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RISOLUZIONE 1. Per determinareZ 2x + 1 x

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Academic year: 2021

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(1)

RISOLUZIONE 1. Per determinare

Z 2x + 1

x

2

+ x 2 dx osserviamo che x

2

+ x 2 = (x + 2)(x 1) e che risulta 2x + 1

x

2

+ x 2 = A

x + 2 + B

x 1 = A(x 1) + B(x + 2)

(x + 2)(x 1) = (A + B)x + 2B A x

2

+ x 2 per A = B = 1. Ne segue che

Z 2x + 1

x

2

+ x 2 dx =

Z 1

x + 2 + 1

x 1 dx = log(x + 2) + log(x 1) + c 2. Per calcolare

Z x + 2

x

2

4x + 4 dx osserviamo che D(x

2

4x+4) = 2x 4 e che x

2

4x+4 = (x 2)

2

. Quindi

Z x + 2

x

2

4x + 4 dx =

Z x 2 + 4

x

2

4x + 4 dx =

12

Z 2x 4

x

2

4x + 4 dx + 4

Z 1

x

2

4x + 4 dx

=

12

Z 2x 4

x

2

4x + 4 dx + 4

Z 1

(x 2)

2

dx =

12

log(x

2

4x + 4) 4 x 2 + c In alternativa, potremo determinare due costanti A, B 2 R tali che

x + 2

x

2

4x + 4 = A

x 2 + B

(x 2)

2

Otteniamo che A = 1 e B = 4 e dunque

Z x + 2

x

2

4x + 4 dx =

Z 1

x 2 dx +

Z 4

(x 2)

2

dx = log |x 2 | 4 x 2 + c

3. Calcoliamo

Z x

3

+ 2

x

2

2x + 1 dx. Operiamo innanzitutto la divisione tra polinomi ottenendo x

3

+ 2

x

2

2x + 1 = x

3

2x

2

+ x + 2x

2

4x + 2 + 3x

x

2

2x + 1 = x + 2 + 3x

x

2

2x + 1 da cui

Z x

3

+ 2

x

2

2x + 1 dx = Z

x + 2 dx +

Z 3x

x

2

2x + 1 dx =

12

x

2

+ 2x +

Z 3x

x

2

2x + 1 dx Per calcolare l’ultimo integrale procediamo come nel precedente esempio osservato che D(x

2

2x + 1) = 2x 2 e che x

2

2x + 1 = (x 1)

2

. Si ha allora

Z 3x

x

2

2x + 1 dx =

32

Z 2x 2

x

2

2x + 1 dx + 3

Z 1

(x 1)

2

dx =

32

log(x

2

2x + 1) 3 x 1 + c da cui concludiamo

Z x

3

+ 2

x

2

2x + 1 dx =

12

x

2

+ 2x +

32

log(x

2

2x + 1) 3

x 1 + c

(2)

4. Per calcolare

Z 1

x

2

+ 4x + 7 dx osserviamo che x

2

+ 4x + 7 = (x + 2)

2

+ 3 = 3 ✓⇣

x+2p 3

⌘

2

+ 1

◆ e quindi

Z 1

x

2

+ 4x + 7 dx =

13

Z 1

⇣

x+2p 3

⌘

2

+ 1

dx =

p1 3

Z

p1

⇣

3 x+2p

3

⌘

2

+ 1

dx =

p1

3

arctan

x+2p 3

+ c

5. Per calcolare

Z x

2

+ 2x

x

2

+ x + 1 dx procediamo innanzitutto eseguendo la divisione tra polinomi.

Abbiamo

x

2

+ 2x

x

2

+ x + 1 = 1 + x 1 x

2

+ x + 1 da cui Z x

2

+ 2x

x

2

+ x + 1 dx = Z

dx +

Z x 1

x

2

+ x + 1 dx = x +

Z x 1

x

2

+ x + 1 dx Per calcolare l’ultimo integrale procediamo come nei precedenti esempi. Abbiamo

Z x 1

x

2

+ x + 1 dx =

12

Z 2x + 1 1

x

2

+ x + 1 dx =

12

Z 2x + 1

x

2

+ x + 1 dx

12

Z 1

x

2

+ x + 1 dx

=

12

log(x

2

+ x + 1)

12

Z 1

x

2

+ x + 1 dx Osservato che x

2

+ x + 1 = (x +

12

)

2

+

34

=

34

✓⇣

2x+1p 3

⌘

2

+ 1

◆

otteniamo

1 2

Z 1

x

2

+ x + 1 dx =

12

·

43

Z 1

⇣

2x+1p 3

⌘

2

+ 1

dx =

23

·

p23

Z

p2

⇣

3 2x+1p

3

⌘

2

+ 1

dx =

p1

3

arctan

2x+1p 3

+ c Ne concludiamo che

Z x

2

+ 2x x

2

+ x + 1 dx =

Z dx +

Z x 1

x

2

+ x + 1 dx = x +

12

log(x

2

+ x + 1)

p1

3

arctan

2x+1p

3

+ c

6. Per calcolare

Z x

2

+ 6x + 1

x

3

+ 3x

2

x 3 dx osserviamo che x

3

+ 3x

2

x 3 = (x 1)(x + 1)(x + 3).

Determiniamo quindi A, B, C 2 R tali che x

2

x

x

3

+ 2x

2

5x 6 = A

x 1 + B

x + 1 + C x + 3 Otteniamo A = B = C = 1 e quindi

Z x

2

+ 6x + 1

x

3

+ 3x

2

x 3 dx =

Z 1

x 1 + 1 x + 1

1

x + 3 dx = log |x 1 | + log |x + 1| log |x + 3| + c

(3)

7. Calcoliamo

Z x + 3

x

3

+ 5x

2

+ 9x + 5 dx. Abbiamo che x

3

+ 5x

2

+ 9x + 5 = (x + 1)(x

2

+ 4x + 5) e dunque determiniamo A, B, C 2 R tali che

x + 3

x

3

+ 2x

2

5x 6 = A

x + 1 + Bx + C x

2

+ 4x + 5 Otteniamo A = B = 1 e C = 2 da cui

Z x + 3

x

3

+ 5x

2

+ 9x + 5 dx =

Z 1

x + 1 dx

Z x + 2 x

2

+ 4x + 5 dx

= log |x + 1|

12

Z 2x + 4 x

2

+ 4x + 5 dx

= log |x + 1|

12

log(x

2

+ 4x + 5) + c

8. Per calcolare

Z x

3

+ 8

(x

2

+ 4)

2

dx utilizziamo la decomposizione fornita dalla formula di Hermite.

Cerchiamo quindi A, B, C, D 2 R tali che x

3

+ 8

(x

2

+ 4)

2

= Ax + B x

2

+ 4 +

✓ Cx + D x

2

+ 4

◆

0

= Ax + B

x

2

+ 4 + Cx

2

2Dx + 4C (x

2

+ 4)

2

= (Ax + B)(x

2

+ 4) Cx

2

2Dx + 4C

(x

2

+ 4)

2

= Ax

3

+ (B C)x

2

+ (4A 2D)x + 4B + 4C (x

2

+ 4)

2

Otteniamo che A = B = C = 1 e D = 2. Pertanto si ha Z x

3

+ 8

(x

2

+ 4)

2

dx =

Z x + 1 x

2

+ 4 +

✓ x + 2 x

2

+ 4

◆

0

dx =

Z x + 1

x

2

+ 4 dx + x + 2 x

2

+ 4 Abbiamo poi

Z x + 1

x

2

+ 4 dx =

12

Z 2x

x

2

+ 4 dx +

12

Z

1

2

(

x2

)

2

+ 1 dx =

12

log(x

2

+ 4) +

12

arctan

x2

+ c

e dunque Z x

3

+ 8

(x

2

+ 4)

2

dx =

12

log(x

2

+ 4) +

12

arctan

x2

+ x + 2 x

2

+ 4 + c 9. Calcoliamo

Z p

x

1 p

x dx operando la sostituzione t = p

x, da cui x = t

2

e dx = 2t dt. Abbiamo

Z p

x

1 p

x dx =

Z t

1 t 2t dt = 2 Z t

2

1 t dt = 2 Z

t + 1 dt

Z 1

t 1 dt

= 2

12

t

2

+ t log |t 1 | + c = x 2 p

x log | p

x 1 | + c 10. Calcoliamo

Z dx

2 p

x + 1 + x + 2 . Posto t = p

x + 1, da cui x = t

2

1 e dunque dx = 2t dt, dalla formula di integrazione per sostituzione otteniamo

Z dx

2 p

x + 1 + x + 2 =

Z 2t

2t + t

2

1 + 2 dt =

Z 2t

t

2

+ 2t + 1 dt =

Z 2t + 2

t

2

+ 2t + 1 dt 2

Z 1

(t + 1)

2

dt

= log(t

2

+ 2t + 1) + 2

t + 1 + c = log(2 p

x + 1 + x + 2) + 2

p x + 1 + 1 + c

(4)

11. Calcoliamo Z

x

2

sin x dx integrando per parti due volte. Otteniamo Z

x

2

sin x dx = x

2

cos x + 2 Z

x cos x dx = x

2

cos x + 2

✓ x sin x

Z sin x

◆

= x

2

cos x + 2(x sin x + cos x) + c 12. Per determinare

Z

x log(1+x

2

) dx operiamo la sostituzione x

2

= t, e quindi x = p

t e dx =

1

2p t

dt, e integriamo poi per parti. Si ha

Z

x log(1 + x

2

) dx = Z p

t log(1 + t) 1 2 p

t dt =

12

Z

log(1 + t) dt

=

12

✓

(1 + t) log(1 + t) Z

dt

◆

=

12

((1 + t) log(1 + t) t) + c

=

12

((1 + x

2

) log(1 + x

2

) x

2

) + c

13. Per calcolare Z

e2

0

log x + 3

x(log

2

x + 4) dx operando innanzitutto la sostituzione t = log x, e quindi dt =

x1

dx, otteniamo

Z

e2 0

log x + 3

x(log

2

x + 4) dx = Z

2

0

t + 3 t

2

+ 4 dt

Per determinare l’ultimo integrale osserviamo che D(t

2

+ 4) = 2t e dunque Z t + 3

t

2

+ 4 dt =

12

Z 2t + 6 t

2

+ 4 dt =

12

Z 2t

t

2

+ 4 dt + 3

Z 1

t

2

+ 4 dt =

12

log(t

2

+ 4) + 3

Z 1

t

2

+ 4 dt Per calcolare l’ultimo integrale procediamo come nei precedenti esempi osservato che t

2

+ 4 = 4 ⇣

t 2

2

+ 1 ⌘ . Si ha

Z 1

t

2

+ 4 dt =

14

Z 1

t 2

2

+ 1 dt =

12

Z

1

2 t 2

2

+ 1 dt =

12

arctan

2t

+ c

e dunque Z

t + 3

t

2

+ 4 dt =

12

log(t

2

+ 4) +

12

arctan

2t

+ c Ne segue che

Z

e2 0

log x + 3

x(log

2

x + 4) dx = Z

2

0

t + 3

t

2

+ 4 dt = ⇥

1

2

log(t

2

+ 4) +

12

arctan

2t

⇤

2 0

=

12

log 8 +

32

arctan 1

12

log 4 =

12

log 2 +

3⇡8

. 14. Per calcolare

Z 1

(x + 2) p

x

2

4 dx operiamo la sostituzione x = 2 cosh t da cui dx = 2 sinh t dt.

Essendo cosh

2

t = 1 + sinh

2

t si ha

Z 1

(x + 2) p

x

2

4 dx =

Z sinh t

(2 cosh t + 2) sinh t dt =

12

Z 1

cosh t + 1 dt

(5)

Per calcolare l’ultimo integrale osserviamo che cosh t+1 =

et+e2 t

+1 =

(et2e+1)t 2

e dunque, essendo e

t

= D(e

t

+ 1) riconosciamo che

Z 1

cosh t + 1 dt = 2

Z e

t

(e

t

+ 1)

2

dt = 2 e

t

+ 1 + c Dato che t = settcosh

x2

= log(

x2

+

q

x2

4

1) = log(x + p

x

2

4) log 2 possiamo concludere che

Z 1

(x + 2) p

x

2

4 dx = 1

e

t

+ 1 + c = 1

x+p x2 4

2

+ 1 + c = 2

x + p

x

2

4 + 2 + c

NOTA: Geogebra fornisce come risultato 2 x + p

x

2

4 2 + c, chi dei due sbaglia?

15. Per calcolare Z

p3

1

x

2

+ x 1

x

3

+ x dx determiniamo innanzitutto una primitiva di x

2

+ x 1 x

3

+ x . Abbiamo che

x

2

+ x 1

x

3

+ x = x

2

+ x 1 x(x

2

+ 1) = 1

x + 2x + 1 x

2

+ 1 e quindi

Z x

2

+ x 1 x

3

+ x dx =

Z 1 x dx +

Z 2x + 1

x

2

+ 1 dx = log |x| +

Z 2x

x

2

+ 1 dx +

Z 1

x

2

+ 1 dx

= log |x| + log(x

2

+ 1) + arctan x + c Dalla formula fondamentale del calcolo integrale otteniamo allora

Z

p3

1

x

2

+ x 1

x

3

+ x dx = ⇥

log |x| + log(x

2

+ 1) + arctan x ⇤

p3

1

= log 2 log p 3 +

12⇡

16. Determiniamo Z

4

0

x

3

e

x2

dx operando la sostituzione t = x

2

(e quindi dt = 2xdx) e integrando per parti. Si ottiene

Z

4 0

x

3

e

x2

dx =

12

Z

4

0

x

2

e

x2

2xdx =

12

Z

2

0

te

t

dt =

12

✓ ⇥ te

t

⇤

2

0

Z

2 0

e

t

dt

◆

=

12

(2e

2

⇥ e

t

⇤

2

0

) =

12

(2e

2

e

2

+ 1) =

12

(e

2

+ 1)

17. Per calcolare Z

34⇡

0

| cos x|

1 + cos x dx, osserviamo innanzitutto che per la propriet` a additiva dell’integrale abbiamo Z

34⇡

0

| cos x|

1 + cos x dx = Z

⇡2

0

cos x 1 + cos x dx

Z

34⇡

⇡ 2

cos x

1 + cos x dx

(6)

Determiniamo allora

Z cos x

1 + cos x dx. Abbiamo che con la sostituzione t = tan

x2

, da cui x = 2 arctan t e dx =

1+t22

dt, si ha cos x =

1 t1+t22

e l’integrale diventa

Z cos x

1 + cos x dx =

Z 1 t

2

1 + t

2

dt =

Z 2

1 + t

2

1 dt = 2 arctan t t + c = x tan

x2

+ c Quindi

Z

3

4⇡ 0

| cos x|

1 + cos x dx = Z

⇡

2

0

cos x 1 + cos x dx

Z

3

4⇡

⇡ 2

cos x 1 + cos x dx

= ⇥

x tan

x2

⇤

⇡2

0

⇥ x tan

x2

⇤

34⇡

⇡

2

=

⇡2

tan

⇡4 34

⇡ tan

38

⇡

⇡2

+ tan

⇡4

=

⇡4

2 + tan

38

⇡

18. Per determinare Z

2

1 2

1

x2

arctan

1x

dx operiamo la sostituzione t =

1x

(e quindi dt =

x12

dx) e integriamo per parti. Si ottiene

Z

1

x2

arctan

1x

dx = Z

arctan t dt = t arctan t +

Z t

1 + t

2

dt

= t arctan t +

12

log(1 + t

2

) + c

=

1x

arctan

x1

+

12

log(1 +

x12

) + c e quindi

Z

2

1 1

x2

arctan

1x

dx = ⇥

1

x

arctan

1x

+

12

log(1 +

x12

) ⇤

2

1

=

12

arctan

12

+

12

log(

54

) +

⇡4 12

log 2

19. Calcoliamo Z

1

0

log

2

(2x + 1)

(2x + 1)

3

dx. Operando la sostituzione 2x + 1 = y (e quindi dx =

12

dy) e integrando per parti due volte si ottiene

Z log

2

(2x + 1)

(2x + 1)

3

dx =

12

Z log

2

y

y

3

dy =

12

✓

1 2

log

2

y y

2

+

Z log y y

3

dy

◆

=

12

✓

1 2

log

2

y y

2

1 2

log y y

2

+

12

Z 1 y

3

dy

◆

=

12

✓

1 2

log

2

y y

2

1 2

log y y

2

1 4

1 y

2

◆ + c

= 2 log

2

y + 2 log y + 1

8y

2

+ c

= 2 log

2

(2x + 1) + 2 log(2x + 1) + 1

8(2x + 1)

2

+ c

Quindi Z

1

0

log

2

(2x + 1)

(2x + 1)

3

dx =

18 721

(2 log

2

3 + 2 log 3 + 1)

(7)

20. Per calcolare Z

1

0

x p

x

2

+ 2x + 2 dx osserviamo innanzitutto che x

2

+ 2x + 2 = (x + 1)

2

+ 1. Posto allora x + 1 = sinh t, posto a = settsinh1 = log(1 + p

2) otteniamo Z

1

0

x p

x

2

+ 2x + 2 dx = Z

0

a

(sinh t 1) cosh

2

t dt = Z

0

a

sinh t cosh

2

t dt Z

0

a

cosh

2

t dt Abbiamo che

Z

0

a

sinh t cosh

2

t dt = ⇥

1

3

cosh

3

t ⇤

0

a

=

13 13

cosh

3

a =

13 13

⇣

2+p 2 1+p

2

⌘

3

mentre, integrando per parti, otteniamo Z

cosh

2

t dt = sinh t cosh t Z

sinh

2

t dt = sinh t cosh t Z

(cosh

2

t 1) dt = sinh t cosh t Z

cosh

2

t dt+t

da cui Z

cosh

2

t dt =

12

(sinh t cosh t + t) + c e quindi

Z

0

a

cosh

2

t dt =

12

[sinh t cosh t + t]

0a

=

12

(sinh a cosh a + a) =

12

⇣

1 2(p

2+1)

+ log( p

2 + 1) ⌘ Ne concludiamo che

Z

1

0

x p

x

2

+ 2x + 2 dx =

13 13

⇣

2+p 2 1+p

2

⌘

3

+

12

⇣

1 2(p

2+1)

+ log( p

2 + 1) ⌘

21. L’area della regione A del piano compresa tra l’asse delle ascisse e il grafico di f (x) = x

2

per x 2 [ 1, 1], essendo x

2

0 in [ 1, 1], `e data dall’integrale

Z

1 1

x

2

dx = ⇥

1

3

x

3

⇤

1 1

=

23

22. Per calcolare l’area della regione B del piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = tan x e la bisettrice y = x con x 2 [0,

⇡4

] dobbiamo calcolare l’integrale

Z

⇡4

0

|tan x x | dx Ricordando che tan x x per ogni x 2 [0,

⇡2

) otteniamo allora

Z

⇡4

0

|tan x x | dx = Z

⇡4

0

tan x x dx = h

log | cos x|

x22

i

⇡4

0

= log

p1 2

⇡2 32

=

12

⇣

log 2

⇡162

⌘

23. Per determinare l’area della regione C compresa tra i grafici delle funzioni f (x) = x

2

e g(x) = p x con x 2 [0, 2] occorre calcolare

Z

2 0

x

2

p

x dx = Z

1

0

p x x

2

dx + Z

2

1

x

2

p

x dx

(8)

Abbiamo che Z p

x x

2

dx =

23

x

32 13

x

3

+ c e quindi

Z

1

0

p x x

2

dx + Z

2

1

x

2

p

x dx = h

2

3

x

32 13

x

3

i

1 0

h

2

3

x

32 13

x

3

i

2

1

=

23

(5 2 p 2)

24. Il settore ellittico D = n

(x, y) 2 R

2

|

x42

+ y

2

 1, x 0, y

p23

x o

`e la regione del piano com- presa tra la retta y =

p23

x e il grafico della funzione f (x) =

q

1

x42

nell’intervallo [0, 1].

Abbiamo infatti che l’ellisse

x42

+ y

2

= 1 intercetta la retta y =

p23

x in un unico punto di ascissa positiva, il punto P = (1,

p23

)

L’area di D `e data allora da Z

1

0

q

1

x42 p23

x dx = 2 Z

1

0 1 2

q

1

x42

dx

p23

Z

1

0

x dx

=

x 2

q

1

x42

+ arcsin

x2

1

0 p3

4

⇥ x

2

⇤

1 0

=

12

q

1

14

+ arcsin

12 p43

=

⇡6

dove per calcolare R

1

2

q

1

x42

dx abbiamo utilizzato l’integrale notevole Z p

1 f (x)

2

f

0

(x) dx =

1

2

[f (x) p

1 f (x)

2

+ arcsin(f (x))] + c.

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