La “crisi” della Fisica Classica Alcune situazioni sperimentali in cui la Fisica “Classica" fallisce

La “crisi” della Fisica Classica

Alcune situazioni sperimentali in cui la Fisica “Classica" fallisce

Effetto fotoelettrico Radiazione di corpo nero

Linee spettrali atomiche Proprietà ondulatorie degli elettroni

Energia del fotone Impulso del fotone

Lunghezza d’onda di

una particella Principio di indeterminazione Funzione d’onda Equazione di Schrödinger Le cure arrivano da idee intrinsicamente quantistiche:

La “Radiazione di Corpo Nero” o di "cavità” si riferisce ad un oggetto che assorbe tutta la radiazione incidente su di esso e ri-irraggia energia che è caratteristica del suo solo sistema

irraggiante, e non dipende dal tipo di radiazione incidente. L’energia irradiata può essere considerata come prodotta da onde stazionarie, o modi risonanti, della cavità che irraggia.

La radiazione di Corpo Nero

La quantità di radiazione emessa in una certa banda di frequenze dovrebbe essere proporzionale al

numero di modi in quella banda.

Secondo la Fisica Classica tutti i modi hanno la stessa probabilità di essere prodotti, ed il numero di

modi possibili nella cavità cresce

Tuttavia, la continua crescita di energia emessa con la

frequenza (denominata

"ultraviolet catastrophe") non avviene. La Natura è più

saggia.

modi di radiazione

L’espressione quantistica della energia media per modo si ottiene partendo dalla ipotesi di Planck: tutta la radiazione elettromagnetica è quantizzata e l’emissione avviene per “quanti di energia”, che chiamiamo fotoni. Il quanto di energia di un

fotone è dato dal prodotto della costante di Planck h per la frequenza.

La nascita della Meccanica Quantistica

Questa quantizzazione implica che un fotone di luce, di data frequenza e lunghezza d’onda, ha una energia quantistica fissata. Per esempio, un fotone di

luce blu, che ha una lunghezza d’onda di 450 nm, avrà sempre una energia di 2.76 eV. Tutta la luce blu è formata da fotoni di questa energia, e trasporta

energia in multipli di 2.76 eV. Non si può avere un mezzo fotone blu.

La frequenza disponibile è continua, senza limiti superiori o inferiori; quindi non vi alcuna restrizione circa la possibile energia di un fotone. Per quanto riguarda

le energie alte, un limite pratico è semplicemente dovuto alla difficoltà di trovare meccanismi per la creazione di fotoni ad altissima energia. I fotoni di bassa energia invece abbondano; tuttavia, quando si scende sotto il limite delle

frequenze radio, le energie dei fotoni sono così piccole, confrontate con le energie termiche a temperatura ambiente, che non si potranno mai isolare come singole entità quantizzate. Si perdono semplicemente nella energia di fondo presente. In altre parole, nel limite di basse frequenze la trattazione della

radiazione elettromagnetica si fonde con la descrizione classica ed una trattazione quantistica non è più necessaria.

Energia massima e minima, Meccanica Quantistica e

Meccanica Classica

Densità di energia del Corpo Nero in funzione della frequenza

Energia per unità di volume

e di frequenza

k = costante di Boltzman

Confronto tra la legge classica di Rayleigh-Jeans e la formula della radiazione quantistica di Planck. L’ esperimento conferma la relazione di Planck.

Rayleigh-Jeans vs Planck

Curve di Radiazione

L’effetto fotoelettrico

Gli aspetti incomprensibili dell’effetto fotoelettrico quando si

incominciò ad osservarlo erano:

1. Gli elettroni venivano emessi immediatamente - nessun ritardo!

2. Un aumento della intensità della luce causava un aumento

del numero di fotoelettroni, ma non della loro energia cinetica!

3. La luce rossa non provoca emissione di elettroni, qualunque

sia la sua intensità!

4. Una debola luce violetta causa l’emissione di pochi elettroni, ma la

loro energia cinetica è maggiore di quella ottenuta con luce più intensa

di frequenza minore!

Le caratteristiche dell’effetto fotoelttrico erano in netta contraddizione con le

predizioni della Fisica Classica. La spiegazione dell’effetto segnò uno dei passi fondamentali verso la Teoria dei

Quanti^.

L’analisi dei dati dell’effetto fotoelettrico mostrò che l’energia degli elettroni emessi era

proporzionale alla frequenza della luce incidente.

Ciò mostrava che qualunque “cosa” estraesse gli elettroni dal metallo aveva un’energia

proporzionale alla frequenza della luce. Il fatto sorprendente che l’energia dei singoli elettroni fosse indipendente dalla energia totale della luce

incidente (cioè l’intensità), mostrava che l’interazione della luce con il metallo deve essere

come quella di una singola particella che cede la sua energia all’elettrone. Ciò è consistente con

l’ipotesi di Planck, da lui applicata al problema della radiazione del Corpo Nero, secondo cui la luce è formata da quanti discreti (fotoni), ciascuno

con energia:

hν E 

L’effetto fotoelettrico

I fenomeni luminosi più comuni possono essere spiegati e descritti mediante la natura ondulatoria della luce. Invece, l’effetto fotoelettrico suggerisce una

natura corpuscolare della luce.

Negli anni alla fine del 1900, si osservò che la luce emessa da gas luminosi non mostrava una distribuzione

continua di lunghezze d’onda, ma formava un insieme discreto di colori, diversi per i vari gas. Queste "linee

spettrali" si disponevano in una serie regolare e si giungerà ad interpretarle come transizioni tra livelli atomici

di energia. Allora, rappresentavano un grosso problema per la Fisica Classica. Si sapeva che particelle cariche

accelerate emettono onde elettromagnetiche, e ci si aspettava che orbite di elettroni intorno ai nuclei fossero

instabili, in quanto, a causa della perdita di energia elettromagnetica emessa, sarebbero stati attratti dal nucleo. Non si poteva trovare alcun modello classico che

portasse ad orbite stabili degli elettroni.

Il modello atomico di Bohr segnò il passo fondamentale verso una moderna teoria atomica. Il punto fondamentale

fu il postulato che il momento angolare è quantizzato, permettendo di ottenere solo specifici livelli di energia. In

seguito, lo sviluppo della Meccanica Quantistica e l’equazione di Schrödinger permisero di comprendere i postulati ed I risultati del modello all’interno di una teoria

completa e consistente.

Il problema degli spettri atomici

 

 



 



2 2

1

1 1

1

n R

n



R_H, costante di Rydberg

= 1.097 10^–7 m^–1

Helium spectrum

Hydrogen spectrum

2 1

,n

n

Nel modello di Bohr, questo risultato classico fu combinato con la quantizzazione del momento angolare, per ottenere un’espressione dei livelli quantizzati di energia.

Il modello atomico di Boh – Orbita classica dell’elettrone

Nel modello di Bohr la lunghezza d’onda associata all’elettrone è data dalla relazione di de Broglie (si vedano le trasparenze successive)

a cui si unisce la condizione di stazionarietà: lunghezza della circonferenza = numero intero di lunghezze d’onda

Queste due condizioni si combinano per dare l’espressione quantizzata del momento angolare per l’elettrone in orbita:

Quindi L non solo è conservato (non dipende dal tempo), ma è costretto ad assumere valori discreti, multipli di h/2π secondo il numero quantico n. Questa quantizzazione del momento angolare è un risultato fondamentale e può essere usato per determinare I raggi e le energie delle orbite di Bohr.

La quantizzazione del momento angolare

v m

h h  p

 



 r  n 2

n  nh

n r hr r hr

m

L     





 2 2

v

Combinando il procedimento seguito nel caso classico con la quantizzazione del momento angolare, l’approccio di Bohr fornisce le espressioni per i raggi e le energie delle orbite degli elettroni:

da queste espressioni si ricava:

energia cinetica

dell’elettrone espressa in funzione del

momento angolare

uso della condizione di quantizzazione

energia cinetica orbitale classica

vale per atomi idrogenoidi: Z protoni

e 1 elettrone

2 2

eV 6 .

13 Z

 n

a

= 0.529 10

m = raggio di Bohr n = 1,2,3,…

I livelli di energia dell’atomo di idrogeno sono in accordo con quelli del modello di Bohr. La descrizione pittorica usuale è quella di una struttura ad orbite (o gusci), con

ogni orbita associata ad uno dei valori del numero quantico principale n.

La descrizione dell’atomo tramite le orbite del modello di Bohr è una utile visualizzazione;

non bisogna tuttavia dimenticare che, come risulterà dalla Meccanica Quantistica, i concetti di orbita e raggio orbitale saranno sostituiti da concetti quali la distribuzione di probabilità di posizione.

Livelli di energia dell’atomo di idrogeno

Il modello di Bohr prevede che gli elettroni occupino una delle possibili orbite

quantizzate, senza emissione di onde elettromagnetiche. L’emissione avviene quando l’elettrone passa da un’orbita all’altra; in questa transizione avviene l’emissione di un

fotone di energia pari alla differenza di energia tra le due orbite.

Questa relazione può essere scritta come

eV 1

6 1 . 1 13

1

8

4

 

 



 

 



 



 

 h n n n n

h me

 

2 3 0

4

8 ch R

me

 

1 7

m 10

097 .

1

H

 R

1

2

E

E h   

con

Dall’espressione dei livelli quantizzati di energia si ha

 

 



 

 ^hc 

h

Anche se il modello di Bohr rappresentò un passo avanti fondamentale verso la costruzione della teoria quantistica degli atomi, non rappresenta in

realtà la corretta descrizione teorica della natura delle orbite elettroniche.

Le sue principali manchevolezze sono:

1. Non permette di capire perché certe linee spettrali sono più luminose di altre. Non vi è alcun meccanismo che permetta di calcolare la probabilità di

transizione tra livelli atomici.

2. Il modello di Bohr considera gli elettroni come pianeti in miniatura, in rotazione intorno al nucleo con un ben preciso raggio ed impulso. Questo viola il principio di indeterminazione, secondo cui posizione ed impulso non

possono essere esattamente determinati contemporaneamente.

Il modello di Bohr ci fornisce un modello concettualmente semplice e fondamentale delle orbite e delle energie degli elettroni atomici. I dettagli dello spettro e della distribuzione di cariche sono ottenibili solo dai calcoli

della Meccanica Quantistica e dell’equazione di Schrödinger. Molti dei risultati del modello di Bohr (compresa la sua ipotesi di quantizzazione )

saranno ritrovati all’interno di una teoria completa e consistente.

Le debolezze del modello di Bohr

Compton osservò la deflessione di raggi X da parte di elettroni, trovando

che i raggi X deflessi avevano una lunghezza d’onda più grande di quella

dei raggi incideni. La variazione della lunghezza d’onda aumentava con l’angolo di deflessione, secondo la

formula (di Compton):

Compton spiegò i dati assumendo una natura particellare della luce (fotoni)

ed applicando la coservazione dell’energia e dell’impulso alla collisione tra un fotone e l’elettrone. Il fotone deflesso ha un’energia minore e quindi una maggiore lunghezza d’onda,

secondo la relazione di Planck.

La natura particellare della luce – Lo scattering Compton

L’espressione precedente per Δλ può essere ottenuta imponendo la conservazione dell’energia e dell’impulso:

4 2 2

2

2

h p c m c

c m

h 



 





e f

i

p p

p     

conservazione dell’energia conservazione dell’impulso

Giovane studente a Parigi, Louis DeBroglie aveva appreso la relatività e l’effetto fotoelettrico. Quest’ultimo evidenziava la natura corpuscolare della luce, da sempre considerata un fenomeno ondulatorio. Egli si chiese se gli elettroni ed altre "particelle"

potessero a loro volta esibire proprietà ondulatorie. Questo condurrà ad una nuova teoria.

La conferma dell’ipotesi di DeBroglie arrivò grazie all’esperimento di Davisson- Germer. Esso mostrò figure di interferenza – in accordo con la lunghezza

d’onda di DeBroglie – per l’urto di elettroni su cristalli di nickel.

La natura ondulatoria dell’elettrone

Quando i raggi X sono deflessi dal reticolo cristallino, si osservano picchi di intensità finale corrispondenti

alla condizione di Bragg, secondo cui si hanno massimi quando la differenza di cammino di due raggi è uguale ad un multiplo intero della lunghezza d’onda.

Tale formula può essere usata in più modi:

conoscendo d e misurando theta, si ricava lambda, oppure conoscendo lambda si ricava d.

Simili figure di interferenza furono osservate con elettroni. L’energia degli elettroni, e quindi la loro lunghezza d’onda, può essere variata, variando il

potenziale di accelerazione.

L’esperimento di Davisson- Germer dimostrò che anche gli

elettroni presentano fenomeni ondulatori, in accordo con la lunghezza d’onda di DeBroglie:

lunghezza d’onda di un elettrone di

impulso p

La lunghezza d’onda di DeBroglie

La luce consiste di particelle o di onde? La risposta dipende dai tipi di fenomeni che si osservano:

Fenomeno Può essere spiegato in termini

di onde Può essere spiegato in termini

di particelle

I più comuni fenomeni luminosi osservati possono essere spiegati come fenomeni ondulatori.

Tuttavia l’effetto fotoelettrico e lo scattering Compton suggerirono una natura particellare per la luce. Lo stesso dualismo onda-particella fu osservato anche per gli elettroni.

La dualità Onda-Particella per la luce

Refessione Rifrazione Interferenza Diffrazione Polarizzazione

Effetto fotoelettrico Compton scattering

) ,

( t x

 La funzione

d’onda

Ogni particella è rappresentata da una funzione d’onda Ψ (x,t) tale che Ψ* Ψ è la probabilità di trovare la particella nel punto x al tempo

t.

La funzione d’onda è soluzione dell’equazione di Schrödinger. Questa equazione gioca lo stesso ruolo della legge di Newton e della

conservazione dell’energia nella Meccanica Classica, cioè predice il comportamento futuro di un sistema dinamico. Predice analiticamente

e precisamente le probabilità di eventi e risultati futuri. I dettagli dei

risultati dipendono dal caso, ma, per un grande numero di eventi,

l’equazione di Schrödinger, predirrà la loro distribuzione statistica.

Le proprietà della funzione d’onda











contiene tutte le informazioni fisiche (misurabili) sulla particella

*

  1

  ^dV se la particella esiste, la probabilità totale di trovarla è 1

è continua (insieme alla sua derivata)

permette il calcolo del valore medio (valore di aspettazione) di qualunque grandezza fisica

Per una particella libera è un’onda piana; ciò implica un

preciso valore p dell’impulso e p

/2m dell’energia, ed una

totale incertezza nella posizione

L’energia cinetica e potenziale sono trasformate nell’operatore Hamiltoniano, che agisce sulla funzione d’onda per generarne l’evoluzione nello spazio e nel tempo. L’equazione di Schrödinger dà l’energia quantizzata del sistema (i possibili valori di E) e la forma della funzione d’onda, a partire dalla quale altre proprietà fisiche possono essere calcolate.

L’equazione di Schrödinger

Per un potenziale generico U l’equazione di Schrödinger unidimensionale ed indipendente dal tempo è

In 3 dimensioni assume la forma

per coordinate cartesiane. Può essere scritta in modo più compatto, introducendo l’operatore Laplaciano

L’equazione di Schrodinger può quindi essere scritta come:

L’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo

) ( )

( ) ) (

(

2

2 2

x E

x x

dx U x d

m     

 

) , , ( )

, , ( ) , ,

2

(

2 2

2 2

2 2

z y x E

z y x z

y x z U

y x

m     



 









 





 





  

2 2 2

2 2

2 2

z f y

f x

f f



 



 



 













 



 



    ( , , ) ( , , ) ( , , ) ˆ 2

2 2

E H

z y x E

z y x z

y x m U



L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, in una dimensione spaziale, ha la forma

Per una particella libera , per la quale U(x) =0, la funzione d’onda, soluzione dell’equazione, può essere scritta come un’onda piana

Per altri problemi, cioè per particelle soggette ad una forza, il potenziale non nullo rende la soluzione più difficile. La dipendenza spaziale della funzione d’onda è fissata dall’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo mentre l’evoluzione temporale da quella dipendente dal tempo

L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo

h E T

p π

k h    



 2

2 2

2

2    



) , ) (

, ( ) ) (

, (

2

2 2

t t i x

t x x

x U t x

m 



 



 





  

)

) (

,

( x t  Ae ^{i k x   t}



I postulati della Meccanica Quantistica

Associata ad ogni particella che si muove in un campo di forze conservative vi è una funzione d’onda, la quale determina tutte le informazioni ottenibili sul sistema.

Ad ogni sistema fisico formato da una particella è associata una funzione d’onda. Questa funzione d’onda permette di ottenere tutte le informazioni possibili sul sistema. La funzione d’onda può anche essere complessa; è il prodotto con la funzione complessa coniugata che specifica la vera probabilità fisica di trovare la particella in un certo stato.

1. Il postulato della Funzione d’Onda:

) ,

( t x

 ampiezza di probabilità, calcolata in x ,t

) ,

( )

,

* ( x t  x t

 probabilità di trovare la

particella in x ,t

La funzione d’onda rappresenta l’ampiezza di probabilità di trovare la particella in un certo punto dello spazio, ad un certo istante. La vera probabilità di trovare la particella è data dal prodotto della funzione d’onda (che può essere un numero complesso) con il suo complesso coniugato; il risultato è sempre un numero reale (l’analogo del quadrato, per una funzione complessa).

Poiché la probabilità totale di trovare la particella da qualche parte deve essere = 1, la funzione d’onda deve essere normalizzata. Cioè la somma delle probabilità, estesa a tutto lo spazio, deve essere 1. Ciò si esprime tramite l’integrale:

La richiesta di avere funzioni d’onda normalizzabili svolge un ruolo molto importante nella ricerca delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger. Ad esempio, si può trovare che solo certi valori dell’energia permettono di ottenere soluzioni normalizzabili.

Probabilità in Meccanica Quantistica



 dx dy dz

dV

 ^

^{ dV  1}

à probabilit di

ampiezza )

, , ,

( 

 x y z t

à probabilit

*

 



Per ogni osservabile fisica q esiste un operatore associato Q, il quale, quando opera su una funzione d’onda associata ad un valore definito di quella osservabile, dà

come risultato la stessa funzione d’onda moltiplicata per quel valore dell’osservabile.

2. Il postulato degli operatori associati a grandezze fisiche

Per ogni osservabile fisica si introduce un operatore matematico associato che agisce sulla funzione d’onda, dando come risultato, in generale, un’altra funzione.

Supponiamo che la funzione d’onda Ψ_n (autofunzione) sia associata ad un particolare valore q_n (autovalore) della osservabile e che l’operatore sia indicato con Q. L’azione dell’operatore è data da:

L’operatore matematico Q estrae il valore q_n dell’osservabile, operando sulla funzione d’onda che rappresenta quel particolare stato del sistema. Questo processo è collegato alla teoria della misura in Meccanica Quantistica. Ogni funzione d’onda di un sistema quantistico può essere rappresentata come una combinazione lineare delle autofunzioni Ψ_n (si veda il postulato del sistema completo). Quindi l’operatore Q può essere usato per estrarre una combinazione lineare di autovalori, ciascuno moltiplicato per un coefficiente;

questo è legato alla probabilità di ottenere come risultato della misura proprio l’autovalore corrispondente (si veda il postulato del valore di aspettazione).

Associato ad ogni grandezza misurabile di un sistema fisico vi è un operatore quantistico.

In Meccanica Quantistica si descrivono i sistemi fisici mediante onde (la funzione d’onda), piuttosto che tramite particelle il cui moto e la cui dinamica possono essere descritti con precisione dalle equazioni deterministiche della Fisica di Newton. Questi operatori possono essere rappresentati in vari modi. Alcuni sono elencati qui di sotto:.

In questa rappresentazione (detta di Schrödinger) degli operatori, le posizioni e le loro funzioni non cambiano, mente gli impulsi diventano derivate rispetto alla posizione.

L’operatore dell’energia (Hamiltoniano) contiene derivate rispetto allo spazio ed al tempo.

Operatori in Meccanica Quantistica

Ogni operatore Q associato ad una grandezza fisica osservabile è Hermitiano

3. Il postulato e le proprietà dell’operatore Hermitiano

Ogni operatore quantistico Q, associato ad una grandezza fisica reale e misurabile, deve essere Hermitiano, cioè soddisfare la seguente proprietà:

dV )

( dV

)

(

*

b a

b

a

Q   Q  

  

dove Ψ_a e Ψ_b sono funzioni arbitrarie normalizzabili, e l’integrazione è su tutto lo spazio.

La richiesta è fisicamente necessaria, in quanto assicura che i valori misurati (cioè gli autovalori) siano numeri reali.

Teorema: se Q è Hermitiano, allora tutti i q

sono numeri reali Inoltre, se Q è hermitiano,

per ogni i ≠ j si ha:  



dV  0

L’insieme delle autofunzioni di un operatore Hermitiano Q forma un insieme completo (una base) di funzioni linearmente indipendenti

4. Il teorema dell’insieme completo

L’insieme delle funzioni Ψ_j, che sono autofunzioni dell’equazione agli autovalori

forma un insieme completo di funzioni linearmente indipendenti. Esse formano una base:

vale a dire che qualunque funzione d’onda che rappresenti il sistema può essere scritta come combinazione lineare delle funzioni della base:

Ciò implica che qualunque funzione d’onda Ψ che descrive il sistema fisico può essere scritta come combinazione lineare delle autofunzioni di qualunque osservabile fisica del sistema.

Per un sistema descritto da una data funzione d’onda Ψ, si può calcolare il valore di aspettazione di qualunque grandezza fisica q, alla quale è associato l’operatore Q.

5. Il postulato del valore di aspettazione

Per un sistema fisico descritto da una funzione d’onda Ψ, il valore di aspettazione di una qualunque osservabile fisica q può essere espresso in termini del corrispondente operatore hermitiano Q e della funzione d’onda, nel modo seguente:

*

 dV







 ^q

 ^Q

La funzione d’onda deve essere normalizzata e l’integrale è esteso a tutto lo spazio.

Questo postulato diviene intuitivo se si considera il postulato dell’operatore Hermitiano e il teorema dell’insieme completo. La funzione d’onda può essere rappresentata come una combinazione lineare delle autofunzioni di Q, ed il risultato dell’integrale dà la somma di tutti i possibili valori fisici (gli autovalori di Q), ciascuno moltiplicato per un coefficiente (una probabilità). L’integrale dà quindi la media pesata di tutti i possibili valori dell’osservabile.

Un sistema fisico è descritto dalla funzione d’onda Ψ, la quale può sempre essere scritta come una combinazione lineare delle autofunzioni dell’operatore Hermitiano Q:

n n n

n n

n

Q q

c    



 

con la seguente interpretazione: una misura di Q per lo stato Ψ darà come risultato uno qualunque dei suoi autovalori q_n, ciascuno con una probabilità |c_n|².

n n

n

q

c q ^{ }  | |



La condizione di normalizzazione della funzione d’onda implica:

1

|

|





c

Una misura di Q forza il sistema a diventare uno dei possibili autostati (autofunzioni) di Q, Ψn: ogni eventuale misura successiva di Q darà sempre

come risultato q_n

Se uno inserisce questa espressione nell’integrale del valore di aspettazione, trova

L’evoluzione temporale della funzione d’onda è data dalla equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.

6. L’ evoluzione temporale

Se Ψ(x,y,z; t) è la funzione d’onda di un sistema fisico ad un tempo t ed il sistema è libero da interazioni esterne al sistema, allora l’evoluzione nel tempo della funzione d’onda è data

dove H è l’operatore Hamiltoniano formato a partire dall’espressione dell’Hamiltoniana classica e sostituendo le osservabili classiche con i corrispondenti operatori quantistici.

Il ruolo dell’Hamiltoniano nella dipendenza spaziale e temporale della funzione d’onda è espresso dalle equazioni di Schrödinger.

1. Associata ad ogni particella che si muove in un campo di forze conservative esiste una funzione d’onda, la quale contiene tutte le

informazioni che si possono ottenere sul sistema.

2. Ad ogni osservabile fisica q corrisponde un operatore associato Q, il quale, quando opera sulla funzione d’onda associata ad un particolare valore di quella osservabile, dà come risultato la stessa funzione d’onda

moltiplicata per quel valore dell’osservabile.

3. Ogni operatore Q associato ad una proprietà fisica misurabile, è un operatore Hermitiano

4. L’insieme di autofunzioni di ogni operatore Hermitiano Q forma un insieme completo (o base) di funzioni linearmente independenti.

5. Per un sistema fisico descritto da una data funzione d’onda, il valore di aspettazione (o valor medio) di qualunque grandezza fisica

q si trova calcolando l’integrale del valore di aspettazione rispetto a quella funzione d’onda.

6. L’evoluzione temporale della funzione d’onda è dato dalla equazione

di Schrödinger dipendente dal tempo.

L’equazione di Schrödinger non può essere dedotta; la sua validità viene dal confronto con i dati sperimentali. La naura ondulatoria di un elettrone è chiaramente

confermata da esperimenti come quello di Davisson-Germer. Ciò fa sorgere la domanda: “Cosa è questa natura ondulatoria?". La risposta, a posteriori, è che questa natura ondulatoria si manifesta attraverso la funzione d’onda dell’elettrone. La

soluzione dell’equazione di Schrödinger per una particella libera è un’onda piana, la quale contiene la relazione di deBroglie per l’impulso e di Planck per l’energia.

Una particella libera e l’equazione di Schrödinger

 2

 h



E’ più facile mostrare la relazione con l’equazione di Schrödinger scrivendo l’onda piana in forma esponenziale usando la relazione di Eulero. Questa è l’espressione usuale per la funzione d’onda di una particella libera.

) sin cos

( e

   i 

Si può verificare che Ψ è autofunzione degli operatori impulso ed energia

Il collegamento con l’equazione di Schrödinger si può fare esaminando l’espressione per l’energia per particelle e per onde (fotoni)

Assumendo l’equivalenza di queste due espressioni and inserendo I loro corrispondenti operatori quantistici, ci porta all’equazione di Shrödinger

La posizione e l’impulso di una particella non possono essere misurati

simultaneamente con precisione arbitraria. Il prodotto delle incertezze delle due misure ha un minimo. Lo stesso principio vale per la misura contemporanea di

energia e tempo.

Questo principio non riguarda il limite proprio degli strumenti di misura, o limiti derivanti dalla accuratezza dei metodi sperimentali. Deriva dalle proprietà ondulatorie intrinseche alla descrizione quantistica della natura.

Anche con strumenti e tecniche perfetti, questa incertezza rimane, intrinseca alla natura delle cose.

Il principio di indeterminazione

Il principio di indeterminazione

La dualità onda-particella e la relazione di DeBroglie aiutano a comprendere tale principio. Man mano che si scende verso dimensioni atomiche, non è più valido

considerare una particella come una sfera rigida, perché più piccole sono le dimensioni e più “ondosa” essa diviene. Non ha più senso dire che si conoscono precisamente la

posizione e l’impulso di tale particella.

La definizione esatta di Δx e Δp è

2 2

2

2

          





 x x x p p p

2

 



 x p

Il confinamento di particelle

Calcolo della energia di confinamento

La soluzione dell’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno si ottiene più facilmente usando coordinate polari sferiche e

separando le variabili, così che la funzione d’onda è rappresentata

dal prodotto:

La separazione conduce a tre equazioni separate per le tre variabili spaziali, e le loro soluzioni portano ai

tre numeri quantici associati con i livelli di energia dell’atomo di idrogeno.

L’atomo di idrogeno

La soluzione dell’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno richiede di imporre la condizione che le funzioni d’onda siano normalizzabili. Queste soluzioni, per le tre funzioni separate delle tre variabili, possono esistere soltanto se certe costanti che appaiono nelle equazioni assumono valori interi. Ciò porta ai numeri quantici dell’atomo di idrogeno:

nlm n

nlm

 E 



H 13 . 6 eV

n

E

 

I numeri quantici per l’atomo di idrogeno

n = principal quantum number

nlm nlm

l l

L

  (  1 ) 



l = orbital quantum number

nlm l

nlm

z

m

L    

m_l = magnetic quantum number

Il modello vettoriale per il momento angolare orbitale

Il momento angolare orbitale per un elettrone atomico può essere visualizzato mediante un modello vettoriale, nel quale il vettore momento angolare

effettua un moto di precessione intorno ad una direzione fissa nello spazio. Mentre la lunghezza del vettore ha il valore indicato, solamente un massimo di

l unità of ħ può essere misurato lungo una certa direzione, dove l è il numero quantico orbitale.

Anche se lo si definisce "vettore", il momento angolare orbitale in Meccanica Quantistica è un

tipo speciale di vettore; infatti la sua proiezione lungo una direzione nello spazio è quantizzata, con

valori che differiscono di una unità ħ. Il diagramma mostra che i possibili valori del “numero quantico

magnetico" m_l (for l =2), sono

2 , 1 , 0 , 1 , 2 



l



m

Lo spin di un elettrone, s = 1/2, è una proprietà intrinseca degli elettroni. In aggiunta al momento angolare orbitale gli elettroni posseggono un momento angolare intrinseco, caratterizzato dal numero quantico

1/2. In analogia al momento angolare orbitale, si ha:

spin

S

 



 

  



 1

2 1 2

1

2



spin spin

s spin

z

m

S       2 1 

 Lo spin dell’elettrone

m_s= ½ “spin su” m_s= – ½ “spin giù”

I due stati di spin, “su" e “giù“, permettono di avere due elettroni per ogni insieme degli altri numeri quantici

s

l m

nlm









m

l

n , ,

Due elettroni in un atomo non possono avere gli stessi numeri quantici.

Questo è un esempio di un principio generale che si applica non solo agli elettroni, ma anche a tutte le altre particelle di spin semi-intero (fermioni). Non si applica alle

particelle di spin intero (bosoni).

Il Principio di Esclusione di Pauli

La natura del principio di esclusione di Pauli può essere illustrata supponendo che gli elettroni 1 e 2 siano negli stati a e b rispettivamente. La funzione d’onda per il sistema dei due elettroni sarebbe

Ma questa funzione d’onda è inaccettabile perché gli elettroni sono identici e non distinguibili. Ogni stato può essere occupato

da uno qualunque dei due elettroni, e, per tener conto di ciò, dobbiamo usare una combinazione lineare delle due possibilità..

La funzione d’onda per il sistema in cui entrambi gli stati "a" e "b" sono occupati dagli elettroni può essere scritta come:

Il principio di esclusione di Pauli è parte di una delle nostre più fondamentali osservazioni della natura: particelle identiche di spin semi-intero debbono avere una funzione d’onda antisimmetrica, mentre particelle identiche di spin intero debbono avere una funzione d’onda simmetrica. Il segno meno relativo tra i due termini costringe la funzione d’onda dei fermioni ad annullarsi identicamente se i due stati "a" e "b“ sono identici; ciò implica che è impossibile che entrambi gli elettroni occupino lo stesso stato.

Applicazioni del principio di esclusione di Pauli

I numeri quantici associati agli elettroni atomici, insieme al principio di esclusione di Pauli, forniscono le proprietà fondamentali per la costruzione delle strutture atomiche e la comprensione della Tabella Periodica degli Elementi.

L’ordine di occupazione dei livelli di energia atomici da parte degli elettroni avviene a partire da quelli di energia pù bassa, e prosegue consistentemente con il principio di Pauli. L’indicazione dei livelli segue lo schema della notazione spettroscopica.

La Tabella Periodica degli Elementi

Per un dato numero quantico principale n, vi sono 2n

diversi stati possibili

(con la stessa energia).

Prima che la natura degli stati atomici degli elettroni fosse chiarificata dalla Meccanica Quantistica, lo studio degli spettri di radiazione emessi dagli atomi (spettroscopia) fece osservare l’esistenza di serie tipiche, alle quali furono assegnate lettere. In funzione dei numeri quantici degli stati elettronici, la notazione è la seguente:

La notazione spettroscopica

Man mano che la tabella periodica degli elementi è costruita, aggiungendo elettroni fino a raggiungere il numero

atomico, sono occupati gli stati di energia più bassa, permessi dal principio di esclusione di Pauli. La massima

occupazione di ciascun livello è determinata dai numeri quantici, ed il diagramma a sinistra illustra l’ordine di

riempimento dei livelli energetici.

Per un singolo elettrone l’energia è determinata dal numero quantico principale n, e quel numero quantico è usato per

indicare la "shell (guscio)" in cui si sistemano gli elettroni.

Per una data shell in atomi multi-elettronici, gli elettroni con un numero quantico orbitale l inferiore avranno energia più bassa, se si tiene conto della loro energia di interazione con

gli altri elettroni. Questi livelli di energia sono specificati dai numeri quantici principali ed orbitali, usando le notazioni

spettroscopiche. Quando si raggiunge il livello 4s, la dipendenza dal numero quantico orbitale è così forte che

l’energia del livello 4s è inferiore a quella del livello 3d. A parte qualche piccola eccezione, l’ordine di riempimento segue lo schema indicato nel diagramma, con la freccia che

indica i punti nei quali si procede verso shell successiva, piuttosto che verso il livello con un maggiore numero

L’ordine di riempimento degli stati elettronici

La divisione in “gusci” (shells) può suggerire l’idea di un "modello planetario" per gli elettroni; anche se non è del tutto accurata, questa descrizione ha un valore mnemonico

ed intuitivo per aiutare a comprendere la struttura degli elementi più pesanti.

La configurazione orbitale degli elettroni fornisce una schema utile per capire le reazioni chimiche, che sono guidate dal principio di trovare le configurazioni degli elettroni con energia più bassa (le più stabili). Si dice che il sodio ha una valenza di

+1 poiché tende a perdere un elettrone, e il cloro ha una valenza di -1 poiché ha la tendenza ad acquistare un elettrone. Entrambi questi atomi sono molto attivi chimicamente, e la loro combinazione (cloruro di sodio) è il classico caso di un

legame ionico.

Nel1924 Einstein notò che i bosoni possono "condensare" in numero illimitato in un singolo stato fondamentale, in quanto obbediscono alla statistica di Bose-Einstein e non hanno le restrizioni derivanti dal principio di esclusione di

Pauli. Ciò fu poco notato, fino a quando il comportamento anomalo dell’elio liquido a basse temperature fu studiato attentamente.

Quando l’elio è raffreddato alla temperatura critica di 2.17 K, avviene una impressionante cambio nel valore della capacità termica, la densità del liquido

precipita e una parte di esso diventa "superfluido”, a zero viscosità. La superfluidità è originata dalla frazione di atomi di elio che sono condensati alla

più bassa energia possibile.

Un effetto di condensazione è anche ritenuto responsabile per il fenomeno della superconduttività. Nella teoria BCS, coppie di elettroni si uniscono per formare le cosiddette coppie di Cooper, le quali si comportano come bosoni e

possono condensare in uno stato di resistenza elettrica nulla.

La condensazione di Bose-Einstein