4.MODELLO STATICO

4.MODELLO STATICO

A causa della complessità dei modelli dinamici presenti in letteratura come quelli descritti nel capitolo precedente si è deciso innanzitutto di realizzare un modello statico con lo scopo di acquisire familiarità con i fenomeni fisici che regolano il comportamento di un propulsore di impiego aeronautico.

Questo, essendo realizzato unicamente con equazioni algebriche può calcolare solo gli stati di regime e di conseguenza non fornisce alcuna informazione sul transitorio quando c’è il passaggio da una condizione stazionaria ad un'altra da parte del motore.

Nel lavoro svolto in questa tesi il modello statico è utilizzato per:

• La determinazione della sezione A

dell’ugello di scarico.

• La determinazione della condizione di trim.

Il programma che calcola la sezione dell’ugello di scarico è chiamato “Design”, mentre quello che ricerca la condizione stazionaria è denominato “Trim” (i listati dei programmi appena citati sono nell’appendice B).

Il modello sviluppato è basato su un turbojet costituito da: una presa d’aria (P.A), un compressore (C), una camera di combustione (C.C), una turbina (T) ed un ugello di scarico (U.S) come si vede dalla figura 4.1.

fig.4.1 Modello turbojet

4.1 Ipotesi Generali

1. Le trasformazioni sono tutte adiabatiche, con esclusione della camera di combustione, ma non isoentropiche.

2. Flusso mono dimensionale.

3. La portata di massa cambia nel tempo, ma è uguale in tutto il motore.

4. La portata di combustibile si trascura rispetto alla portata d’aria ( Q

 Q

).

5. Variabili di stato prive di “inerzia” ad eccezione della velocità angolare.

6. Ugello critico.

7. Perdite meccaniche trascurabili.

8. Flussi di calore di raffreddamento trascurabili.

9. Perdita di pressione nella camera di combustione trascurabile.

La quinta ipotesi comporta che in ogni elemento la pressione e la temperatura si adeguano istantaneamente.

Le ipotesi precedenti, apparentemente restrittive, sono comunemente adottate in letteratura [4].

Prima di elencare quali sono le equazioni necessarie per poter realizzare il modello statico vogliamo far osservare che i pedici delle varie grandezze termodinamiche adoperate sono riferiti ai punti del motore dove queste sono valutate (figura 4.1).

4.2 Equazioni

In appendice A sono riportate le ipotesi e le equazioni di partenza che servono per descrivere il funzionamento del motore, oltre a tutti i passaggi matematici che devono essere svolti per poter ottenere dalle equazioni di partenza quelle che sono riportate all’interno di questo paragrafo.

• Condizioni Ambientali Ingressi: ,h v

All’interno troviamo la function isaSI che calcola la pressione ambiente ( ), la temperatura ambiente ( ) e la velocità del suono ( ).

P

T

a

Dati noti: γ

, m

= ( γ

− ¹ ) γ

Equazioni:

1. M

= v a 2.

1

1

1 2

ma

a

ta a a

P = P ⋅ + ⎛ ⎜ ⎝ γ − ⋅ M ⎞ ⎟ ⎠

3. 1 ¹

2

a

ta a a

T = ⋅ + T ⎛ ⎜ ⎝ γ − ⋅ M ⎞ ⎟ ⎠

Uscite: P

, T

• Presa d’aria Ingressi: P

, T

Dati noti: Π

Equazioni:

4. Π =

P

P

5. dovuto al fatto che si considera la trasformazione tra monte e valle della presa d’aria adiabatica, ma non isoentropica.

2

T

= T

Uscite: P

, T

• Compressore

Modello: Si adopera la mappa che rappresenta la linea di regime del compressore riportata in figura 4.2 che permette di legare tra loro le seguenti grandezze:

des

c c

Π Π , Q

Q

, N

N

. Ingressi: Q

, N , T

, P

Dati noti: Π

, N

, Q

, T

P

, m

= ( γ

− ¹ ) γ

, η

, C

, η

Equazioni:

6.

2 2

2

des des

t STD

rid aria t STD aria t t

des des des des des

rid aria t STD t STD aria t t

T T

Q Q P P Q T P

Q Q T T P P Q T P

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2

7.

2 2

t STD

rid t

des des des

rid des t STD des t

T T

N N N T

N N T T N T

= ⋅ = ⋅

Si entra nella mappa con N

N

ottenendo Q

Q

e Π Π

. Dalla conoscenza di Π Π

e Π

si ricava il rapporto di pressione del compressore Π

; invece con Q

Q

e Q

si trova Q

(equazione 6).

8. Π =

P

P

9.

(

¹ )

c

T T T

= + η ⋅ Π − 10. W

= Q

⋅ C

⋅ ( T

− T

)

Uscite: T

, P

, W

• Camera di combustione Ingressi: T

, P

, f

Dati noti: h

, η

, ^C

⁼ ( ^C

^{+ C}

) ²

Equazioni:

11. Q

⋅ C

⋅ ( T

− T

) = Q

⋅ ⋅ h

η

12. Q

= ⋅Q f

13. P

= P

dovuto all’ipotesi nove Uscite: T

, P

• Turbina

Modello: Non si adopera per questo componente nessuna mappa di

funzionamento in quanto il valore del rapporto di pressione è imposto costante.

Ingressi: Π ,

Q

Dati noti: T

, P

, ^m

^{= −} ( ^{1 γ}

) ^γ

^, C

^, η

, η

Equazioni:

14. Π =

P

P

15. ^T

^{= T}

^{⋅ − ⋅ − Π ⎡} _⎣ ^{1 η}

( ¹

) ^⎤ _⎦

16. W

= Q

⋅ C

⋅ ( T

− T

) ⋅ η

Uscite: W

, T

, P

• Ugello di scarico Ingressi: T

, P

Dati noti: C

, η

, γ , ,

P

^m

^{= −} ( ^{1 γ}

) ^γ

Equazioni:

17.

(

)

5

2 1

g g

cr t

g

P P

γ γ

γ

⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎠

Se P

≥ P

18. P

= P

altrimenti

19. P

= P

. 20. Π =

P

P

21. ^T

^{= T}

^{⋅ − ⋅ − Π ⎡} _⎣ ^{1 η}

( ¹

) ^⎤ _⎦

Adesso calcoliamo la velocità di scarico del gas combusto in uscita dall’ugello.

22. V

= 2 ⋅ C

⋅ ( T

−T

)

Uscite: P

, T

, V

• Portata del gas combusto e dell’aria Ingressi: P

, T

, V

, f

Dati noti: R , A

23.

6

P ρ = R T ⋅ 24. Q

= ρ

⋅ A V

⋅

25. ^Q

^{= Q}

( ^{1 + f} )

Uscite: Q

, Q

• Bilancio meccanico Ingressi: W

, W

Equazioni:

26. W

= W

Uscite: Π

• Spinta

Ingressi: V

, , v Q

, P

, P

Equazioni:

27. T = Q

⋅ ( V

− + v ) A

⋅ ( P

− P

)

Uscite: T .

4.3 Determinazione della sezione dell’ugello di scarico

Per il calcolo della sezione dell’ugello di scarico ( ) occorre stabilire il punto di progetto.

A

Prima di spiegare come è definito il punto di progetto è importante sottolineare che il calcolo di può essere più o meno complicato a seconda delle assunzioni che vengono fatte.

A

Per semplicità il rendimento meccanico come quello dei componenti che costituiscono il motore è stato imposto costante; inoltre è posto uguale ad uno il rapporto di pressione della presa d’aria.

In aggiunta è adoperata una mappa che rappresenta il luogo delle condizioni di regime occupate dal compressore e come si osserva dalla figura 4.2 si è ipotizzato che questo sia costituito da una retta.

c des c

Π

Π

Punto di Progetto

des

rid rid

Q Q fig.4.2 Linea di regime del compressore

Per definire il punto di progetto occorre fissare:

1. la quota di volo

2. la velocità di volo espressa in termini di Mach

3. la temperatura in uscita dalla camera di combustione

4. il rapporto di pressione di compressore ( Π

)

5. il numero di giri reali

6. il rapporto tra i giri ridotti e i giri ridotti di progetto ( N

N

) 7. la spinta prodotta.

Dall’elenco posto in precedenza i punti uno e due costituiscono la condizione di volo.

La temperatura indicata al punto tre è la massima che può essere sopportata dalla camera di combustione ed oltrepassarla significa danneggiarla seriamente.

Il limite di questa temperatura è dettato dal livello tecnologico con cui è costruito tale componente del propulsore.

I punti numerati da quattro a sei definiscono uno stato di funzionamento del compressore, mentre il punto sette è la spinta che deve essere generata dal motore una volta fissati i sei punti precedenti.

Dopo aver scelto il punto di progetto occorre trovare le grandezze termodinamiche (temperature e pressioni) dei componenti che costituiscono il motore.

È evidente dalle equazioni riportate nelle pagine precedenti che per calcolare queste grandezze si deve conoscere il rapporto di pressione del compressore e della turbina.

Il primo è noto dal punto di progetto; invece il secondo è fornito dall’uguaglianza della potenza generata dalla turbina con quella assorbita dal compressore.

Impostare l’eguaglianza della potenza tra i due componenti sopra citati significa imporre che questi sono in una condizione stazionaria.

Per completezza si mostra in pochi passaggi matematici come si determina il rapporto di pressione della turbina partendo dall’uguaglianza della potenza del compressore con quella della turbina.

Sfruttando l’equazioni 10, 16, 25 e 26 si scrive:

a) C

⋅ η

⋅ ( T

− T

) ( ⋅ + 1 f ) = C

⋅ ( T

− T

)

b) ^T

^{⋅ η η}

^{⋅ ⋅ − Π}

( ¹

) ^{⋅ + ( 1 f ) = C}

^{⋅ ( T}

^{− T}

⁾

c) ( )

( )

1

3 2

4

1 1

mg

pa t t

t

pg m t t

C T T C f η η T

⎡ ⋅ − ⎤

Π = − ⎢ ⎥

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⎢ ⎥

⎣ ⎦ , con

¹

g

m γ

γ

= − .

Una volta noto sono calcolate le pressioni e le temperature a monte e a valle dei componenti costitutivi del motore che usate insieme alle equazioni da 22 a 24 e alla 27 permettono di trovare .

Π

A

Oltre alla determinazione della sezione dell’ugello di scarico è calcolata la portata d’aria

in ingresso al compressore che con le grandezze termodinamiche (pressione totale,

temperatura totale) a valle della presa d’aria e costituiscono un insieme di dati fondamentali per il funzionamento del programma che si occupa della ricerca della condizione di trim (Tab.4.3 ).

A

A

fig.4.3 Schema Ugello di scarico

Il punto di progetto scelto è costituito da:

• Quota = 0 [m]

• Velocità = 0.3024 [Mach]

• T

= 1800 [K]

• N

= 2500 [giri/sec]

• N

N

= 1 [-]

• Π

= 4 [-]

• Spinta = 35086 [N].

Nelle tabelle

4.1 e 4.2 sono indicate le temperature e le pressioni in ingresso ed in uscita dagli elementi che compongono il propulsore per il punto di progetto adottato.

P

P

P

P

P

P

107960 107960 431840 431840 326522 176440

Tab.4.1 Pressioni dei componenti del motore

1

Il contenuto delle tabelle da 4.1 a 4.3 può essere ottenuto lanciando il programma “Design” e l’uscite generate possono essere lette nel file di memorizzazione “Design_output”.

Nell’appendice B troviamo il listato del programma “Design” assieme ai codici su cui si appoggia per poter funzionare correttamente.

2

Le pressioni sono espresse in Pascal

T

T

T

T

T

T

293,42 293,42 436,02 1800 1676,09 1438,71

Tab.4.2 Temperature dei componenti del motore

A

Q

T

P

0.12731 38,8384 293,42 107960

Tab.4.3 Uscite del programma Design

4.4 Determinazione della condizione di trim

I dati di ingresso che occorre fornire al modello dinamico, illustrato nel capitolo successivo, per renderlo eseguibile sono:

1. la quota di volo 2. il Mach di volo

3. il punto di regime del compressore ( N

N

) all’istante iniziale della simulazione

4. la variazione del rapporto tra portata del combustibile e quella d’aria ( f ).

In aggiunta sono necessari altri dati derivanti dalla condizione di regime occupata dal motore all’istante iniziale della simulazione.

I dati dell’elenco posto sopra sono fissati dall’utente, mentre quelli derivanti dalla condizione stazionaria del propulsore sono calcolati dal modello statico denominato

“Trim” il cui listato è riportato nell’appendice B.

I punti 1, 2, 3 sono ingressi anche per il modello statico che elaborati permettono di determinare:

• N

numero dei giri del compressore

• Q

portata dei gas combusti dall’ugello di scarico

• Π

rapporto di pressione della turbina

• f valore iniziale di

f

che sono necessari per la inizializzazione del modello dinamico.

Illustriamo come si calcolano f ,

Π

, Q

e N

.

3

Le temperature sono espresse in gradi Kelvin

4

La sezione dell’ugello di scarico è espressa in metri quadrati

5

Le portate sono espresse in [Kg/sec]

Per trovare si procede tramite l’uguaglianza della potenza del compressore e quella della turbina.

trim

Π

Il passo successivo è la determinazione di f che dipende dalla condizione stazionaria

del compressore, cioè è funzione di N

N

.

La necessità di legare f a

N

N

è basata sulla considerazione che in un motore a getto qualsiasi stato raggiunto o raggiungibile dal compressore dipende dalla quantità di carburante iniettata nella camera di combustione.

La determinazione di f dopo aver fissato

N

N

si effettua con l’utilizzo di un ciclo iterativo al cui interno sono presenti tutte le equazioni che descrivono il comportamento della camera di combustione, della turbina, dell’ugello di scarico (equazioni dalla 11 alla 25) e l’espressione di Π

che deriva dalla equazione 26.

Oltre a f il ciclo iterativo calcola

Q

e tutte le grandezze termodinamiche dei componenti che costituiscono il propulsore.

L’ultimo dato da calcolare per inizializzare il modello dinamico è che è ottenuto dalla equazione 7.

N

Nella stesura del programma che ricerca la condizione di trim l’unica difficoltà incontrata è relativa alla scelta del comando più idoneo per realizzare il ciclo iterativo.

Il Matlab mette a disposizione il comando “for” che crea un ciclo iterativo che si ripete un numero prefissato di volte e il comando “while” che realizza un ciclo che itera fintanto che è soddisfatta la condizione impostata.

Tra i due è stato scelto il comando “while” in quanto in questo tipo di problema non è possibile conoscere anticipatamente quante volte il ciclo deve ripetersi per avere il valore di f dato

N

N

.

Le condizioni imposte al comando “while” sono una legata al valore della pressione in uscita dall’ugello di scarico e l’altra sul valore di ε ( ε = ( Q

− Q

) Q

).

È stato necessario inserire due condizioni (nel comando “while”) per scartare la soluzione inaccettabile di f tra le due disponibili.

Come si vede dalla stessa definizione, ε è funzione di e che rappresentano delle portate d’aria in ingresso al compressore.

rif

Q

Q

rif

Q

è ricavata dalla retta di regime del compressore (figura 4.2) per cui dipende da

des

rid rid

N N , invece Q

è ottenuto dalle equazioni inserite all’interno del ciclo iterativo.

Riportiamo in tabelle

le uscite prodotte dal codice che determina lo stato di regime del motore per la condizione costituita da:

• Quota = 2000 [m]

• Velocità = 0.4 [Mach]

• N

N

= 0.9 [-].

P

P

P

P

P

P

88760 88760 278960 278960 223347 120689

Tab.4.4 Pressioni dei componenti del motore

T

T

T

T

T

T

283,95 283,95 393,86 1729,74 1636,89 1405,06

Tab.4.5 Temperature dei componenti del motore

Q

N

f

_Π

27,7828 2287 0.0326 1,8506

Tab.4.6 Uscite del programma Trim

Se come dati di ingresso per il modello dinamico considero quelli riportati nell’elenco puntato sopra esposto allora le tabelle 4.4 e 4.5 mostrano i valori delle grandezze termodinamiche in ingresso e in uscita dagli elementi che costituiscono il propulsore all’istante iniziale della simulazione.

Mentre la tabella 4.6 fornisce i valori dei dati che servono per l’inizializzazione del modello dinamico.

6

Il contento della tabelle può essere ottenuto lanciando il programma denominato “Trim” e l’uscite generate possono essere lette nel di memorizzazione “Trim_output”.

In appendice B si trova il listato del programma “Trim” assieme ai codici sui quali si appoggia per poter

funzionare correttamente.