Capitolo 4 Il modello di calcolo

Capitolo 4

Il modello di calcolo

Nello sviluppare il modello di calcolo per l’ottimizzazione del coordinamento tra varie linee di una rete ferroviaria si `e preso come punto di partenza lo studio elaborato da Chowdhury [5] sul problema del coordinamento all’interno dei sistemi di trasporto intermodali.

4.1

Ipotesi del modello

Per la formulazione della funzione dei costi totali si fanno le seguenti ipotesi:

• la domanda `e nota e non dipende dalla qualit`a del servizio • sono noti o comunque rilevabili, determinabili sperimentalmente:

1. (a) la localizzazione delle linee e delle stazioni,

(b) le dimensioni, la velocit`a e i costi di esercizio dei mezzi, (c) la distribuzione della domanda,

(d) il valore del tempo trascorso dagli utenti a bordo e in attesa alle stazioni.

La domanda di trasferimento `e data dal numero di passeggeri che ad una stazione scendono da un treno per salire su un altro che percorre un’altra linea. La direzione di marcia sulla linea principale p `e individuata dal valore assunto dalla variabile d (d = 1 dalla stazione 1 alla n, d = 2 dalla stazione n alla 1), mentre il senso di percorrenza delle linee secondarie `e individuato dalla variabile δ (δ = 1 se ci si sta avvicinando al nodo di interscambio posto lungo la linea principale p, δ = 2 se ci si sta allontanando). Indicando con i = 1, ...n i nodi di interscambio sulla linea principale

p e con j = 1, ..., mi le linee secondarie che si intersecano con la principale p nella

stazione i, allora la domanda oraria Iijδ di trasferimento alla stazione i per la linea j

`e data dalla domanda di trasferimento da o per la linea principale p pi`u la domanda di trasferimento da o per un’altra linea secondaria k passante per la stazione i:

Iijδ =          2 P d=1 Uijd+ mi P k=1 Uijk per δ = 1, 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi 2 P d=1 Uidj+ mi P k=1 Uikj per δ = 2, 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi (4.1) dove:

Uijd = domanda di trasbordo (pass_h ), alla stazione i, dalla linea secondaria j alla

linea principale p in direzione d

Uidj = domanda di trasbordo (pass_h ), alla stazione i, dalla linea principale p in

direzione d alla linea secondaria j

Uijk = domanda di trasbordo (pass_h ), alla stazione i, dalla linea secondaria j alla

Uikj = domanda di trasbordo (pass_h ), alla stazione i, dalla linea secondaria k alla

linea secondaria j

Gli indici j e k variano da 1 a mi dove mi `e il numero di linee secondarie che

passano per la stazione i.

La domanda oraria lungo la linea principale p `e data invece da:

Iid = mi X j=1 Uijd+ αid per d ∈ {1, 2} , 1 6 i 6 n (4.2) Qid = mi X j=1 Uidj+ βid per d ∈ {1, 2} , 1 6 i 6 n (4.3) con

Iid = pass_h che sulla linea principale p salgono alla stazione i in direzione d

Qid = pass_h che sulla linea principale p in direzione d scendono alla stazione i

4.2

Formulazione del modello

Con questa modellizzazione si vuole ottenere un coordinamento orario tra le linee che minimizzi il costo totale; dobbiamo quindi ricavare la funzione obiettivo costo totale per poi minimizzarla.

Il costo sostenuto dall’azienda fornitrice `e costituito dai costi di esercizio dei treni, mentre quello sostenuto dagli utenti comprende, oltre al costo del titolo di viaggio, fissato a priori, la monetizzazione del tempo d’attesa, del tempo di trasferimento da un mezzo ad un altro e del tempo trascorso a bordo del treno.

Nella funzione obiettivo non comparir`a il costo di accesso ala rete di trasporto perch`e abbiamo assunto come fissa la domanda ed `e fissata anche la localizzazione delle stazioni di interscambio.

4.2.1

Costo sostenuto dall’azienda fornitrice del servizio (C

)

Il costo totale orario sostenuto dall’azienda pu`o quindi essere ottenuto moltiplicando il costo orario di esercizio di un treno per il numero complessivo di treni utilizzati; tale numero pu`o essere ricavato, per ogni linea, dividendo il Round Trip Time, ovvero la durata del viaggio (comprensiva dei tempi persi per il servizio passeggeri alle stazioni) per l’Headway dei treni.

Il tempo perso alle stazioni per la discesa e la salita dei passeggeri pu`o essere calcolato moltiplicando il numero di persone discese e salite da ogni porta per il tempo di servizio necessario a far salire o scendere un passeggero; pi`u semplicemente si pu`o pensare di fissare tali tempi in funzione dell’importanza della stazione.

Indicando come in precedenza con l’indice p ci`o che riguarda la linea principale, con d la direzione e con j (ed eventualmente con k) ci`o che riguarda le linee secondarie, ovvero quelle da coordinare con la principale, si ha che:

Co = TR p up Hp +X i,j ¡ TR ij + Kij ¢ us Hij (4.4) dove:

Kij = slack time della linea j alla stazione i (h)

TR

TR

ij = round trip time della linea j al nodo i (h)

T_ijR = 2 Ã Tj+ X ϕ Twϕj ! (4.5) T_pR= 2 Ã Tp+ X i Twip ! (4.6) essendo

Tj = tempo di viaggio netto lungo la linea j

Tp = tempo di viaggio netto lungo la linea p

Twip = tempo di servizio per la salita/discesa dei passeggeri alla stazione i della

linea p (h)

Twϕj = tempo di servizio per la salita/discesa dei passeggeri alla stazione ϕ della

linea j (h)

4.2.2

Costo sostenuto dagli utenti (C

)

Il costo sostenuto dagli utenti `e dato dalla somma di 3 componenti:

1. costo del tempo di attesa (Cw)

2. costo del tempo di trasbordo da un mezzo all’altro (se necessario) (Ct)

3. costo del tempo di viaggio vero e proprio, cio`e trascorso a bordo (Cv)

Costo del tempo di attesa (Cw)

Il costo del tempo di attesa `e dato dal prodotto tra domanda, tempo medio di attesa e valore unitario uw di tale tempo. Si suppone che il tempo medio di attesa dei treni

alle stazioni sia la met`a dell’headway. Risulta perci`o che:

Cw = 1 2 Ã X i,j HijIij2+ X i,d HidIid ! uw (4.8)

Il tempo di attesa (e il costo relativo) sostenuto nel cambio del mezzo, ovvero nel passaggio da una linea all’altra `e considerato all’interno del tempo di trasbordo (e quindi di Ct).

Costo del tempo di trasbordo (Ct)

Tale costo `e dato dal prodotto tra tempo medio di trasbordo, domanda di trasbordo e valore unitario uw del tempo di attesa degli utenti.

Utilizzando la variabile binaria yidj per indicare la presenza (yidj = 1) o meno

(yidj = 0) di coordinamento alla stazione i tra il servizio lungo la direzione d della

linea principale e quello lungo la linea j e analogamente utilizzando yikj per indicare

lo stato del coordinamento tra le linee k e j alla stazione i, si ha che:

Ct=

P

i,j,k

£

yikjTikjC + (1 − yikj) TikjN

¤

Uikjuw

+ P

i,d,j

£

yidjTidjC + (1 − yidj) TidjN

¤

Uidjuw

+P

i,j,d

£

yijdTijdC + (1 − yijd) TijdN

¤

Uijduw

(4.9)

secondo dalla principale in direzione d a una secondaria j e il terzo da una secondaria

j alla principale in direzione d.

Considerando il beneficio del coordinamento tra le linee, i tempi di trasbordo, nel caso di presenza ¡TC¢ _{o meno} ¡_TN¢ _{del coordinamento, in tutti e tre i casi, possono}

essere calcolati come indicato di seguito.

1. Tempo di trasbordo senza coordinamento

E’ evidente che il tempo di trasbordo tra linee dipende dal grado di coordina-mento del servizio; in assenza totale di coordinacoordina-mento il tempo di trasbordo dalla linea k alla linea j pu`o essere valutato sulla base del valore medio e della varianza dell’Headway della linea j secondo il modello proposto da Welding nel 1957: TN ikj = 1 2Hij µ 1 + var(Hij) H2 ij ¶ per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, 1 6 k 6 mi (4.10)

dove varHij `e la varianza dell’Headway della linea j.

Detti xk−1 e xk gli istanti di arrivo di due treni successivi sulla stessa linea j

alla stazione i, si ha che:

varHij = ­ x2 k ® − 2 hxkxk−1i + ­ x2 k−1 ® − hxki2− hxk−1i2+ 2 hxki hxk−1i = σ2_xk+ σ2_xk−1+ 2 hxki hxk−1i = 2σ2_xk+ 2 hxki hxk−1i − 2 hxkxk−1i (4.11) = 2σ2 xk− 2σxkxk−1

ma poich`e xk−1 e xk sono indipendenti, la loro covarianza `e nulla, ovvero

quindi si ha che

varHij = 2σ2xk (4.13)

2. Tempo di trasbordo con coordinamento

Se le generiche linee k e j sono coordinate, il tempo TC

ikj medio necessario perch`e

i passeggeri si trasferiscano dalla linea k alla linea j pu`o essere ottenuto sulla base della probabilit`a congiunta dei tempi di arrivo dei mezzi delle due linee.

Il tempo medio di trasbordo dipende dall’entit`a della sosta prevista dall’o-rario per i treni della linea j in partenza dalla stazione i e dalla funzione di distribuzione dei loro arrivi.

Quindi il tempo di trasbordo `e funzione dei tempi morti e dell’headway ma anche della funzione di distribuzione degli arrivi dei treni delle linee k e j alla stazione i.

Per rappresentare gli arrivi dei treni in stazione, ovvero calcolare il numero di treni che arrivano in orario, in anticipo o in ritardo di un tempo t, si pu`o far uso [7] della distribuzione Erlang

f (t) =        λe−λt (λt)k−1 (k−1)! per t > 0 0 per t < 0 (4.14) con λ = ¯t

s2 ovvero il rapporto tra media e varianza, mentre

k = ¯t2

Come suggerito dalla letteratura [8], si pu`o assumere k = 2 e λ = 0.49792, quindi la funzione di distribuzione diventa:

f (t) = 0.49792e−0.49792t(0.49792t) Unitstep (t) (4.15) con Unitstep (t) =        1 per t > 0 0 per t < 0 e quindi varHij = 2σ2xk = 2 k λ2 = 16.13396 (4.16)

Con riferimento alla figura (4.1), poich`e i treni che arrivano alla stazione con un ritardo modesto vengono comunque considerati in orario, possiamo considerare un treno in orario quando arriva in un istante compreso tra il pi`u probabile (linea rossa) e quello medio (linea verde), che `e spostato pi`u a destra di circa 2 minuti (visti i valori scelti per k e λ).

Il tempo di trasbordo varia con il verificarsi delle tre seguenti situazioni:

(a) sia il treno A in arrivo dalla linea k che quello B in arrivo dalla linea j sono in orario

(b) il treno B della linea j arriva in ritardo

(c) il treno B della linea j riparte prima che possano salire i passeggeri del treno A.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Ritardo [min]

Distribuzione degli arrivi

Figura 4.1: Distribuzione degli arrivi dei treni

i passeggeri scendono dal treno A della linea k, il treno B della linea j `e gi`a ripartito e quindi sono costretti ad aspettare la corsa successiva.

Quindi il tempo di trasbordo tra le linee k e j dipende da:

• tempo di sosta previsto per il treno in stazione (slack delay time)

• tempo ulteriore perso per ritardi che comunque hanno consentito di

pren-dere la coincidenza (connection delay time)

• tempo perso a causa del fallito coordinamento tra le linee (missed connec-tion delay time)

rispettivamente Kik e Kij, per consentire di annullare un eventuale piccolo ritardo

e riallinearsi con la tabella di marcia. Quindi, detto Aik l’orario di arrivo del treno

A e Aij quello del treno B, l’orario di ripartenza dei due treni sar`a rispettivamente

˜

Kik = Aik + Kik e ˜Kij = Aij + Kij. L’orario di arrivo delle corse successive sar`a

rispettivamente Aik+ Hik e Aij + Hij.

Si presuppone ovviamente che un treno possa arrivare in anticipo, ma nel ripartire dovr`a rispettare l’orario ufficiale, quindi la possibilit`a che un treno parta in anticipo dalla stazione i non `e ammessa.

Il (connection delay time) `e il tempo perso dai passeggeri (in aggiunta a quello previsto) quando la connessione tra la linea k alla linea j riesce, ma ci sono stati dei ritardi.

Il connection delay time pu`o essere presente solo in due situazioni:

1. A arriva in orario o addirittura in anticipo, mentre B arriva in ritardo, (Figura 4.2),

2. sia A che B arrivano in ritardo, ma A ha un ritardo inferiore (Figura 4.3)

A K~ik ik Aij K~ij

A

B

A

B

Aik K~ik Aij K~ij

B

B

A

A

Figura 4.3: Connection delay time (caso 2)

Quindi il connection delay time per i passeggeri che alla stazione i devono scendere dalla linea k e salire sulla linea j `e dato da:

Dikj = R_K˜_ik Aik−Hikf (tik)dtik R_Aij+Hij ˜ Kij ³ tij − ˜Kij ´ f (tij)dtij +RAik+Hik ˜ Kik R_Aij+Hij tik− ˜Kik+ ˜Kij ³ tij − ˜Kij − tik+ ˜Kik ´ f (tij)f (tik)dtijdtik per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, 1 6 k 6 mi (4.17)

Il missed connection delay time `e il tempo perso dai passeggeri quando la connes-sione tra le linee k e j non va a buon fine; la mancata coincidenza pu`o essere dovuta al verificarsi di una delle seguenti due situazioni:

1. il treno B arriva in orario o addirittura in anticipo, mentre il treno A arriva in ritardo (Figura 4.4),

2. entrambi i treni sono in ritardo ma B ha un ritardo inferiore (Figura 4.5).

In tutti e due i casi gli utenti sono costretti a rimanere fermi alla stazione i ed aspettare il treno successivo della linea j.

Aik K~ik Aij ~ Kij

B

B

A

A

Figura 4.4: Missed connection delay time (caso 1)

Aik K~ik Aij K~ij

B

B

A

A

Figura 4.5: Missed connection delay time (caso 2)

Il valore del missed connection delay time `e dato da:

Mikj = hR_Aik+Hik ˜ Kik f (tik)dtik R_K˜_ij Aij−Hijf (tij)dtij i Hij+ hR_Aik+Hik ˜ Kik R_{tik− ˜Kik+ ˜Kij} ˜ Kij f (tij)f (tik)dtijdtik i Hij per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, 1 6 k 6 mi (4.18)

Quindi, in caso di presenza di coordinamento, il tempo medio di trasbordo alla stazione i dalla linea k alla linea j `e:

Analogamente si ricava il tempo medio di trasbordo tra la linea principale e una linea secondaria, in presenza o meno di coordinamento, con ovvio significato dei simboli: TN idj = 1 2Hij µ 1 + var(Hij) H2 ij ¶ per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.20) T_ijdN = 1 2Hp µ 1 + var(Hp) H2 p ¶ per1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.21) Didj = R_K˜_id Aid−Hidf (tid)dtid R_Aij+Hij ˜ Kij ³ tij − ˜Kij ´ f (tij)dtij +RAid+Hid ˜ Kid R_Aij+Hij tid− ˜Kid+ ˜Kij ³ tij − ˜Kij − tid+ ˜Kid ´ f (tij)f (tid)dtijdtid per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.22) Dijd= R_K˜_ij Aij−Hijf (tij)dtij R_Aid+Hid ˜ Kid ³ tid− ˜Kid ´ f (tid)dtid +RAij+Hij ˜ Kij R_Aid+Hid tij− ˜Kij+ ˜Kid ³ tid− ˜Kid− tij+ ˜Kij ´ f (tid)f (tij)dtiddtij per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.23) Midj = hR_Aid+Hid ˜ Kid f (tid)dtid R_K˜_ij Aij−Hijf (tij)dtij i Hij +hRAid+Hid ˜ Kid R_{tid− ˜Kid+ ˜Kij} ˜ Kij f (tij)f (tid)dtijdtid i Hij per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.24) Mijd = hR_Aij+Hij ˜ Kij f (tij)dtij R_K˜_id Aid−Hidf (tid)dtid i Hid +hRAij+Hij ˜ Kij R_{tij− ˜Kij+ ˜Kid} ˜ Kid f (tid)f (tij)dtiddtij i Hid per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.25)

TC

idj = Kid+ Didj+ Midj per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.26)

TC

ijd = Kij + Dijd+ Mijd per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi, d = 1, 2 (4.27)

Costo del tempo trascorso a bordo (Cv)

In generale il costo del tempo trascorso a bordo di un veicolo `e dato dal prodotto tra costo unitario, domanda e tempo medio. Nel caso del treno bisogna tenere di conto non solo del valore del tempo di viaggio vero e proprio (run time in-train cost), ma anche del valore da attribuire al tempo perso sul treno quando questo `e fermo alle stazioni (dwell time in-train cost).

Il run time in-train cost `e dato dalla somma dei tempi di viaggio tra le stazioni moltiplicata per la domanda di trasporto tra le coppie di stazioni e il costo unitario

uv del tempo trascorso dai passeggeri a bordo del treno [6].

Analogamente il dwell time in-train cost `e dato dal prodotto tra il numero dei passeggeri, il tempo di sosta e il costo unitario uw del tempo di attesa.

Il tempo di sosta dei treni alle stazioni dipende dal numero di passeggeri che devono scendere e salire.

Pi`u semplicemente si pu`o osservare che nella realt`a il tempo di sosta dei treni alle stazioni dipende dall’importanza della stazione; si pu`o pensare quindi di assumere un tempo di sosta fisso per ogni stazione, indipendente dal numero di passeggeri che devono scendere o salire sul singolo treno, come gi`a visto in (4.5) e in (4.6).

Cv = n P i=1 mi P j=1 2 P δ=1 ³ Tj + P ϕTwϕj ´ Iijδuv +n−1P i=2 2 P d=1 {Aid− [Iid(2 − d) + Qid(d − 1)]} Tpuv +n−1P i=1 2 P d=1 Aid( P iTwip) uv (4.28) con Ai1= i X l=1 (Il1− Ql1) (4.29) Ai2= n X m=i+1 (Im2− Qm2) (4.30)

Ricavate tutte le componenti, la funzione di costo totale CT `e data da:

CT(Hij, Hp, Kij) = Co(Hij, Hp, Kij) + Cu(Hij, Hp, Kij) per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi (4.31) soggetta ai vincoli:        Pij > Dij Pp > Dp per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi (4.32)                Hij > 0 Hp > 0 Kij > 0 per 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 mi (4.33)

dove Pij e Pp rappresentano la capacit`a di servizio mentre Dij e Dp il numero

4.3

Notazione

Le variabili necessarie per esprimere la funzione obiettivo sono le seguenti:

Co = costo per l’azienda (Euro_h )

Cw = costo dovuto al tempo d’attesa (Euro_h )

Ct= costo dovuto al tempo di trasferimento (Euro_h )

Cv = costo dovuto al tempo passato a bordo del veicolo (Euro_h )

CU = costo totale per gli utenti (Euro_h )

CT = costo complessivo del sistema di trasporto (Euro_h )

Dikj = tempo perso nella coincidenza (avvenuta) nel trasferimento da k a j (h)

d = indice della direzione di marcia della linea principale Dij = num max di passeggeri a bordo delle linea j (pass)

Dp = num max di passeggeri a bordo delle linea p (pass)

f (tij) = funzione di distribuzione degli arrivi sulla linea j al nodo i

f (tid) = funzione di distribuzione degli arrivi sulla linea principale p al nodo i

Hij = headway della linea j alla stazione i (h)

Hp = headway della linea principale (h)

Iijδ = pass_h che alla stazione i salgono (δ = 2) o che scendono (δ = 1) dalla linea j

i, l, m = indice delle stazioni sulla linea p ϕ = indice delle stazioni sulla linea j

Iid = pass_h che sulla linea principale salgono alla stazione i in direzione d

j, k = indice delle linee secondarie

Kij = slack time della linea j alla stazione i (h)

mi = numero di linee secondarie passanti per i

Mikj = tempo perso nella coincidenza (mancata) per il trasferimento da k a j (h)

Mijd = tempo perso nella coincidenza (mancata) per il trasferimento da j a p (h)

n = numero di stazioni della linea p

Pij = capacit`a di servizio della linea j alla stazione i (pass)

Pp = capacit`a di servizio della linea p alla stazione i (pass)

Qid = pass_h che sulla linea principale in direzione d scendono alla stazione i

Tj = tempo di viaggio netto lungo la linea j

Tp = tempo di viaggio netto lungo la linea p

Twip = tempo di servizio per la salita/discesa alla stazione i della linea p (h)

Twϕj = tempo di servizio per la salita/discesa alla stazione ϕ della linea j (h)

TC

ikj = tempo di trasferimento in i da k a j con coordinamento (h)

TN

ikj = tempo di trasferimento al nodo i da k a j senza coordinamento (h)

TC

ijd= tempo di trasferimento al nodo i da j in direzione d con coordinamento (h)

TN

ijd= tempo di trasferimento in i da j in direzione d senza coordinamento (h)

TR

ij = round trip time sulla linea j al nodo i (h)

TR

p = round trip time sulla linea principale (h)

uw = valore unitario del tempo d’attesa (_pass−hEuro )

us = costo medio di esercizio del treno sulla linea secondaria (_treno−hEuro )

up = costo medio di esercizio del treno sulla linea principale (_treno−hEuro )

uv = valore unitario del tempo trascorso a bordo (_pass−hEuro )

Uikj = domanda di trasbordo (pass_h ) dalla linea k alla linea j

Uidj = domanda di trasbordo (pass_h ) dalla linea p in direzione d alla linea j

yikj = (0 op 1) se k e j al nodo i sono (senza op con) coordinamento

yidj = (0 op 1) se d e j al nodo i sono (senza op con) coordinamento

αid = pass_h che salgono alla stazione i in direzione d, non provenendo da un’altra

linea

β_id = pass_h che sulla linea p in direzione d scendono in i, avendo terminato il viaggio

δ = indice della direzione di marcia della linea secondaria

4.4

Ottimizzazione

La procedura di minimizzazione del costo totale prevista dal modello si esplica in quat-tro diverse fasi, all’interno delle quali vengono calcolati i valori ottimi delle variabili decisionali.

Nella FASE I vengono calcolati gli headways ottimi senza considerare il coordi-namento tra le linee, mentre nella FASE II si procede a progettare il coordicoordi-namento ottimo tra le linee secondarie che si incontrano in uno stesso nodo della linea princi-pale. Si passa quindi alla FASE III, nella quale si determina il coordinamento ottimo, nodo di scambio per nodo di scambio, tra la linea principale e le linee secondarie passanti per il nodo in esame. Infine nella FASE IV si ottimizza il coordinamento considerando contemporaneamente tutti i nodi di scambio.

4.4.1

FASE I (Assenza di coordinamento)

Dal momento che a questo livello dell’ottimizzazione non si considera ancora il coordi-namento tra le linee, nell’equazione (4.31), il costo totale `e funzione solo dell’headways delle linee (kij = 0). E’ sufficiente quindi calcolare la derivata parziale della funzione

costo totale rispetto all’headway di ogni linea e porla uguale a zero.

CT(Hij, Hp) = Co(Hij, Hp) + Cw(Hij, Hp) + Ct(Hij, Hp) + Cv

Poich`e Cv non dipende dall’headway non compare nel calcolo della derivata del

costo totale.

Derivando i vari costi rispetto a Hij si ha:

∂Co ∂Hij = ∂ ∂Hij à X i,j TR ijus Hij ! = −usT R ij H2 ij ∂Cw ∂Hij = 1 2Iij1uw ∂Ct ∂Hij =X k Uikjuw ∂TN ikj ∂Hij =X k Uikjuw µ 1 2 − var (Hij) 2H2 ij ¶ quindi ponendo ∂CT ∂Hij = 0 si ricava che

usTijR H2 ij + P k Uikjuwvar (Hij) 2H2 ij = 1 2 Ã Iij1uw+ X k Uikjuw !

La relazione che lega gli headways a tutti gli altri parametri (costo medio di esercizio, domanda,...) `e dunque, per le linee secondarie:

Hij = v u u u u t usTijR+ 12 P k Uikjuwvar (Hij) 1 2 µ Iij1uw+ P k Uikjuw ¶ (4.34)

mentre per la linea principale `e:

∂Co ∂Hpd = ∂ ∂Hpd à TR p up Hpd ! = −upT R p H2 pd ∂Cw ∂Hpd = 1 2 X i αiduw ∂Ct ∂Hpd =X i,j Uijduw ∂TN ijd ∂Hpd =X i,j Uijduw à 1 2− var (Hpd) 2H2 pd ! quindi ponendo ∂CT ∂Hp = 0 si ricava che upTpR H2 pd + P i,j Uijduwvar (Hpd) 2H2 pd = 1 2 à X i αiduw+ X i,j Uijduw ! dunque

Hpd = v u u u u u t upTpR+12 P i,j Uijduwvar (Hpd) 1 2 Ã P i αiduw+ P i,j Uijduw ! (4.35)

Il fatto che la soluzione sopra riportata sia unica e ottima `e confermato dal fat-to che la derivata seconda della funzione cosfat-to fat-totale, fatta rispetfat-to all’headway `e positiva.

4.4.2

FASE II (Coordinamento tra le linee secondarie alle

singole stazioni di scambio)

1. Per ogni singola stazione di scambio si considerano gli headways calcolati in Fase I per le linee secondarie (4.34) e si elencano quest’ultime in ordine di headway decrescente.

Quindi si isola la prima linea, cio`e quella con headway maggiore, inserendo una separazione tra la prima e la seconda linea elencate. Inizia cos`ı un procedimento durante il quale si tengono separate le linee gi`a coordinate (quelle al di sopra del segno di separazione) da quelle prive di coordinamento (quelle al di sotto).

2. Si calcola a questo punto il minimo della funzione costo totale (al primo pas-saggio si ottiene lo stesso risultato visto in Fase I perch`e c’`e una linea sola al di sopra del segno di separazione).

3. Si sposta il segno di separazione pi`u in basso, includendo cos`ı un’altra linea, la prima non ancora coordinata, in ordine decrescente di headway.

A questo punto si ottimizzano common headway e slack times delle linee coor-dinate.

4. Si introducono i common headway e gli slack times delle linee coordinate calco-lati al punto 3 e gli headways ottimi delle linee non coordinate, quindi si calcola e si prende nota del valore minimo assunto dalla funzione costo totale espressa dall’equazione (4.31) e del grado di coordinamento delle linee.

5. Se tutte le linee sono gi`a state considerate e quindi portate al di sopra del segno di confine si passa al punto 6, altrimenti si torna al punto precedente.

6. A questo punto `e terminato il ciclo. Si elimina adesso la linea che ha l’headway pi`u lungo perch`e toppo costosa da mantenere coordinata alle altre; dal ciclo successivo in poi sar`a considerata sempre non coordinata. Se dopo questa elim-inazione resta ancora almeno una linea nella lista si abbassa il segno di sepa-razione di una posizione verso il basso e si torna al punto 3, altrimenti si va al punto successivo.

7. Tra tutti i cicli, si cerca quello che ha fornito il costo totale minimo. Il coordi-namento corrispondente `e il migliore coordicoordi-namento.

In questo modo, per ogni nodo abbiamo determinato l’headway ottimo per ogni gruppo e lo slack time ottimo per ogni linea coordinata.

4.4.3

FASE III (Coordinamento tra linea principale e

secon-darie nodo per nodo)

Si tratta di considerare, per ogni nodo di scambio e per entrambe le direzioni d = 1, 2, il gruppo formato dalle linee gi`a coordinate nella fase precedente e coordinare tale gruppo alla linea principale. Mentre si valuta il coordinamento tra linea principale e secondarie ad un nodo, gli headways delle linee secondarie passanti dagli altri nodi restano quelle calcolate in Fase II.

1. Si elencano tutte le stazioni in cui si hanno gruppi di linee secondarie coordinate.

2. Si prende dalla lista una stazione non ancora considerata e si valutano i valori ottimi delle variabili sia per la direzione d = 1 che per la direzione d = 2 della linea principale. Si calcola il costo totale con coordinamento (4.31), nonch`e

common headways e slack times ottimi.

3. Si cerca il minimo tra i valori del costo totale calcolati al punto 2 e la direzione

d corrispondente. Se tutte le stazioni sono gi`a state considerate si va avanti,

altrimenti si torna al punto precedente.

4. Si cerca il minimo tra i valori del costo totale calcolati al punto 3 e la direzione

d corrispondente.

5. Si confronta il costo minimo calcolato al punto 4 con quello calcolato in fase II. Il pi`u piccolo tra i due `e quello che determina il coordinamento ottimo.

4.4.4

FASE IV (Coordinamento tra linea principale e

secon-darie in tutti i nodi contemporaneamente)

1. Si elencano le stazioni coordinate, individuate in Fase III, in ordine decrescente di common headways e si pone un segno di separazione tra la prima e la seconda stazione della lista.

2. Si sposta il segno di confine di una posizione verso il basso della lista. Si coordina la linea principale con le linee secondarie di tutte le stazioni che stanno al di sopra della separazione. per ogni linea secondaria coordinata si calcolano

common headways e slack times ottimi, quindi si calcola il costo totale minimo

utilizzando la (4.31).

3. Se non ci sono stazioni al di sotto della linea di separazione si va al punto 4, altrimenti si torna al punto 2.

4. Si elimina la prima stazione della lista e nelle successive iterazioni le linee secon-darie passanti per tale stazione saranno considerate non coordinate con la linea principale. Se ci sono almeno due stazioni nella lista si pone il segno di confine tra le prime due e si torna al punto 2, altrimenti si va al punto 5.

5. Si calcola il costo totale minimo tra quelli calcolati al punto 2.

6. Si confronta il costo totale minimo ottenuto al punto 5 con quello ottenuto in Fase III. Lo schema di coordinamento migliore `e quello che tra i due fornisce il costo totale minimo.