La parabola nel piano cartesiano

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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Esercitazione su: la parabola nel piano cartesiano

Indice

1 Parabola [3] 2

1.1 Associazione graﬁco-equazione . . . 2

1.2 Applicazione di formule . . . 2

1.2.1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani 2 1.3 Applicazione di metodi standard . . . 4

1.3.1 Mutua posizione di retta e parabola . . . 4

1.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno . . . 4

1.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti. . . 4

1.4 Problemi di determinazione dell’equazione . . . 4

1.5 Problemi geometrici vari . . . 5

1.5.1 Esercizio 1 . . . 5

1.6 Problemi in cui `e necessario introdurre un’incognita . . . 5

1.6.1 Esercizio 1 . . . 5

1.6.2 Esercizio 2 . . . 5

1.7 Dimostrazioni . . . 5

1.7.1 Esercizio 1 . . . 5

Riferimenti bibliograﬁci 5

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

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1 Parabola [

3 ]

1.1 Associazione graﬁco-equazione

Si considerino le parabole rappresentate nei graﬁci di Figura1. Abbinare tali graﬁci alle equazioni seguenti (es.: 1D, 2C . . . ): 3𝑥2= 𝑦 − 10𝑥 − 12 (1) 3𝑥2+ 12 = −10𝑥 − 𝑦 (2) 12 = 10𝑥 + 𝑦 − 3𝑥2 (3) 𝑦 = 1 20𝑥 2 −1 2𝑥 + 12 (4) 𝑥 − 𝑦2− 5 = 0 (5) 𝑦2= 𝑥 + 5 (6)

1.2 Applicazione di formule

1.2.1 Determinazione di vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani Per le parabole elencate qui di seguito: determinare vertice, fuoco, direttrice, assi, intersezioni con gli assi cartesiani; rappresentarle in un piano cartesiano.

𝑦 = −𝑥2+ 6𝑥 − 5 (7) 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 (8) 𝑦 = −𝑥2+3 2 (9) 𝑦 = 1 2𝑥 2 − 3𝑥 + 2 (10) 𝑥 = −1 2𝑦 2 ₍₁₁₎ 𝑥 = 4 − 𝑦2 (12) 𝑥 = −𝑦2+ 2𝑦 − 1 (13) 𝑥 = 2𝑦2− 3𝑦 (14)

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(3)

(a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 1

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1.3 Applicazione di metodi standard

1.3.1 Mutua posizione di retta e parabola

Si considerino le parabole elencate di seguito e le rette scritte a ﬁanco. Per ciascuna di esse, si determini: se la retta `e esterna, tangente o secante; le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

𝑦 = 𝑥2− 4; 𝑦 = −2𝑥 + 4 (15) 𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 1; 𝑦 = −𝑥 + 1 (16) 𝑦 =1 2𝑥 2_; _{𝑦 = 2𝑥 − 2} ₍₁₇₎ 𝑦 = 𝑥2+ 6𝑥 + 9; 𝑦 = 0 (18) 𝑦 = 𝑥2− 4𝑥; 𝑦 = −𝑥 +1 2 (19) 𝑦 = −𝑥2−1 2𝑥; 𝑦 = − 1 2𝑥 + 2 (20)

1.3.2 Tangenti condotte ad una parabola da un punto esterno

Condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, dai punti ad esse esterni, indicati di ﬁanco:

𝑦 = 𝑥2− 4; 𝑃 (2, −4) (21)

𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 1; 𝑃 (−1, −1) (22) 1.3.3 Formula di sdoppiamento per le tangenti

Utilizzando la formula cosiddetta di sdoppiamento, condurre le tangenti alle parabole elencate qui di seguito, nei loro punti di ascissa indicata a ﬁanco. Determinare poi l’equazione della normale alla parabola in quel punto.

𝑦 = 2𝑥2− 4𝑥; 𝑥𝑃 = 3 (23)

𝑦 = −𝑥2− 3𝑥 − 1; 𝑥𝑃 = −1 (24)

1.4 Problemi di determinazione dell’equazione

Nota: i problemi di questa sezione possono essere anche svolti nelle seguenti varianti:

∙ Determinare il numero di soluzioni (nessuna, una, due, . . . , infinite), senza risolvere il problema. Nel caso siano possibili più soluzioni, illustrarne, graficamente, almeno un paio.

∙ Illustrare, per punti, la procedura di soluzione dell’esercizio, senza svolgere alcun calcolo.

Sono contrassegnati con un asterisco quei problemi che ammettono inﬁnite soluzioni e sono, pertanto, indeterminati.

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Determinare l’equazione delle parabole della forma 𝒫 : 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 che soddisfano le condizioni indicate di seguito.

𝑉 denota sempre il vertice, 𝐹 il fuoco, 𝑑 la direttrice; 𝐴, 𝐵, 𝑃 . . . punti generici; 𝑟, 𝑠 . . . rette generiche. ∙ Passaggio per punti

– Passante per i punti 𝐴(−2, −3), 𝐵(0, 1), 𝐶(6, −11). – Passante per i punti 𝐴(4, −1), 𝐵(3, 7), 𝐶(4, 5). – Passante per i punti 𝐴(2, 3), 𝐵(0, 6).

∙ Vertice e un punto: 𝑉 (0, 0), 𝑃 (3, 2); 𝑉 (−2, 1), 𝑃 (0, 3).

∙ Due elementi a scelta: 𝐹 (1, −1), 𝑑 : 𝑦 = 0. 𝑉 (2, 1), 𝐹 (2, 0). 𝑉 (0, 2), 𝑑 : 𝑥 = −1. ∙ Con condizioni di tangenza:

– V(-1,2); tangente a 𝑟 : 𝑦 = 2𝑥 + 3

– Tangente all’asse 𝑥 e a 𝑟 : 𝑦 = 2𝑥; passante per 𝑃(− 1,1 4

)

1.5 Problemi geometrici vari

1.5.1 Esercizio 1

Determina la retta parallela alla bisettrice del II e IV quadrante che stacca sulla parabola di equazione 𝑦 = 𝑥2_{− 𝑥 + 3 una corda di misura 2}√_6.

1.6 Problemi in cui `

e necessario introdurre un’incognita

1.6.1 Esercizio 1

Determina i vertici del rettangolo di perimetro 13/2 inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione 𝑦 = 𝑥2_{− 5𝑥 + 4 e dall’asse x.}

1.6.2 Esercizio 2

Determina i vertici del rettangolo inscritto nel segmento parabolico limitato dalla parabola di equazione 𝑥 = 1

2𝑦

2_{− 2 e dall’asse 𝑦, avente il lato parallelo all’asse 𝑦 doppio del lato parallelo all’asse 𝑥.}

1.7 Dimostrazioni

1.7.1 Esercizio 1

Si dia la deﬁnizione geometrica di parabola. A partire da tale deﬁnizione, ricavare l’equazione canonica di una parabola nel piano cartesiano.

Riferimenti bibliograﬁci

[1] Il paesaggio matematico verde. Vol. 3. Fico, M.; Cariani, G.; Mattina, S.; Goglio, S.; LOESCHER, 2008

[2] Itinerari nella matematica. Vol. 1, Zwirner, G.; Scaglianti, L. CEDAM, 1989. [3] Corso di matematica a colori. Vol. 1, Sasso, L., Petrini, 2008