Segno di un polinomio di II grado di Giorgia Bellomonte - Dipartimento di Matematica e Informatica Universit`a degli Studi di Palermo

Segno di un polinomio di II grado

di Giorgia Bellomonte - Dipartimento di Matematica e Informatica Universit`a degli Studi di Palermo

Sia dato il polinomio di secondo grado (a6= 0):

ax²+ bx + c = a [(

x + b 2a

)2

−b²− 4ac 4a

]

= a [(

x + b 2a

)2

− ∆ 4a ]

(1)

`

e possibile calcolare il suo segno al variare del valore attribuito ad x.

I valori reali o complessi che, se attribuiti alla x, annullano un polinomio sono detti radici del polinomio.

A seconda dei valori dei coefficienti a, b e c si possono verificare tre casi fondamentali.

1 ∆ > 0 il trinomio (1) ammette due radici reali e distinte x₁, x₂= ^−b±

√∆ 2a

il polinomio si pu`o dunque scomporre nel seguente modo:

ax²+ bx + c = a(x− x1)(x− x2)

il prodotto (x− x1)(x− x2) ha segno positivo per i valori della x che rendono le quantit`a x− x1 e x− x2 concordi e segno negativo per quei valori che le rendono discordi e vale zero in x = x1 e x = x2, quindi il suo segno positivo all’esterno dell’intervallo individuato da x1 e x2, discorde con a all’interno e vale zero in x = x₁ e x = x₂. A questo punto il segno del trinomio cambia in funzione del segno di a; si possono verificare due casi:

1.1 a > 0 il polinomio ha segno positivo all’esterno dell’intervallo individuato da x1 e x2, negativo all’interno e vale zero in x = x1 e x = x2.

1.2 a < 0 il polinomio ha segno negativo all’esterno dell’intervallo individuato da x1e x2, positivo all’interno e vale zero in x = x1 e x = x2.

2 ∆ = 0 il trinomio (1) ammette due radici reali e coincidenti x₁ = x₂= ^−b_2a il polinomio si pu`o dunque scomporre nel seguente modo:

ax²+ bx + c = a(x− x1)² si possono verificare due casi:

2.1 a > 0 il polinomio ha sempre segno positivo tranne per x = x1 in cui vale zero

2.2 a < 0 il polinomio ha sempre segno negativo tranne per x = x1 in cui vale zero

3 ∆ < 0 il trinomio (1) non ammette radici reali¹ @ radici reali si possono verificare due casi:

3.1 a > 0 il polinomio ha sempre segno positivo

3.2 a < 0 il polinomio ha sempre segno negativo

1Il trinomio (1) ammette tuttavia due radici complesse coniugate x1, x2=^−b±i_2a^√−∆

Riassumendo:

∆ > 0 il polinomio `e concorde con a all’esterno dell’intervallo individuato da x₁ e x₂, discorde con a all’interno e vale zero in x = x₁ e x = x₂

∆ = 0 il polinomio `e concorde con a per ogni valore di x tranne in x = x₁ dove vale zero

∆ < 0 il polinomio `e sempre concorde con a

Osservazione 1. Volendo risolvere una disequazione di secondo grado si dovr`a prima calcolare il segno del polinomio e in seguito scegliere l’intervallo in cui esso assume il segno richiesto.

Esempio 1. Consideriamo il polinomio −4x²+ 3x + 1. Il suo discriminante ∆ = (3²)− 4(−4)(1) = 9 + 16 = 25 = 5² > 0. Il trinomio ammette due radici reali e distinte x1, x2 = ^−3±5₂₍₋₄₎, cio`e, x1 = <sup>−1</sup><sub>4</sub> e x<sub>2</sub> = 1. Il polinomio `e concorde con a all’esterno dell’intervallo individuato da ⁻¹₄ e 1, discorde con

−4 all’interno e vale zero in x = ⁻¹₄ e x = 1.

Esempio 2. Consideriamo il polinomio x²+ 2x + 1. Il suo discriminante ∆ = 2²− 4(1)(1) = 0. Il trinomio ammette due radici reali e coincidenti x1 = x2 = ^−2±0₂ =−1. Il polinomio `e concorde con a = 1 per ogni valore di x tranne per x =−1 in cui vale zero.

Esempio 3. Consideriamo il polinomio 3x²+ 1. Il suo discriminante ∆ = 0²− 4(3)(1) = −12 < 0.

Il trinomio non ammette radici reali. Il polinomio `e sempre concorde con a = 3 per ogni valore di x.

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