipi:
1. straight blade;
2. curved blade;
3. straight blade con toprem;
4. curved blade con toprem.
In realt`a, per quanto riguarda il modello matematico `e sufficiente definire le due sole tipologie di utensile 3 e 4, dal momento che la 1 e la 2 possono essere ricavate come casi particolari dalla prime, rispettivamente. Tuttavia, per introdurre in modo pi`u chiaro la geometria dell’utensile partiamo dal caso 1 che `e il pi`u semplice e anche fra i pi`u impiegati a causa della semplicit`a del processo di affilatura e rigenerazione.
3.3.1 Profilo straight blade
In questo tipo di frese (o mole), riportate in Fig. 3.4, sia dal lato concavo che da quello convesso, la lama `e composta da un tratto rettilineo (a) e da un tratto costituito da un arco di circonferenza (b).
Nella rotazione del profilo intorno all’asse della fresa z p quindi, vengono generate (a)
a
b
s
O
X
a
r
x
z
R
l
a
r
l
R
X
a
b
s
x
z O
Convex side Concave side
Inside blade Outside blade
Fig. 3.4: Profili straight blade.
del dente. In particolare la porzione di cono genera la superficie del fianco attivo del dente del pignone, mentre la porzione di superficie torica, che costituisce il raccordo al tip dell’utensile, genera il raccordo alla base del dente del pignone. Per la superficie conica, il generico punto sulla superficie `e individuato dalle coordinate parametriche s p e θ p , mentre per la superficie del toro, da λ f e θ p . La coordinata s p `e sempre positivo, mentre gli angoli α g e λ f sono sempre acuti.
Le superfici del cono e del toro della testa rotante sono indicate nel seguito con apici (a) e (b), rispettivamente.
I fianchi della testa rotante vengono a loro volta indicati con apici (n) e (x) a seconda che si consideri fianco concavo (coNcave), ossia il fianco dell’utensile che va a generare il fianco concavo del pignone o il fianco convesso (conveX), ossia il fianco dell’utensile che va a generare il fianco convesso del pignone.
Profilo straight blade - parte (a)
Le superfici coniche Σ (a) p , nel sistema di riferimento S p , sono espresse dalle seguenti equazioni parametriche
r (a; n) p (s p , θ p ) =
(R (n) p + s p sin α p (n) ) cos θ p (R (n) p + s p sin α (n) p ) sin θ p
−s p cos α (n) p
, s p ∈ [ρ f 1 − sin α (n) p
cos α (n) p
, ¯ s p (θ p )], θ p ∈ [0, 2 π)
(3.10)
e
r (a; x) p (s p , θ p ) =
(R (x) p − s p sin α (x) p ) cos θ p (R (x) p − s p sin α (x) p ) sin θ p
−s p cos α (x) p
, s p ∈ [ρ f 1 − sin α (x) p
cos α (n) p
, ¯ s p (θ p )], θ p ∈ [0, 2 π) (3.11) dove s p e θ p sono le coordinate superficiali, α (n, x) p gli angoli di pressione, rispettivamente, del lato concavo e di quello convesso ed R (n, x) p le distanze dall’asse della mola dello spigolo vivo teorico del tagliente per lato concavo e convesso. In particolare, a partire dal raggio medio R u1 della fresa o della mola e dallo spessore sullo spigolo di testa P w1 (point width) si ricava
R (n, x) p = R u1 ± P w1
2 . (3.12)
Di solito comunque vengono forniti direttamente i valori R (n, x) p , per cui non c’`e la necessit`a di ricavarli a partire dallo spessore P w1 .
Si noti che l’estremo destro dell’intervallo di s p non `e un numero ma una funzione
¯
s p (θ p ). Ci`o implica che non esiste un valore unico della coordinata parametrica che costi- tuisce la condizione limitante per l’estensione verso il tip della superficie del dente pignone.
Questa `e invece `e una funzione di θ p che dipende dalla dimensione dello sbozzato in lavo- razione ed in particolare dalla geometria del face cone. Infatti, l’estensione massima verso il tip della superficie del dente pignone, verr`a determinata dall’intersezione delle superfici dente con il face cone.
Nelle precedenti espressioni ρ f rappresenta il raggio di curvatura al tip dell’utensile che, per il taglio del pignone, halo stesso valore per entrambi i fianchi.
I versori normali alle superfici coniche Σ (a) p sono rappresentati dalle equazioni
n (a; n) p (θ p ) =
cos α (n) p cos θ p
cos α (n) p sin θ p sin α p (n)
(3.13)
e
n (a; x) p (θ p ) =
cos α (x) p cos θ p
cos α (x) p sin θ p
− sin α (x) p
, (3.14)
e sono calcolati, al solito, come
n (a) p (θ p ) = N (a) p
|N (a) p | , N (a) p = r (a) p, s
p× r (a) p, θ
p. (3.15)
Profilo straight blade - parte (b)
La superfici toriche Σ (b) p , nel sistema di riferimento S p , sono espresse dalle seguenti equazioni parametriche
r (b; n) p (λ f , θ p ) =
(X f (n) + ρ f sin λ f ) cos θ p
(X f (n) + ρ f sin λ f ) sin θ p
−ρ f (1 − cos λ f )
, λ f ∈ [0, π
2 − α (n) p ], θ p ∈ [0, 2π) (3.16) e
r (b; x) p (λ f , θ p ) =
(X f (x) − ρ f sin λ f ) cos θ p (X f (x) − ρ f sin λ f ) sin θ p
−ρ f (1 − cos λ f )
, λ f ∈ [0, π
2 − α (x) p ], θ p ∈ [0, 2π) (3.17)
dove λ f e θ p sono i parametri superficiali e le quantit`a X f (n, x) sono date dalle espressioni
X f (n, x) = R (n, x) p ∓ ρ f tan Ã
π
4 − α (n, x) p
2
!
. (3.18)
I versori normali alle superfici toriche Σ (b) p sono rappresentati dalle equazioni
n (b; n) p (λ f , θ p ) =
sin λ f cos θ p
sin λ f sin θ p cos λ f
(3.19)
e
n (b; x) p (λ f , θ p ) =
sin λ f cos θ p sin λ f sin θ p
− cos λ f
, (3.20)
e sono calcolati, al solito, come
n (b) p (λ f , θ p ) = N (b) p
|N (b) p | , N (b) p = r (b) p, s
p× r (b) p, θ
p. (3.21)
Nella Tab. 3.2 si riportano i parametri necessari per definire univocamente il profilo di
un tagliente di tipo straight blade per il lato convesso (conveX). In questa si sono indicati
accanto ai simboli usati nella nostra trattazione, la denominazione Gleason e la rispettiva
posizione nello special analysis file (S.A.F.). Nella Tab. 3.3 si riportano invece i parametri
necessari per definire univocamente il profilo di un tagliente di tipo straight blade per il
lato concavo (coNcave).
Nome del parametro Simbolo usato Nome Gleason Rif. S.A.F. (Record, Item) Cutter point radius R (x) p INP. PT RAD (20, 5)
Blade angle α (x) p INP. BLD ANG (20, 4)
Edge radius ρ (x) f RE (19, 15)
Tab. 3.2: Parametri utensile straight blade per finitura pignone, lato convesso (x).
Nome del parametro Simbolo usato Nome Gleason Rif. S.A.F. (Record, Item) Cutter point radius R (n) p INP. PT RAD (17, 5)
Blade angle α p (n) INP. BLD ANG (17, 4)
Edge radius ρ (n) f RE (16, 15)
Tab. 3.3: Parametri utensile straight blade per finitura pignone, lato concavo (n).
3.3.2 Profilo straight blade con toprem
In questo tipo di frese (o mole), sia dal lato concavo che da quello convesso, la lama `e composta da un tratto rettilineo (a), da un secondo tratto rettilineo con diversa inclina- zione (b) e da un terzo tratto costituito da un arco di circonferenza (c). Questo tipo di profilo `e riportato in Fig. 3.5.
Nella rotazione del profilo intorno all’asse della fresa z p quindi, vengono generate
(a) una porzione di superficie conica, (b) una seconda porzione di superficie conica con
differente angolo di semiapertura e (c) una porzione di superficie torica. Queste sono le
tre sottosuperfici generanti che andranno a ricavare la superficie di ognuno dei fianchi del
dente. In particolare la porzione (a) di cono genera la superficie del fianco attivo del dente
del pignone, mentre le porzioni di superficie (b) conica e (c) torica, che complessivamente
costituiscono un raccordo piuttosto elaborato al tip dell’utensile, generano il raccordo alla
base del dente del pignone. Per quanto riguarda la superficie conica (a), il suo generico
punto `e individuato dalle coordinate parametriche s p e θ p , per la superficie conica (b) del
raccordo, da s f e θ p e per la superficie torica (c) del raccordo, da λ f e θ p . I fianchi della
testa rotante vengono indicati con apici (n) e (x) a seconda che si consideri fianco concavo
(coNcave), ossia il fianco dell’utensile che va a generare il fianco concavo del pignone o il
fianco convesso (conveX), ossia il fianco dell’utensile che va a generare il fianco convesso
del pignone.
a
b
s
O
X
a
r
x
z
R
l
Convex side Inside blade
Concave side Outside blade
s
a
R
c
s
a
b
O
x
z
c
a
a
r
s
s
s
l
R
X
R
Fig. 3.5: Profili straight blade con toprem.
Profilo straight blade con toprem - parte (a)
Le superfici coniche Σ (a) p , nel sistema di riferimento S p , sono espresse dalle seguenti equazioni parametriche
r (a; n) p (s p , θ p ) =
(R (n) f + s (n) tf sin α (n) f + s p sin α (n) p ) cos θ p (R (n) f + s (n) tf sin α (n) f + s p sin α (n) p ) sin θ p
−s (n) tf cos α (n) f − s p cos α (n) p
, s p ∈ [0, ¯ s p (θ p )], θ p ∈ [0, 2 π)
(3.22) e
r (a; x) p (s p , θ p ) =
(R f (x) − s (x) tf sin α (x) f − s p sin α (x) p ) cos θ p (R f (x) − s (x) tf sin α (x) f − s p sin α (x) p ) sin θ p
−s (x) tf cos α (n) f − s p cos α (n) p
, s p ∈ [0, ¯ s p (θ p )], θ p ∈ [0, 2 π)
(3.23) dove s p e θ p sono le coordinate superficiali.
Si noti che l’estremo destro dell’intervallo di s p non `e un numero ma una funzione
¯
s p (θ p ). Ci`o implica che non esiste un valore unico della coordinata parametrica che costi- tuisce la condizione limitante per l’estensione verso il tip della superficie del dente pignone.
Questa `e invece `e una funzione di θ p che dipende dalla dimensione dello sbozzato in lavo-
razione ed in particolare dalla geometria del face cone. Infatti, l’estensione massima verso
il tip della superficie del dente ruota, verr`a determinata dall’intersezione delle superfici
dente con il face cone.
Se α p (n, x) sono gli angoli di pressione, rispettivamente, del lato concavo e di quello convesso, α (n, x) f sono i modified blade angles. Solitamente vengono forniti gli angoli ω 1 (n, x) che rappresentano le differenze
ω (n, x) 1 = α (n, x) p − α (n, x) f . (3.24)
Quindi, se gli angoli ω (n, x) 1 sono positivi, l’angolo di pressione della porzione conica (b) del raccordo `e minore di quella del fianco (a). In questo caso quindi, con il toprem si `e aggiunto materiale al raccordo rispetto al caso di raccordo semplice.
Con s (n, x) tf si indicano le distanze, per il lato concavo e convesso, dallo spigolo teorico del tagliente del punto in cui si ha il passaggio da tratto (a) a tratto (b) del profilo. Queste quantit`a vengono dette toprem length e sono misurate parallelamente al tratto (b).
R (n, x) f rappresentano le distanze dall’asse della mola dello spigolo vivo teorico del tagliente per lato concavo e convesso. Si noti che queste distanze sono calcolate dal punto di intersezione teorico del tratto (b) con il piano z g = 0. Questi parametri possono essere calcolati nel modo seguente
R f (n, x) = R (n, x) p ± δ (n, x) gw , (3.25)
dove
δ pf (n, x) = s (n, x) tf cos α (n, x) f (tan α (n, x) p − tan α (n, x) f ). (3.26) A partire dal raggio medio R u1 della fresa o della mola e dallo spessore sullo spigolo di testa P w1 (point width) si pu`o ricavare ancora
R (n, x) p = R u1 ± P w1
2 . (3.27)
I versori normali alle superfici coniche Σ (a) p sono rappresentati dalle equazioni
n (a; n) p (θ p ) =
cos α (n) p cos θ p cos α (n) p sin θ p
sin α p (n)
(3.28)
e
n (a; x) p (θ p ) =
cos α (x) p cos θ p cos α (x) p sin θ p
− sin α (x) p
, (3.29)
e sono calcolati, al solito, come
n (a) p (θ p ) = N (a) p
|N (a) p | , N (a) p = r (a) p, s
p× r (a) p, θ
p. (3.30)
Profilo straight blade con toprem - parte (b)
La superfici coniche Σ (b) p , nel sistema di riferimento S p , sono espresse dalle seguenti equazioni parametriche
r (b; n) p (λ f , θ p ) =
(R f (n) + s f sin α (n) f ) cos θ p
(R f (n) + s f sin α (n) f ) sin θ p
−s f cos α (n) f
, s f ∈ [ρ f 1 − sin α (n) f
cos α (n) f , s (n) tf ), θ p ∈ [0, 2π) (3.31) e
r (b; x) p (λ f , θ p ) =
(R (x) f − s f sin α (x) f ) cos θ p (R (x) f − s f sin α (x) f ) sin θ p
−s f cos α (n) f
, s f ∈ [ρ f 1 − sin α (x) f
cos α (x) f , s (x) tf ), θ p ∈ [0, 2π) (3.32) dove s f e θ p sono i parametri superficiali e le altre quantit`a sono state definite preceden- temente.
I versori normali alle superfici Σ (b) p sono rappresentati dalle equazioni
n (b; n) p (θ p ) =
cos α (n) f cos θ p cos α (n) f sin θ p
sin α (n) f
(3.33)
e
n (b; x) p (θ p ) =
cos α f (x) cos θ p
cos α f (x) sin θ p
− sin α (x) f
, (3.34)
e sono calcolati, al solito, come
n (b) p (θ p ) = N (b) p
|N (b) p | , N (b) p = r (b) p, s
p× r (b) p, θ
p. (3.35) Profilo straight blade con toprem - parte (c)
La superfici toriche Σ (c) p , ossia le superfici dei raccordi al tip dell’utensile, nel sistema di riferimento S p , sono espresse dalle seguenti equazioni parametriche
r (b; n) p (λ f , θ p ) =
(X f (n) + ρ f sin λ (n) f ) cos θ p
(X f (n) + ρ f sin λ (n) f ) sin θ p
−ρ f (1 − cos λ (n) f )
, λ f ∈ [0, π
2 − α (n) f ], θ p ∈ [0, 2π) (3.36) e
r (b; x) p (λ f , θ p ) =
(X f (x) − ρ f sin λ (x) f ) cos θ p (X f (x) − ρ f sin λ (x) f ) sin θ p
−ρ f (1 − cos λ (x) f )
, λ f ∈ [0, π
2 − α (x) f ], θ p ∈ [0, 2π) (3.37)
Nome del parametro Simbolo usato Nome Gleason Rif. S.A.F. (Record, Item) Cutter point radius R (x) p INP. PT RAD (20, 5)
Blade angle α (x) p INP. BLD ANG (20, 4)
Edge radius ρ (x) f RE (19, 15)
Toprem angle ω 1 (x) TOP. ANGLE (20, 1)
Toprem depth s (x) tf TOP. DEPTH (20, 2)
Tab. 3.4: Parametri utensile straight blade con toprem per finitura pignone, lato convesso (x).
dove λ f e θ p sono i parametri superficiali e le quantit`a X f (n, x) sono date dalle espressioni
X f (n, x) = R (n, x) f ∓ ρ f tan Ã
π
4 − α (n, x) f 2
!
. (3.38)
I versori normali alle superfici toriche Σ (c) p sono rappresentati dalle equazioni
n (b; n) p (λ f , θ p ) =
sin λ f cos θ p sin λ f sin θ p
cos λ f
(3.39)
e
n (b; x) p (λ f , θ p ) =
sin λ f cos θ p sin λ f sin θ p
− cos λ f
, (3.40)
e sono calcolati, al solito, come
n (b) p (λ f , θ p ) = N (b) p
|N (b) p | , N (b) p = r (b) p, s
p× r (b) p, θ
p. (3.41) Si riporta di seguito la relazione che lega λ f al parametro lineare s f , qualora si voglia riparametrizzare le equazioni precedenti in s f e θ p
λ f (s f ) = arccos µ
1 − s f ρ f
cos α f
¶
, (3.42)
dove ρ f rappresenta il raggio di raccordo al tip dell’utensile.
Nella Tab. 3.4 si riportano i parametri necessari per definire univocamente il profilo di un tagliente di tipo straight blade con toprem per il lato convesso (conveX). In questa si sono indicati accanto ai simboli usati nella nostra trattazione, la denominazione Gleason e la rispettiva posizione nello special analysis file (S.A.F.).
Nella Tab. 3.5, invece, si riportano i parametri necessari per definire univocamente il
Nome del parametro Simbolo usato Nome Gleason Rif. S.A.F. (Record, Item) Cutter point radius R (n) p INP. PT RAD (17, 5)
Blade angle α p (n) INP. BLD ANG (17, 4)
Edge radius ρ (n) f RE (16, 15)
Toprem angle ω 1 (n) TOP. ANGLE (17, 1)
Toprem depth s (n) tf TOP. DEPTH (17, 2)
Tab. 3.5: Parametri utensile straight blade con toprem per finitura pignone, lato concavo (n).
3.3.3 Profilo straight blade con toprem particolare
La porzione di superficie conica (b) del raccordo al tip di un utensile con toprem pu`o essere assente. Questo caso si verifica, a livello analitico, se la lunghezza del tratto (b) `e nulla, ossia se `e nullo il campo di variazione della variabile s f . In questo caso infatti
ρ f 1 − sin α (n, x) f
cos α (n) f = s (n, x) tf . (3.43) Se l’angolo di pressione α (n, x) p del profilo vero e proprio dell’utensile `e diverso dal modified blade angle α (n, x) f , si ha allora un profilo (a) e ed un raccordo (c) al tip che non hanno continuit`a solo C 0 nel punto di collegamento, ossia si uniscono secondo uno spigolo vivo.
Nel caso invece che α (n, x) p = α (n, x) f , si ricade esattamente nel caso di profilo straight blade e valgono le equazioni gi`a viste.
3.3.4 Profilo curved blade con toprem
In questo tipo di frese (o mole), sia dal lato concavo che da quello convesso, la lama `e composta da un arco di circonferenza (a), da un tratto rettilineo con diversa inclinazione (b) e da un terzo tratto costituito da un arco di circonferenza (c).
Tale profilo `e illustrato in Fig. 3.6.
Nella rotazione del profilo intorno all’asse della fresa z p quindi, vengono generate (a)
una porzione di superficie torica, (b) una porzione di superficie conica e (c) una porzione
di superficie torica. Queste sono le tre sottosuperfici generanti che andranno a ricavare la
superficie di ognuno dei fianchi del dente. In particolare la porzione (a) di cono genera
la superficie del fianco attivo del dente del pignone, mentre le porzioni di superficie (b)
conica e (c) torica, che complessivamente costituiscono un raccordo piuttosto elaborato al
tip dell’utensile, generano il raccordo alla base del dente del pignone. Per quanto riguarda
la superficie torica (a), il suo generico punto `e individuato dalle coordinate parametriche
λ p e θ p , per la superficie conica (b) del raccordo, da s f e θ p e per la superficie torica (c)
del raccordo, da λ f e θ p . I fianchi della testa rotante vengono indicati con apici (n) e
(x) a seconda che si consideri fianco concavo (coNcave), ossia il fianco dell’utensile che
va a generare il fianco concavo del pignone o il fianco convesso (conveX), ossia il fianco
dell’utensile che va a generare il fianco convesso del pignone.
a
b
s
O
X
a
r
x
z
R l
Convex side Inside blade
a
R
c
s
X
Z
R
l
l
X
Z
R
Concave side Outside blade
a
a
r
s
s
R
X
R
l
a
b
c
O
z
x
