I.S.I.S.S. A. Giordano Venafro (IS) Appunti di Fisica n. 4

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I.S.I.S.S. “A. Giordano” Venafro (IS)

prof. Valerio D’Andrea VB ST - A.S. 2017/2018

Appunti di Fisica n. 4

1 Corrente Indotta

In seguito agli studi effettuati da Oersted nel 1820 in cui si cap`ı che la corrente elettrica genera campo magnetico, alcuni scienziati con Amp`ere e Faraday cercarono di capire se un campo magnetico pu`o generare a sua volta corrente elettrica, quella che viene chiamata corrente indotta.

Diversi esperimenti evidenziarono che la generazione di corrente indotta `e dovuta ad una variazione del numero di linee di forza che attraversano la superficie del circuito, cio´e quando varia il flusso del campo magnetico Φ( ~B).

1.1 Legge di Faraday-Neumann

La legge di Faraday-Neumann afferma che quando la f.e.m. indotta `e pari al rapporto tra la variazione del flusso concatenato al circuito e l’intervallo di tempo in cui avviene:

f.e.m._ind= −∆Φ( ~B)

∆t . (1)

Da questa legge si pu`o ricavare l’intensit`a della corrente indotta:

i_ind= f.e.m._ind

R = −1

R

∆Φ( ~B)

∆t . (2)

Considerando il limite ∆t → 0 la f.e.m. indotta istantanea si pu`o scrivere come la derivata del flusso rispetto al tempo.

1.2 Legge di Lenz

Nella legge di Faraday-Neumann compare un segno meno introdotto dalla legge di Lenz che afferma: il verso della corrente indotta `e tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso che l’ha generata.

La legge di Lenz `e una conseguenza del principio di conservazione dell’energia, se il verso del campo magnetico indotto fosse lo stesso della variazione di flusso si violerebbe il principio e si avrebbe la creazione di energia dal nulla.

2 Autoinduzione

La variazione di corrente in un circuito genera una f.e.m. indotta nel circuito stesso, questo fenomeno `e detto autoinduzione. Si introduce una nuova grandezza fisica, l’induttanza (o coefficiente di autoinduzione):

L = Φ( ~B)

i (3)

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che si misura in Henry: 1 H = 1 Wb/1 A = 1 V·1 s/1 A. Ogni circuito elettrico, oltre ad avere una resistenza, `e caratterizzato anche da un’induttanza; i circuiti con un’induttanza non trascurabile sono detti induttori, elementi circuitali con simbolo un solenoide schematizzato.

Nel caso di un solenoide con N spire, il flusso su una spira si pu`o scrivere Φ( ~B) = B · S, usando l’espressione per il campo ~B del solenoide si pu`o esprimere L come:

L = Φ( ~B)

i = N BS

i = N (µ₀N i/l)S

i = µ₀N²S

l (4)

dipende da µ₀ e dalla geometria del solenoide.

Sostituendo la definizione di L nella legge di Faraday-Neumann otteniamo l’espressione:

f.e.m._ind = −∆Φ( ~B)

∆t = −∆(L · i)

∆t = −L∆i

∆t (5)

che rappresenta la f.e.m. autoindotta in un circuito elettrico.

2.1 Circuito RL

Un circuito che contiene un resistore R in serie con un induttore L collegati ad un generatore di tensione ∆V₀ `e detto circuito RL. Usando la legge delle maglie si pu`o ricavare la seguente equazione differenziale:

∆V0− Ldi

dt − Ri = 0 (6)

risolvendo l’equazione si ricava l’andamento della corrente nel tempo i(t).

Se il circuito `e aperto e all’istante t = 0 viene chiuso si ottiene la corrente di chiusura:

i(t) = ∆V₀

R (1 − e⁻^R^L^t) (7)

funzione esponenziale con andamento crescente, tende al valore I0 = ^∆V_R⁰ per t → ∞. Se invece a t = 0 il circuito viene aperto si ottiene la corrente di apertura:

i(t) = ∆V0

R e⁻^R^L^t (8)

con andamento decrescente dal valore iniziale I₀ = ^∆V_R⁰ fino a zero per t → ∞. La presenza dell’induttore ritarda quindi il raggiungimento del valore di corrente che si avrebbe in sua assenza, questo a causa della corrente autoindotta che si genera al suo interno.

3 Corrente Alternata

3.1 Alternatore

L’alternatore è un dispositivo in grado di trasformare energia meccanica in energia elettrica che funziona grazie al fenomeno dell’induzione elettromagnetica. L’alternatore può essere visto come una spira piana che ruota in un campo magnetico uniforme ~B attorno ad un asse con velocità angolare costante ω. La rotazione provoca una variazione del flusso, generando una f.e.m. indotta;

il flusso pu`o essere scritto come:

Φ = B · S cos α = B · S cos ωt (9)

dove S è la superficie della spira e l’angolo tra ~B e ~S può essere scritto come velocità angolare per il tempo α = ω · t. Possiamo calcolare la f.e.m. indotta usando la legge di Faraday-Neumann:

f.e.m.ind= −dΦ

dt = −d

dt(BS cos ωt) = ωBS sin ωt (10)

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quindi la corrente indotta sar`a:

i_ind= f.e.m._ind

R = ωBS

R sin ωt = I₀sin ωt (11)

dove I₀ = ^ωBS_R ; l’alternatore genera quindi una corrente alternata, cioé che cambia periodica- mente il verso di scorrimento delle cariche, con un andamento sinusoidale di ampiezza I₀ e pulsazione ω. Il periodo della corrente è T = ^2π_ω, la frequenza è f = _T¹ = _2π^ω.

Per individuare la potenza dissipata da un circuito a corrente alternata si introduce un’intensit`a di corrente efficace, esso rappresenta quel valore d’intensit`a di corrente continua che produce la stessa potenza dissipata per effetto Joule, si dimostra che:

i_{ef f} = I₀

√2 (12)

questo valore deriva dal calcolo del valore medio della potenza P = Ri². Allo stesso modo si pu`o introddure la tensione efficace:

V_{ef f} = V₀

√2 (13)

che rappresenta il valore di tensione costante che da luogo alla stessa potenza dissipata.

3.2 Circuiti in Corrente Alternata

Analizziamo alcuni semplici circuiti in corrente alternata alimentati da una f.e.m. alternata con espressione V (t) = V0sin ωt.

Circuito Resistivo In questo circuito `e presente una resistenza R posta in serie con il generatore, applicando la II legge di Kirchoff si ottiene l’equazione:

V0sin ωt − Ri(t) = 0 (14)

dalla quale si ricava l’espressione della corrente:

i(t) = V₀

R sin ωt (15)

la corrente quindi `e una funzione sinusoidale con ampiezza I₀ = V₀/R in fase con la f.e.m. del generatore, cio´e le funzioni raggiungono contemporaneamente il valore massimo, minimo e nullo.

Circuito Induttivo In questo circuito `e presente un induttore L posto in serie con il generatore, applicando la II legge di Kirchoff si ottiene l’equazione:

V₀sin ωt − Ldi(t)

dt = 0 (16)

che rappresenta un’equazione differenziale a variabili separabili, integrando si ottiene l’espressione per i(t):

i(t) = −V0

ωLcos ωt = V0

ωLsin(ωt − π

2) (17)

una funzione sinusoidale con ampiezza I₀ = V₀/ωL in ritardo rispetto alla tensione di un quarto di periodo (ad esempio a t = 0 la tensione `e nulla, mentre la corrente si annulla dopo T /4). Per questo circuito si introduce la reattanza induttiva XL= ωL, una grandezza delle dimensioni di una resistenza che ci permette di scrivere l’ampiezza della corrente come I₀ = V₀/X_L (espressione simile a quella del circuito resistivo).

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Circuito Capacitivo In questo circuito `e presente un condensatore C posto in serie con il generatore, applicando la II legge di Kirchoff si ottiene l’equazione:

V₀sin ωt − q(t)

C = 0 (18)

dalla quale si ricava l’espressione per la carica:

q(t) = CV₀sin ωt (19)

derivando rispetto al tempo si ottiene l’intensit`a di corrente i(t) = dq(t)/dt:

i(t) = ωCV₀cos ωt = ωCV₀sin(ωt + π

2) (20)

una funzione sinusoidale con ampiezza I₀ = ωCV₀ in anticipo rispetto alla tensione di un quarto di periodo. Per questo circuito si introduce la reattanza capacitiva X_C = 1/ωC, una grandezza delle dimensioni di una resistenza che ci permette di scrivere come negli altri casi l’ampiezza della corrente come I₀ = V₀/X_C.

Circuito RCL Interessante `e lo studio del circuito in corrente alternata con il generatore in serie con una resistenza R, un induttore L e una condensatore C, il circuito RCL. Applicando la II legge di Kirchoff si ottiene l’equazione:

V0sin ωt − Ri(t) − Ldi(t)

dt − q(t)

C = 0 (21)

il termine della resistivo è quello di dissipazione per effetto Joule per la presenza di R, il termine induttivo è l’opposizione del circuito alla variazione di corrente per la presenza di L e il termine capacitivo è di richiamo perché il condensatore immagazzina energia durante la carica e poi la restituisce durante la scarica. L’equazione del circuito RCL è analoga a quella di un oscillatore armonico forzato.

Dopo una fase iniziale, l’intensit`a di corrente nel circuito assume l’espressione degli altri casi:

i(t) = I₀sin(ωt − ϕ) (22)

dove ϕ è lo sfasamento tra tensione e corrente (dipende dai valori di R, L e C); la corrente è in ritardo di φ/ω rispetto alla tensione. La grandezza I₀ è l’ampiezza della corrente ed è pari a:

I₀ = V₀

Z (23)

dove Z `e l’impedenza del circuito RCL, una grandezza delle dimensioni di un resistenza:

Z = s

R²+

ωL − 1 ωC

2

. (24)

Dall’espressione dell’impedenza si nota che esiste un valore minimo quando la pulsazione vale:

ω = 1

√CL (25)

detta pulsazione di risonanza che corrisponde al valore di ω per il quale l’impedenza Z coincide con la resistenza R, il circuito in questo caso dissipa la minima energia.

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3.3 Trasformatore Statico

Solitamente i dispositivi elettrici non possono essere collegati direttamente alla presa da 220 V, per ridurre la tensione si utilizza un dispositivo chiamato trasformatore statico, che `e in grado di aumentare o diminuire la tesione.

Il trasformatore `e costituito da 2 bobine con un nucleo ferromagnetico. Nel circuito primario con N₁ spire `e collegato un generatore di tensione alternata, il circuito secondario ha N₂ spire. La variazione del flusso genera una f.e.m. autoindotta nel circuito primario data da:

f.e.m.₁ = −N₁∆Φ_B

∆t (26)

mentre nel circuito secondario si genera una f.e.m. indotta pari a:

f.e.m.₂ = −N₂∆Φ_B

∆t . (27)

Dato che la variazione di flusso `e la stessa, il rapporto tra le f.e.m. vale:

f.e.m.₁ f.e.m.₂ = N₁

N₂ (28)

quindi il rapporto tra le tensioni nelle 2 bobine `e pari al rapporto tra il numero di spire.

Se N₁ > N₂ allora V₁ > V₂, il trasformatore funziona come riduttore; se N₁ < N₂ allora V₁ < V₂, il trasformatore funziona da elevatore.