A Self-Excited Magnetic Dynamo Effetto Stewart-Tolman Seminario Pre-Ipho

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Seminario Pre-Ipho

24 maggio 2011 Effetto Stewart-Tolman

Conoscenze richieste: forze apparenti in sistemi accelerati, leggi di Maxwell, (calcolo vettoriale)

Problema

Nel 1917, Stewart e Tolman scoprirono un passaggio di corrente attraverso una bobina avvolta attorno a un Cilindro che ruotava attorno al proprio asse con una certa accelerazione angolare.

Considera un gran numero di anelli, con raggio 𝜏 ognuno, fatti di un sottile filo metallico con resistenza 𝑅. Gli anelli sono disposti con densità lineare uniforme lungo un cilindro di vetro molto lungo, vuoto dentro. La loro posizione sul cilindro è fissata incollando gli anelli su di esso. Il numero di anelli per unità di lunghezza lungo l’asse di simmetria è 𝑛. I piani contenenti gli anelli sono perpendicolari all’asse di simmetria del cilindro.

A un certo momento il cilindro inizia a ruotare attorno al suo asse di simmetria con accelerazione angolare costante 𝛼. Trova il valore del campo 𝐵 al centro del cilindro (dopo un tempo sufficientemente lungo).

Assumiamo che la carica elettrica 𝑒 dell’elettrone, e la massa dell’elettrone 𝑚 siano note.

A Self-Excited Magnetic Dynamo

Conoscenze richieste: leggi dei circuiti, legge di faraday, equazioni differenziali dei circuiti, momento torcente

Problema

Un disco metallico di raggio a montato su un asse sottile ruota con velocità angolare costante 𝜔¹ all’interno di un lungo solenoide di induttanza 𝐿, lunghezza 𝑙 e formato da 𝑁 spire, le cui due estremità sono connesse al disco ruotante da due contatti P e Q, Q collegato all’asse, e P all’estremità esterna del disco. La resistenza totale del circuito è 𝑅. Una piccola perturbazione può iniziare la crescita di una forza elettromotrice indotta fra i terminali P e Q.

1. Scrivere l’equazione differenziale per 𝑖(𝑡), la corrente nel circuito, in funzione di 𝐿, 𝑅 e di 𝜀(𝑡) la d.d.p.

indotta ai capi di P e Q. (1 punto)

2. Qual è il valore del campo magnetico 𝐵(𝑡) in termini di 𝑖(𝑡), 𝑁, 𝑙, 𝜇0? Ignora il campo magnetico generato dal disco e dall’asse (1.5 punti)

3. Qual è l’espressione per la forza elettromotrice indotta 𝜀(𝑡) in termini di 𝑖(𝑡), 𝑁, 𝑙, 𝜇0, 𝑎, 𝜔? (2 punti) 4. Risolvi l’equazione differenziale trovando la corrente 𝑖(𝑡) funzione del tempo, delle costanti che

compaiono nell’equazione differenziale e della corrente iniziale 𝐼0 (1.5 punti)

5. Qual è il minimo valore di 𝜔 che permetterà alla corrente di crescere? Dai la tua risposta in termini di 𝑅, 𝑁, 𝑎, 𝑙, 𝜇₀ (2 punti)

6. Per mantenere una velocità angolare costante, quale deve essere il valore del momento torcente 𝜏(𝑡) applicato all’asse in funzione del tempo? (2 punti)

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1Prendere la velocità angolare nel verso antiorario, cioè col vettore nel verso positivo dell’asse z

Strong Resistive Electromagnets

Conoscenze richieste: Legge di Ampere-Laplace, potenza dissipata in un conduttore, induttanze, legge di Faraday, circuiti RLC a corrente alternata

Problema

Resistive Electromagnets sono magneti con bobine fatte di un normale metallo come rame o alluminio. I moderni resistive Electromagnets possono generare campi magnetici costanti di intensità superiore a 30𝑇. Le loro bobine sono tipicamente costituite da centinaia di piastre circolari fatte da lamine di rame con molti buchi di raffreddamento ricavati al loro interno; ci sono inoltre degli isolanti con lo stesso pattern. Quando la forza elettromotrice è applicata alla bobina, la corrente scorre attraverso un percorso ad elica per generare un grande campo magnetico al centro del magnete.

In questo problema vogliamo valutare se una bobina cilindrica (o solenoide) di molti avvolgimenti può essere utilizzata per generare grandi campi magnetici. La bobina cilindrica consiste di 𝑁 avvolgimenti di filo di rame che trasporta una corrente 𝐼 uniformemente distribuita sulla sezione del filo. Il diametro della bobina è 𝐷 e la sua lunghezza (lungo l’asse 𝑥) è 𝑙. Le sezione del cavo è rettangolare con larghezza 𝑎 e altezza 𝑏. Gli avvolgimenti della bobina sono così fitti che ogni avvolgimento può essere considerato perpendicolare all’asse 𝑥 e inoltre 𝑙 = 𝑁𝑎. I valori numerici di tali parametri sono listati in fondo al problema, nell’appendice B.

Nel valutare se tale magnete può essere utilizzato per generare grandi campi magnetici, due fattori limitanti non devono essere trascurati. Il primo è la rigidità meccanica della bobina, che deve sostenere grandi forze di Lorentz sulla corrente prodotta dal campo. L’altro è l’enorme quantità di calore generata per effetto Joule nel cavo, che non deve far salire troppo la temperatura. Esamineremo questi due fattori usando metodi semplici.

Alcune formule matematiche utili sono elencate in fondo al problema, nell’appendice A.

Parte A: Campo magnetico sull’asse della bobina

Assumiamo 𝑏 ≪ 𝐷 così da poter trattare il cavo come una striscia sottile di larghezza 𝑎. Centrare la bobina nel sistema di coordinate, così che il centro sia nell’origine e l’asse lungo l’asse 𝑥. La corrente ha verso destrorzo rispetto all’asse 𝑥.

1) Trova la componente 𝑥 del campo magnetico lungo l’asse in funzione di 𝑥, quando la corrente che passa nel cavo è 𝐼. (1 punto)

2) Trova la corrente passante nel cavo se la componente 𝑥 del campo magnetico nell’origine ha intensità 10𝑇 (0.4 punti)

Parte B: Limite superiore per la corrente

Nella parte B, assumiamo che la lunghezza 𝑙 della bobina sia infinita e che 𝑏 ≪ 𝐷. Considera l’avvolgimento posto in 𝑥 = 0. Il campo magnetico esercita una forza sulla corrente che passa in tale avvolgimento. Quindi, un segmento di cavo di lunghezza 𝑑𝑠 è soggetto a una forza normale 𝑑𝐹 che tende a far espandere il cavo.

3) Supponi che, quando la corrente è 𝐼, il diametro della bobina espansa rimane a un valore costante 𝐷^′> 𝐷. Trova la forza normale per unità di lunghezza 𝑑𝐹/𝑑𝑠 (1.2 punti)

4) Trova la tensione 𝑇 che agisce sul cavo (0.6 punti)

Ignora l’accelerazione della bobina durante l’espansione. Assumi che l’avvolgimento si romperà quando l’allungamento percentuale del cavo sarà 60% e la tensione per unità di sezione raggiungerà i 𝜎 = 455𝑀𝑃𝑎.

Sia 𝐼′ la corrente alla quale avverrà la rottura, e 𝐵′ il corrispondente campo magnetico nell’origine.

5) Trova una espressione per 𝐼′ e calcola il suo valore (0.8 punti) 6) Trova una espressione per 𝐵^′ e calcola il suo valore (0.4 punti)

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3 Parte C: La velocità di innalzamento della Temperatura

Quando al corrente 𝐼 è pari a 10𝑘𝐴 e la temperatura T della bobina è 293𝐾, assumi che la resistività, il calore specifico a pressione costante, e la densità di massa del cavo siano, rispettivamente, 𝜌𝑒 = 1.72 ∙ 10⁻⁸Ω ∙ 𝑚, 𝐶𝑝 = 3.85 ∙ 10²𝐽/(𝑘𝑔 ∙ 𝐾) e 𝜌𝑚 = 8.98 ∙ 10³𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³

7) Trova un’espressione per la densità di potenza (potenza per unità di volume) generata nella bobina e calcola il suo valore (0.5 punti)

8) Sia 𝑇̇ =_𝑑𝑡^𝑑𝑇. Trova una espressione per 𝑇̇ e calcola il suo valore (0.5 punti) Parte D: Un magnete a campo pulsato

Se la grande corrente necessaria per un potente magnete dura solo per un piccolo periodo di tempo, l’incremento di temperatura causato dall’eccessivo effetto Joule può essere fortemente ridotto. Questa idea è utilizzata nel magnete a campo pulsato. Un condensatore di capacità 𝐶 caricato inizialmente a un potenziale 𝑉₀ è utilizzato per controllare la corrente nella bobina. Il circuito è equipaggiato con un interruttore 𝐾.

L’induttanza 𝐿 e la resistenza 𝑅 del circuito sono assunte essere dovute interamente alla bobina. Le dimensioni di costruzione della bobina sono le stesse dell’appendice B e della parte A. Assumi che 𝑅, 𝐿 e 𝐶 siano indipendenti dalla temperatura e che il campo magnetico sia lo stesso del solenoide infinito con 𝑙 → ∞.

9) Trova un’espressione per l’induttanza 𝐿 e la resistenza 𝑅 (0.6 punti) 10) Calcola i loro valori (0.4 punti)

All’istante 𝑡 = 0 l’interruttore viene chiuso e la corrente comincia a circolare. Per ≥ 0 la carica 𝑄(𝑡) sull’armatura positiva del condensatore e la corrente 𝐼(𝑡) entrante nell’armatura positiva sono date da

𝑄(𝑡) = 𝐶𝑉0

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝑡sin(𝜔𝑡 + 𝜃₀) 𝐼(𝑡) = 𝑑

𝑑𝑡 𝑄(𝑡) = − 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜃₀

𝐶𝑉₀

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝑡sin(𝜔𝑡) Dove 𝛼 e 𝜔 sono delle costanti e 𝜃0 è soddisfa la relazione

𝑡𝑎𝑛𝜃₀=𝜔

𝛼 , 0 < 𝜃⁰<𝜋 2

Nota che, se 𝑄(𝑡) è espressa come funzione di una nuova variabile 𝑡^′ = 𝑡 + 𝜃₀/𝜔 allora 𝑄(𝑡′) e la sua derivata 𝐼(𝑡) assumono la stessa forma eccetto che per un fattore moltiplicativo costante. La derivata di 𝐼(𝑡) può quindi essere ottenuta in questo stesso modo senza differenziare ulteriormente.

11) Trova 𝛼 e 𝜔 in funzione di 𝑅, 𝐿, 𝐶 (0.8 punti) 12) Calcola i loro valori se 𝐶 = 10𝑚𝐹 (0.4 punti)

13) Sia 𝐼′′ il massimo valore di 𝐼(𝑡) per 𝑡 ≥ 0. Trova 𝐼′′ (0.6 punti)

14) Se 𝐶 = 10𝑚𝐹, qual è il massimo valore 𝑉0𝑀 del potenziale iniziale 𝑉0 affinché 𝐼^′′< 𝐼′? (0.4 punti) Supponi ora che l’interruttore venga spostato in modo da chiudere il circuito escludendo il generatore nell’istante in cui 𝐼(𝑡) = 𝐼′′. Sia ∆𝐸 l’energia totale dissipata nella bobina dall’istante 𝑡 = 0 fino a 𝑡 → ∞, e sia

∆𝑇 la corrispondente variazione di temperatura della bobina. Assumi che il potenziale iniziale 𝑉₀ sia 𝑉0𝑀e che la perdita di energia elettromagnetica avvenga solo in forma di calore dissipato dalla bobina.

15) Trova un’espressione per ∆𝐸 e calcola il suo valore (1 punto)

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1Prendere la velocità angolare nel verso antiorario, cioè col vettore nel verso positivo dell’asse z 16) Trova un’espressione per ∆𝑇 e calcola il suo valore. Nota che ∆𝑇 deve essere compatibile con

l’assunzione di 𝑅 ed 𝐿 costanti (0.4 punti) Appendice A: Formule utili

� 𝑑𝑥

(𝐷²+ 𝑥²)^3/2 = 1 𝐷²

𝐿 (𝐷²+ 𝐿²)^1/2

𝐿

sin(𝑥 ± 𝑦) = sin (𝑥)cos (𝑦) ± cos (𝑥)sin (𝑦) 0

Appendice B: Costanti numeriche

𝜇₀= 4𝜋 ∙ 10⁻⁷𝑇 ∙ 𝑚/𝐴 𝑙 = 12.0 𝑐𝑚 𝐷 = 6.0 𝑐𝑚 𝑎 = 2.0 𝑚𝑚 𝑏 = 5.0 𝑚𝑚

Due griglie di potenziale

Conoscenze richieste: legge di continuità

Si hanno due griglie infinite, una posta nel piano 𝑥 = 0 e l’altra posta nel piano 𝑥 = 𝐿. La prima griglia è messa a terra, mentre la seconda ha un potenziale 𝑉0.

Fra le due griglie scorre un flusso di particelle cariche negativamente, di rapporto �_𝑚^𝑞� = 𝜆 noto. Le particelle entrano dalla prima griglia 𝑥 = 0 con velocità trascurabile.

Vogliamo trovare quel’è il campo elettrico 𝐸�⃗(𝑟⃑) e la distribuzione di densità di carica 𝜌(𝑟⃑) nello spazio compreso fra le due griglie, nell’ipotesi che tutte le quantità (𝜌(𝑟⃑), 𝐸�⃗(𝑟⃑), 𝑉(𝑟⃗) e la velocità delle particelle in un punto 𝑢(𝑟⃗)) siano costanti nel tempo.

1) Si scriva un’equazione che leghi 𝐸�⃗(𝑥) a 𝜌(𝑥) (1.6 punti)

2) Scrivere un’equazione che leghi 𝜌(𝑥) a 𝑢(𝑥), senza utilizzare le leggi della dinamica del moto delle particelle nel campo elettrico, e ricavare da questa una quantità costante all’interno delle due griglie (0.8 punti)

3) Scrivere l’equazione del moto per una particella, in funzioni delle sole quantità già introdotte. (2 punti)

4) Cercare una soluzione per 𝑉(𝑥) del tipo 𝑉(𝑥) = 𝐶𝑥^𝛼, trovando 𝐶 ed 𝛼. Trovare 𝜌(𝑟⃑), 𝐸�⃗(𝑟⃑), 𝑢(𝑟⃗). (0.6 punti)

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Fotografie Relativistiche

Conoscenze richieste: contrazione di Lorentz

Vogliamo osservare una sbarra in movimento attraverso una “macchina fotografica” (uno stenoscopio, ovvero una scatola buia con un piccolissimo foro da cui entra la luce). Il foro è posto nell’origine e guarda nella direzione dell’asse 𝑦. La sbarra viaggia sulla retta 𝑦 = 𝐷 a velocità 𝑣 costante nel verso positivo dell’asse 𝑥.

Le fotografie verranno effettuate aprendo il piccolo foro per brevissimi intervalli di tempo. Nella fotografia quando è ferma, la sbarra è lunga 𝐿. Tuttavia, la sbarra è invece in movimento e nella fotografia il suo centro appare nella posizione 𝑥′.

1) Qual è l’attuale posizione del centro 𝑥 della sbarra, in funzione di 𝑥^′, 𝐷, 𝐿, 𝑣 e della velocità della luce 𝑐 = 3 ∙ 10⁸𝑚/𝑠? (0.6 punti)

2) Trova anche la relazione inversa, ovvero 𝑥′ in funzione di 𝑥, 𝐷, 𝐿, 𝑣, 𝑐. (0.9 punti) NOTA: 𝑥, 𝑥′ sono le posizioni nel sistema di riferimento fermo rispetto alla camera.

3) Determina la lunghezza apparente della sbarra nella fotografia, in funzioni della variabili 𝑥, 𝐿, 𝐷, 𝑣, 𝑐 (1.5 punti)

4) Descrivere qualitativamente come varia nel tempo la lunghezza apparente (1.5 punti)

C’è una fotografia, presa a un certo istante, che mostra entrambi gli estremi della sbarra alla stessa distanza dalla macchina fotografica.

5) Determina la lunghezza apparente della sbarra in questa figura. (0.8 punti)

6) Qual è la vera posizione del centro della sbarra nell’istante in cui viene fatta la fotografia? (1 punto) 7) Dove appare il centro della sbarra nella fotografia? (1.2 punti)

Nelle fotografie prese molto lontano, molto prima che si avvicini e molto dopo che si sia allontanata nuovamente, la sbarra misura 1𝑚 in una foto e 3𝑚 nell’altra.

8) A quale foto corrisponde quale lunghezza? (0.5 punti) 9) Determina la velocità 𝑣 (1 punto)

10) Determina 𝐿 (0.6 punti)

11) Determina la lunghezza apparente nella fotografia simmetrica (0.4 punti) SUGGERIMENTO: esprimere le formule in funzione delle quantità

𝛽 =𝑣 𝑐 , 𝛾 =

1

�1 − 𝛽²

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Hint per il Problema sull’effetto Stewart-Tolman

Ci sono due modi per affrontare il problema, ecco alcune Hint Approccio con riconduzione a problema equivalente

• Trovare un sistema di riferimento opportuno

• Trovare la forza sentita dai portatori di carica

• Trovare un campo elettrico efficace che descriva anche tale forza

• Vedere che tale campo efficace genera un campo magnetico efficace

• Verificare che i campi efficaci soddisfano ancora le leggi di maxwell

• Risolvere il problema con i campi efficaci

• Trovare la soluzione al problema di partenza

Approccio microscopico sulle correnti generate nel conduttore

• Trovare un sistema di riferimento opportuno

• Trovare la forza sentita dai portatori di carica

• Trovare un campo elettrico efficace che descriva anche tale forza

• Trovare da cosa è generata la corrente che genera il campo magnetico

• Scrivere l’equazione di faraday ottenendo una equazione differenziale per la velocità degli elettroni

• Risolvere l’equazione usando la soluzione 𝑣𝑒(𝑡) = 𝑣(𝑡) + 𝑐 dove 𝑐 è una costante da determinare

• Avendo ricavato la costante, trovare il campo magnetico

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Fogli Risposta

Problema 1: Effetto Stewart Tolman

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Problema 2: A Self-Excited Magnetic Dynamo

1) Equazione per 𝑖(𝑡)

……….(1.6 punti) 2) Campo Magnetico

𝐵(𝑡) = ………(1.5 punti) 3) Forza elettromotrice indotta

𝜀(𝑡) =………(2 punti) 4) Corrente in funzione del tempo

𝑖(𝑡) =………(1.5 punti) 5) Valore di

𝜔𝑚𝑖𝑛=………..……(2 punti) 6) Momento torcente

𝜏⃗(𝑡) =……….(2 punti)

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Problema 3: Strong Resistive Electromagnets

1) Componente 𝑥 del campo lungo l’asse

𝐵_𝑥(𝑥) =………(1 punto) 2) Corrente

𝐼 = ……….(0.4 punti) 3) Forza normale per unità di lunghezza

𝑑𝐹/𝑑𝑠 =……….(1.2 punti) 4) Tensione

𝑇 =……….(0.6 punti) 5) Corrente di rottura

𝐼′ =……….(0.6 punti) Valore numerico

𝐼′ =……….(0.2 punti) 6) Campo magnetico di rottura

𝐵′ =………(0.2 punti) Valore numerico

𝐵′ =………(0.2 punti) 7) Densità di potenza

𝑑

𝑑𝑉𝑃 =………..(0.3 punti) Valore numerico

𝑑

𝑑𝑉𝑃 =………..(0.2 punti) 8) Variazione di temperatura

𝑇̇ =……….(0.3 punti) Valore numerico

𝑇̇ =……….(0.2 punti) 9) Induttanza e Resistenza

𝐿 =……….(0.4 punti) 𝑅 =……….(0.2 punti)

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10) Valori numerici

𝐿 =……….(0.2 punti) 𝑅 =……….(0.2 punti) 11) Valore dei parametri

𝛼 =……….(0.4 punti) 𝜔 =……….(0.4 punti) 12) Valori numerici

𝛼 =……….(0.2 punti) 𝜔 =……….(0.2 punti) 13) Corrente massima

𝐼′′ =………(0.6 punti) 14) Valore massimo potenziale iniziale (numerico)

𝑉_0𝑀 =………(0.4 punti) 15) Energia dissipata

∆𝐸 =……….(0.8 punti) Valore numerico

∆𝐸 =……….(0.2 punti) 16) Variazione di temperatura

∆𝑇 =……….(0.1 punti) Valore numerico

∆𝑇 =……….(0.3 punti)

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Problema 4: Due griglie

7) Equazione che lega 𝐸�⃗(𝑥) a 𝜌(𝑥)

………...(1.6 punti) 8) Equazione per 𝜌(𝑥) a 𝑢(𝑥) (no dinamica)

……….………(0.8 punti) 9) Equazione per 𝑢(𝑥) a 𝐸(𝑥) (dinamica)

……….………..(2 punti) 10) Soluzioni

𝛼 =………(0.1 punti) 𝐶 =………(0.2 punti) 𝜌(𝑥) =………(0.1 punti) 𝑢(𝑥) =………(0.1 punti) 𝐸_𝑥(𝑥) =………..……….(0.1 punti)

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Problema 5: Foto relativistiche

1) Posizione reale

𝑥 =………(0.6 punti) 2) Posizione apparente

𝑥′ = ……….(0.9 punti) 3) Lunghezza apparente

𝐿′ =……….……….(1.5 punti) 4) Come varia la lunghezza apparente (quando cresce e quando decresce)?

……….…..…...(1.5 punti) 5) Lunghezza apparente

𝐿′ =……….….(0.8 punti) 6) Posizione del centro

𝐶 =……….(1 punto) 7) Posizione apparente del centro

𝐶′ =……….…(1.2 punti) 8) A quale foto corrisponde quale lunghezza?

𝐵′ =……….……(0.5 punti) 9) Velocità

𝑣 =………...(1 punti) 10) Lunghezza reale

𝐿 =………...(0.6 punti) 11) Lunghezza apparente

𝐿′ =………..(0.4 punti)

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1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di

Seminario Pre-Ipho

25 maggio 2011 Effetto Stewart-Tolman

Conoscenze richieste: forze apparenti in sistemi accelerati, leggi di Maxwell, (calcolo vettoriale)

Problema

Nel 1917, Stewart e Tolman scoprirono un passaggio di corrente attraverso una bobina avvolta attorno a un Cilindro che ruotava attorno al proprio asse con una certa accelerazione angolare.

Considera un gran numero di anelli, con raggio 𝜏 ognuno, fatti di un sottile filo metallico con resistenza 𝑅. Gli anelli sono disposti con densità lineare uniforme lungo un cilindro di vetro molto lungo, vuoto dentro. La loro posizione sul cilindro è fissata incollando gli anelli su di esso. Il numero di anelli per unità di lunghezza lungo l’asse di simmetria è 𝑛. I piani contenenti gli anelli sono perpendicolari all’asse di simmetria del cilindro.

A un certo momento il cilindro inizia a ruotare attorno al suo asse di simmetria con accelerazione angolare costante 𝛼. Trova il valore del campo 𝐵 al centro del cilindro (dopo un tempo sufficientemente lungo).

Assumiamo che la carica elettrica 𝑒 dell’elettrone, e la massa dell’elettrone 𝑚 siano note.

Soluzione

Sia 𝑣⃗ la velocità dell’oggetto nel sistema di riferimento 𝐾 del laboratorio, e sia 𝐾′ il sistema di riferimento solidare col conduttore. Nel sistema 𝐾 gli elettroni sentono una accelerazione 𝑣⃗̇, nel sistema 𝐾′ invece sono fermi ed è quindi presente una forza apparente 𝐹⃗ = −𝑚𝑣⃗̇. Questa esercita sull’elettrone lo stesso effetto che avrebbe un campo elettrico 𝐸�⃗^′′=^𝑚_𝑒 𝑣⃗̇. Pertanto, il campo elettrico efficace agente sugli elettroni nel sistema 𝐾¹ è

𝐸�⃗^′ = 𝐸�⃗ +𝑚 𝑒 𝑣⃗̇ Per usare la legge di maxwell

� 𝐸�⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = − 𝜕

𝜕𝑡� 𝐵�⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

Dobbiamo scomporre 𝑣⃗̇:

Se

𝑣⃗ = 𝑢�⃗ + 𝜔��⃗ × 𝑟⃗

Con 𝑢�⃗ ed 𝑤��⃗ indipendenti dalle coordinate perché siamo nel caso di corpo rigido, allora (nel caso generale) 𝑣⃗̇ = 𝑢�⃗̇ + 𝜔��⃗ × 𝑢�⃗ + 𝜔��⃗ × (𝜔��⃗ × 𝑟⃗) + 𝜔��⃗̇ × 𝑟⃗

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1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di inerzia per gli elettroni

2Il termine aggiuntivo ad H ha circuitazione nulla

I primi due termini sono indipendenti dalle coordinate e hanno quindi circuitazione nulla (equivalgono a un campo costante). Anche il terzo termine ha circuitazione nulla in generale, nel nostro caso, dato che 𝜔��⃗ ⊥ 𝑟⃗, equivale a ‖𝜔��⃗‖²𝑟⃗ e si può quindi verificare facilmente. L’ultimo termine ha in generale una circuitazione

𝑚

𝑒 � 𝜔��⃗̇ × 𝑟⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = 2𝑚

𝑒 � 𝜔��⃗̇ ∙ 𝑑𝐴⃗

Controlliamo nel nostro caso, facendo il calcolo su una circonferenza:

𝑚

𝑒 � 𝜔��⃗̇ × 𝑟⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗

𝛾 =𝑚

𝑒 � �𝜔��⃗̇�𝑟𝜃� ∙ 𝑟𝑑𝜃�^2𝜋

0 = 2𝑚

𝑒 𝜋𝑟²�𝜔��⃗̇�

E infatti il flusso vale

2𝑚

𝑒 � 𝜔��⃗̇ ∙ 𝑑𝐴⃗ = 2𝑚

𝑒 𝜋𝑟²�𝜔��⃗̇�

L’idea è di trovare un problema equivalente per i campi efficaci. Vediamo che possiamo “riassorbire” il termine aggiuntivo in 𝐵�⃗

� 𝐸�⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = �(𝐸�⃗^′−𝑚

𝑒 𝑣⃗̇) ∙ 𝑑𝑙⃗ = − 𝜕𝜕𝑡� 𝐵�⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

� 𝐸�⃗′ ∙ 𝑑𝑙⃗ = − 𝜕

𝜕𝑡� 𝐵�⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ + 2𝑚

𝑒 � 𝜔��⃗̇ ∙ 𝑑𝐴⃗ = − 𝜕

𝜕𝑡� �𝐵�⃗ − 2𝑚

𝑒 𝜔��⃗� ∙ 𝑑𝐴⃗ = − 𝜕

𝜕𝑡� 𝐵�⃗′ ∙ 𝑑𝐴⃗

Con

𝐵�⃗^′ = 𝐵�⃗ − 2𝑚 𝑒 𝜔��⃗

Possiamo verificare che la quarta legge di Maxwell continua ad assumere la forma²

� 𝐻��⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = � 𝐻��⃗′ ∙ 𝑑𝑙⃗ = 𝐽 = 𝜎𝐸�⃗′

Che assume in un conduttore immobile (nota: 𝐵�⃗ = 𝜇0𝐻��⃗).

Quindi il problema del campo 𝐻��⃗ in un conduttore accelerato equivale a quello di un campo 𝐻��⃗′ in un conduttore immobile immerso in un campo magnetico esterno

𝐻� = −2 𝑚 𝑒𝜇0𝜔��⃗

Che corrisponde a

𝐵� = −2𝑚 𝑒 𝜔��⃗

Per quanto detto la fem indotta è

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15

1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di 𝑉 =𝑚

𝑒 � 𝜔��⃗̇ × 𝑟⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗

𝛾 =𝑚

𝑒 � �𝜔��⃗̇�𝑟𝜃� ∙ 𝑟𝑑𝜃�^2𝜋

0 = 2𝑚

𝑒 𝜋𝑟²𝛼 E scorre quindi una corrente

𝐼 = 2𝑚 𝑒𝑅 𝜋𝑟²𝛼

E si genera un campo indotto nullo all’esterno del cilindro e di intensità 𝐵�⃗^′′= 2𝜇0𝑛𝑚

𝑒𝑅 𝜋𝑟²𝛼⃗

𝐻��⃗^′′= 2𝑛 𝑚 𝑒𝑅 𝜋𝑟²𝛼⃗

al suo interno.

Quindi

𝐻��⃗^′ = �2𝑛 𝑚

𝑒𝑅 𝜋𝑟²𝛼⃗ − 2 𝑚

𝑒𝜇0𝜔��⃗ 𝑟 < 𝜏

−2 𝑚

𝑒𝜇₀𝜔��⃗ 𝑟 > 𝜏

𝐻��⃗ = 𝐻��⃗^′+ 2𝑚

𝑒 𝜔��⃗ =�2𝑛 𝑚

𝑒𝑅 𝜋𝑟²𝛼⃗ 𝑟 < 𝜏 0 𝑟 > 𝜏 𝐵�⃗ = 𝜇₀𝐻��⃗ = �2𝑛𝜇⁰ 𝑚

𝑒𝑅 𝜋𝑟²𝛼⃗ 𝑟 < 𝜏 0 𝑟 > 𝜏

Soluzione alternativa

Una volta scritto il campo 𝐸′ ragiono in modo microscopico. Nel sistema di riferimento in cui il cilindro è fermo, varrà la legge

−𝜂𝑒𝑣𝑒′ = 𝐽 = 𝜎𝐸^′

Dove 𝑣𝑒′ = 𝑣𝑒− 𝑣̇𝑡 è la velocità degli elettroni nel sistema in cui il cilindro è fermo, e 𝜂 è la densità numerica di portatori di carica. Sostituendo

−𝜂𝑒𝑣_𝑒 + 𝜂𝑒𝑣̇𝑡 = 𝜎𝐸 + 𝜎𝑚 𝑒 𝑣̇

Troviamo ora la corrente dovuta alla differenza di velocità fra gli ioni positivi (che vanno alla velocità del cilindro) e gli elettroni. Considerando lo strato conduttore di sezione 𝑆, abbiamo

𝑖 = (𝜂𝑒𝑣 − 𝜂𝑒𝑣_𝑒)𝑆 E il campo magnetico da essa generato è

𝐵 = 𝜇₀𝑛(𝜂𝑒𝑣 − 𝜂𝑒𝑣_𝑒)𝑆

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3Prendere la velocità angolare nel verso antiorario, cioè col vettore nel verso positivo dell’asse z Applicando la legge di Faraday si ottiene

2𝜋𝑟𝐸 = −𝜋𝑟² 𝜕

𝜕𝑡 𝐵 = −𝜋𝑟²𝜇₀𝜂𝑒𝑛𝑆 𝜕

𝜕𝑡(𝑣 − 𝑣_𝑒) Sostituendo 𝐸 si ottiene

2𝜋𝑟 �−𝜂𝑒

𝜎 𝑣^𝑒+𝜂𝑒 𝜎 𝑣̇𝑡 −

𝑚

𝑒 𝑣̇� = 𝜋𝑟²𝜇₀𝜂𝑒𝑛𝑆(𝑣̇ − 𝑣̇_𝑒)

Dobbiamo rispondere in termini della resistenza, per cui usiamo la seconda legge di Ohm per eliminare 𝑆

𝑅 =2𝜋𝑟 𝜎𝑆

�−𝜂𝑒𝑣𝑒 + 𝜂𝑒𝑣̇𝑡 − 𝜎𝑚

𝑒 𝑣̇� =𝜋𝑟²𝜇0𝜂𝑒𝑛

𝑅 (𝑣̇ − 𝑣̇_𝑒) Cerchiamo una soluzione nella forma 𝑣𝑒(𝑡) = 𝑣̇𝑡 + 𝑐

Si ottiene

−𝜂𝑒𝑐 − 𝜎𝑚 𝑒 𝑣̇ = 0 𝑐 = −𝜎 𝑚

𝜂𝑒²𝑣̇

Da cui

𝐵 = 𝜇0𝑛(𝜂𝑒𝑣 − 𝜂𝑒𝑣𝑒)𝑆 = −𝜇0𝑛𝜂𝑒𝑆𝑐 = 𝜇0𝑛𝑚 𝑒

2𝜋𝑟

𝑅 𝛼𝑟 = 𝜋𝑟² 2𝑛𝜇₀

𝑅 𝑚

𝑒 𝛼

A Self-Excited Magnetic Dynamo

Conoscenze richieste: leggi dei circuiti, legge di faraday, equazioni differenziali dei circuiti, momento torcente

Problema

Un disco metallico di raggio a montato su un asse sottile ruota con velocità angolare costante 𝜔³ all’interno di un lungo solenoide di induttanza 𝐿, lunghezza 𝑙 e formato da 𝑁 spire, le cui due estremità sono connesse al disco ruotante da due contatti P e Q, Q collegato all’asse, e P all’estremità esterna del disco. La resistenza totale del circuito è 𝑅. Una piccola perturbazione può iniziare la crescita di una forza elettromotrice indotta fra i terminali P e Q.

1. Scrivere l’equazione differenziale per 𝑖(𝑡), la corrente nel circuito, in funzione di 𝐿, 𝑅 e di 𝜀(𝑡) la d.d.p.

indotta ai capi di P e Q. (1 punto)

2. Qual è il valore del campo magnetico 𝐵(𝑡) in termini di 𝑖(𝑡), 𝑁, 𝑙, 𝜇0? Ignora il campo magnetico generato dal disco e dall’asse (1.5 punti)

3. Qual è l’espressione per la forza elettromotrice indotta 𝜀(𝑡) in termini di 𝑖(𝑡), 𝑁, 𝑙, 𝜇0, 𝑎, 𝜔? (2 punti)

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1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di

4. Risolvi l’equazione differenziale trovando la corrente 𝑖(𝑡) funzione del tempo, delle costanti che compaiono nell’equazione differenziale e della corrente iniziale 𝐼0 (1.5 punti)

5. Qual è il minimo valore di 𝜔 che permetterà alla corrente di crescere? Dai la tua risposta in termini di 𝑅, 𝑁, 𝑎, 𝑙, 𝜇0 (2 punti)

6. Per mantenere una velocità angolare costante, quale deve essere il valore del momento torcente 𝜏(𝑡) applicato all’asse in funzione del tempo? (2 punti)

Soluzione

1. 𝐿_𝑑𝑡^𝑑𝑖(𝑡) + 𝑅𝑖(𝑡) = 𝜀(𝑡)

2. Considerando il solenoide infinito, 𝐵(𝑡) =^𝜇⁰_𝑙^𝑁𝑖(𝑡)

3. Per simmetria 𝐸�⃗ è tangenziale, e usando la legge di Maxwell 𝜀(𝑡) = ∮ 𝐸�⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗ = −_𝜕𝑡^𝜕 ∯ 𝐵�⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ si trova che 𝜀(𝑡) = −_𝜕𝑡^𝜕 �𝐵(𝑡) ∙ �−𝜋𝑎^{2 𝜔𝑡}_2𝜋�� = 𝑎^{2 𝜔𝑡}₂ _𝜕𝑡^𝜕 𝐵(𝑡) + 𝑎^{2 𝜔}₂𝐵(𝑡) ma il primo termine è quello dovuto all’autoinduzione che abbiamo già considerato nell’equazione, per cui 𝜀(𝑡) = 𝑎^{2 𝜔}₂𝐵(𝑡) = 𝑎^{2 𝜔}₂^𝜇⁰_𝑙^𝑁𝑖(𝑡)

4. L’equazione risulta essere 𝐿_𝑑𝑡^𝑑𝑖(𝑡) + �𝑅 − 𝑎^{2 𝜇}⁰_2𝑙^𝑁𝜔� 𝑖(𝑡) = 0 che ha soluzione 𝑖(𝑡) = 𝐼0𝑒^𝛿^𝑡 con

𝛿 = ^𝐿

𝑎^{2𝜇0𝑁𝜔}_2𝑙 −𝑅

5. Perché la corrente cresca è necessario che 𝛿 > 0, quindi 𝜔 >_𝑁𝜇^2𝑙𝑅₀_𝑎2

6. Con la meccanica: 𝑑𝐹��⃗(𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑑𝑟��⃗ × 𝐵�⃗(𝑡) = −^𝜇⁰_𝑙^𝑁�𝑖(𝑡)�²𝑑𝑟𝜃� , 𝑑𝜏��⃗(𝑡) = 𝑟⃗ × 𝑑𝐹��⃗(𝑡) = −^𝜇⁰_𝑙^𝑁�𝑖(𝑡)�²𝑟𝑑𝑟𝑧̂ , 𝜏⃗(𝑡) = −^𝜇_2𝑙⁰^𝑁�𝑖(𝑡)�²𝑎²𝑧̂ = −^𝜇_2𝑙⁰^𝑁𝑎²𝐼02𝑒^2𝑡^𝛿𝑧̂ ; con la conservazione dell’energia 𝑃 = 𝜏𝜔 = 𝑅�𝑖(𝑡)�²+_𝑑𝑡^𝑑 �¹₂𝐿�𝑖(𝑡)�²�, 𝜏 =^𝜇_2𝑙⁰^𝑁𝑎²𝐼₀²𝑒^2𝑡^𝛿 e il momento è opposto alla rotazione, quindi verso il basso. In entrambi i casi per mantenere l’oggetto in moto angolare costante è necessario applicare un momento uguale e opposto, quindi verso l’alto.

Strong Resistive Electromagnets

Conoscenze richieste: Legge di Ampere-Laplace, potenza dissipata in un conduttore, induttanze, legge di Faraday, circuiti RLC a corrente alternata

Problema

Resistive Electromagnets sono magneti con bobine fatte di un normale metallo come rame o alluminio. I moderni Resistive Electromagnets possono generare campi magnetici costanti di intensità superiore a 30𝑇. Le loro bobine sono tipicamente costituite da centinaia di piastre circolari fatte da lamine di rame con molti buchi di raffreddamento ricavati al loro interno; ci sono inoltre degli isolanti con lo stesso pattern. Quando la forza elettromotrice è applicata alla bobina, la corrente scorre attraverso un percorso ad elica per generare un grande campo magnetico al centro del magnete.

In questo problema vogliamo valutare se una bobina cilindrica (o solenoide) di molti avvolgimenti può essere utilizzata per generare grandi campi magnetici. La bobina cilindrica consiste di 𝑁 avvolgimenti di filo di rame che trasporta una corrente 𝐼 uniformemente distribuita sulla sezione del filo. Il diametro della bobina è 𝐷 e la sua lunghezza (lungo l’asse 𝑥) è 𝑙. Le sezione del cavo è rettangolare con larghezza 𝑎 e altezza 𝑏. Gli

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avvolgimenti della bobina sono così fitti che ogni avvolgimento può essere considerato perpendicolare all’asse 𝑥 e inoltre 𝑙 = 𝑁𝑎. I valori numerici di tali parametri sono listati in fondo al problema, nell’appendice B.

Nel valutare se tale magnete può essere utilizzato per generare grandi campi magnetici, due fattori limitanti non devono essere trascurati. Il primo è la rigidità meccanica della bobina, che deve sostenere grandi forze di Lorentz sulla corrente prodotta dal campo. L’altro è l’enorme quantità di calore generata per effetto Joule nel cavo, che non deve far salire troppo la temperatura. Esamineremo questi due fattori usando metodi semplici.

Alcune formule matematiche utili sono elencate in fondo al problema, nell’appendice A.

Parte A: Campo magnetico sull’asse della bobina

Assumiamo 𝑏 ≪ 𝐷 così da poter trattare il cavo come una striscia sottile di larghezza 𝑎. Centrare la bobina nel sistema di coordinate, così che il centro sia nell’origine e l’asse lungo l’asse 𝑥. La corrente ha verso destro rispetto all’asse 𝑥.

1) Trova la componente 𝑥 del campo magnetico lungo l’asse in funzione di 𝑥, quando la corrente che passa nel cavo è 𝐼. (1 punto)

2) Trova la corrente passante nel cavo se la componente 𝑥 del campo magnetico nell’origine ha intensità 10𝑇 (0.4 punti)

Parte B: Limite superiore per la corrente

Nella parte B, assumiamo che la lunghezza 𝑙 della bobina sia infinita e che 𝑏 ≪ 𝐷. Considera l’avvolgimento posto in 𝑥 = 0. Il campo magnetico esercita una forza sulla corrente che passa in tale avvolgimento. Quindi, un segmento di cavo di lunghezza 𝑑𝑠 è soggetto a una forza normale 𝑑𝐹 che tende a far espandere il cavo.

3) Supponi che, quando la corrente è 𝐼, il diametro della bobina espansa rimane a un valore costante 𝐷^′> 𝐷. Trova la forza normale per unità di lunghezza 𝑑𝐹/𝑑𝑠 (1.2 punti)

4) Trova la tensione 𝑇 che agisce sul cavo (0.6 punti)

Ignora l’accelerazione della bobina durante l’espansione. Assumi che l’avvolgimento si romperà quando l’allungamento percentuale del cavo sarà 60% e la tensione per unità di sezione raggiungerà i 𝜎 = 455𝑀𝑃𝑎.

Sia 𝐼′ la corrente alla quale avverrà la rottura, e 𝐵′ il corrispondente campo magnetico nell’origine..

5) Trova una espressione per 𝐼′ e calcola il suo valore (0.8 punti) 6) Trova una espressione per 𝐵^′ e calcola il suo valore (0.4 punti) Parte C: La velocità di innalzamento della Temperatura

Quando al corrente 𝐼 è pari a 10𝑘𝐴 e la temperatura T della bobina è 293𝐾, assumi che la resistività, il calore specifico a pressione costante, e la densità di massa del cavo siano, rispettivamente, 𝜌𝑒 = 1.72 ∙ 10⁻⁸Ω ∙ 𝑚, 𝐶𝑝 = 3.85 ∙ 10²𝐽/(𝑘𝑔 ∙ 𝐾) e 𝜌𝑚 = 8.98 ∙ 10³𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁻³

7) Trova un’espressione per la densità di potenza (potenza per unità di volume) generata nella bobina e calcola il suo valore (0.5 punti)

8) Sia 𝑇̇ =_𝑑𝑡^𝑑𝑇. Trova una espressione per 𝑇̇ e calcola il suo valore (0.5 punti) Parte D: Un magnete a campo pulsato

Se la grande corrente necessaria per un potente magnete dura solo per un piccolo periodo di tempo, l’incremento di temperatura causato dall’eccessivo effetto Joule può essere fortemente ridotto. Questa idea è

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1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di utilizzata nel magnete a campo pulsato. Un condensatore di capacità 𝐶 caricato inizialmente a un potenziale 𝑉₀ è utilizzato per controllare la corrente nella bobina. Il circuito è equipaggiato con un interruttore 𝐾.

L’induttanza 𝐿 e la resistenza 𝑅 del circuito sono assunte essere dovute interamente alla bobina. Le dimensioni di costruzione della bobina sono le stesse dell’appendice B e della parte A. Assumi che 𝑅, 𝐿 e 𝐶 siano indipendenti dalla temperatura e che il campo magnetico sia lo stesso del solenoide infinito con 𝑙 → ∞.

9) Trova un’espressione per l’induttanza 𝐿 e la resistenza 𝑅 (0.6 punti) 10) Calcola i loro valori (0.4 punti)

All’istante 𝑡 = 0 l’interruttore viene chiuso e la corrente comincia a circolare. Per ≥ 0 la carica 𝑄(𝑡) sull’armatura positiva del condensatore e la corrente 𝐼(𝑡) entrante nell’armatura positiva sono date da

𝑄(𝑡) = 𝐶𝑉0

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝑡sin(𝜔𝑡 + 𝜃₀) 𝐼(𝑡) = 𝑑

𝑑𝑡 𝑄(𝑡) = − 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜃₀

𝐶𝑉₀

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝑡sin(𝜔𝑡) Dove 𝛼 e 𝜔 sono delle costanti e 𝜃0 è soddisfa la relazione

𝑡𝑎𝑛𝜃₀=𝜔

𝛼 , 0 < 𝜃⁰<𝜋 2

Nota che, se 𝑄(𝑡) è espressa come funzione di una nuova variabile 𝑡^′ = 𝑡 + 𝜃₀/𝜔 allora 𝑄(𝑡′) e la sua derivata 𝐼(𝑡) assumono la stessa forma eccetto che per un fattore moltiplicativo costante. La derivata di 𝐼(𝑡) può quindi essere ottenuta in questo stesso modo senza differenziare ulteriormente.

11) Trova 𝛼 e 𝜔 in funzione di 𝑅, 𝐿, 𝐶 (0.8 punti) 12) Calcola i loro valori se 𝐶 = 10𝑚𝐹 (0.4 punti)

13) Sia 𝐼′′ il massimo valore di 𝐼(𝑡) per 𝑡 ≥ 0. Trova 𝐼′′ (0.6 punti)

14) Se 𝐶 = 10𝑚𝐹, qual è il massimo valore 𝑉0𝑀 del potenziale iniziale 𝑉0 affinché 𝐼^′′< 𝐼′? (0.4 punti) Supponi ora che l’interruttore venga spostato in modo da chiudere il circuito escludendo il generatore nell’istante in cui 𝐼(𝑡) = 𝐼′′. Sia ∆𝐸 l’energia totale dissipata nella bobina dall’istante 𝑡 = 0 fino a 𝑡 → ∞, e sia

∆𝑇 la corrispondente variazione di temperatura della bobina. Assumi che il potenziale iniziale 𝑉₀ sia 𝑉0𝑀e che la perdita di energia elettromagnetica avvenga solo in forma di calore dissipato dalla bobina.

15) Trova un’espressione per ∆𝐸 e calcola il suo valore (1 punto)

16) Trova un’espressione per ∆𝑇 e calcola il suo valore. Nota che ∆𝑇 deve essere compatibile con l’assunzione di 𝑅 ed 𝐿 costanti (0.4 punti)

Appendice A: Formule utili

� 𝑑𝑥

(𝐷²+ 𝑥²)^3/2 = 1 𝐷²

𝐿 (𝐷²+ 𝐿²)^1/2

𝐿

sin(𝑥 ± 𝑦) = sin (𝑥)cos (𝑦) ± cos (𝑥)sin (𝑦) 0

Appendice B: Costanti numeriche

𝜇₀= 4𝜋 ∙ 10⁻⁷𝑇 ∙ 𝑚/𝐴 𝑙 = 12.0 𝑐𝑚

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20

3Prendere la velocità angolare nel verso antiorario, cioè col vettore nel verso positivo dell’asse z 𝐷 = 6.0 𝑐𝑚

𝑎 = 2.0 𝑚𝑚 𝑏 = 5.0 𝑚𝑚

Soluzione

1) Per la legge di Ampere-Laplace

𝑑𝐵�⃗ = 𝜇₀ 4𝜋

𝜋𝐼𝐷

�𝐷2�²+ (𝑠 − 𝑥)²∙

𝐷2

��𝐷2�²+ (𝑠 − 𝑥)² 𝑑𝑠

𝑎 𝑥�

𝐵�⃗ =𝜇0𝐼 2𝑎⎝

⎛ 𝑙

2 − 𝑥

��𝐷2�²+ (𝑙2 − 𝑥)² +

2 + 𝑥𝑙

��𝐷2�²+ (𝑙2 + 𝑥)²⎠

⎞ 𝑥�

2) Ponendo �𝐵�⃗� = 10𝑇 ed 𝑥 = 0 si ottiene

𝐼 = �𝐵�⃗� 𝑎

𝜇₀�1 + �𝐷𝑙 �

2

= 1.7794 ∙ 10⁴𝐴

3) Nelle approssimazioni di lavoro, il solenoide è ideale e 𝐵�⃗ =𝜇0𝐼

𝑎 𝑥�

all’interno e nullo all’esterno.

𝑑𝐹⃗ = 𝐼𝐵�𝑑𝑠𝑟̂

Dove 𝐵� =¹₂‖𝐵‖ =^𝜇_2𝑎⁰^𝐼 quindi

𝑑𝐹⃗/𝑑𝑠 =𝜇₀𝐼² 2𝑎 𝑟̂

4) La risultante dovuta alla tensione è

−2𝑇𝑠𝑖𝑛 �𝑑𝜃

2 � 𝑟̂ = −2𝑇𝑑𝜃𝑟̂ = −𝑇 𝑑𝑠𝐷^′

2

𝑟̂ = −2𝑇 𝐷′ 𝑑𝑠𝑟̂

𝑑𝐹⃗ −2𝑇

𝐷^′𝑑𝑠𝑟̂ = �𝜇₀𝐼² 2𝑎 𝑟̂ −

2𝑇

𝐷^′� 𝑑𝑠 = 0

𝑇 =𝜇0𝐼² 4𝑎 𝐷′

5) Alla rottura vale

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1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di 𝑇

𝑎𝑏 = 𝜇0𝐼²

4𝑎²𝑏 𝐷^′= 4.55 ∙ 10⁸𝑃𝑎 E l’allungamento è

𝐷^′− 𝐷 𝐷 = 0.6 𝐷^′= 1.6𝐷 Usando tali equazioni si trova

𝐼^′ = 2𝑎� 𝑏 ∙ 𝜎

𝜇₀∙ 1.6 ∙ 𝐷 = 1.737 ∙ 10⁴𝐴 6) Usando le stesse equazioni

𝐵^′= 2�𝜇₀∙ 𝑏 ∙ 𝜎

1.6 ∙ 𝐷 = 1.1 ∙ 10¹𝑇 7) Usando al formula per la densità di corrente:

𝐽 = 𝐼 𝑎𝑏 𝑑

𝑑𝑉 𝑃 = 𝜌^𝑒𝐽²= 𝜌_𝑒 𝐼²

𝑎²𝑏²= 1.720 ∙ 10¹⁰𝑊/𝑚³ 8) Con bilancio energetico

𝜌_𝑚𝐶_𝑝𝑇̇ = 𝜌_𝑒 𝐼² 𝑎²𝑏² 𝑇̇ = 𝜌_𝑒 𝐼²

𝑎²𝑏²𝜌_𝑚𝐶_𝑝 = 4.975 ∙ 10³𝐾/𝑠 9) Il flusso del campo attraverso una spira è

𝜑_𝐵 =𝜇₀𝐼 𝑎 𝜋 �

𝐷 2�

2

Quindi

𝐿 =𝑁𝜑_𝐵 𝐼 =

𝜇₀𝑁 𝑎 𝜋 �

𝐷 2�

2

= 𝜋𝜇₀𝑙 4𝑎²𝐷²= Mentre la resistenza si trova con la seconda legge di Ohm

𝑅 = 𝜌_𝑒𝑁𝜋𝐷 𝑎𝑏 = 𝜌^𝑒

𝑙𝜋𝐷 𝑎²𝑏

(22)

22

3Prendere la velocità angolare nel verso antiorario, cioè col vettore nel verso positivo dell’asse z 10) Risulta:

𝐿 = 1.1 ∙ 10⁻⁴𝐻 𝑅 = 1.9 ∙ 10⁻²Ω 11) La derivata della corrente si trova usando il suggerimento

𝑑

𝑑𝑡 𝐼(𝑡) = � 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝜃₀�² 𝐶𝑉₀

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝑡sin(𝜔𝑡 − 𝜃₀) Sostituendo le espressioni di 𝑄(𝑡), 𝐼(𝑡) e di _𝑑𝑡^𝑑𝐼(𝑡), con un po’ di algebra di trova

𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃₀𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = 0 Questo può valere per ogni istante solo se 𝐴 = 𝐵 = 0 quindi

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝐴 = 𝐿 � 𝛼𝑐𝑜𝑠𝜃₀�²− 𝑅 𝛼 𝑐𝑜𝑠²𝜃₀+1

𝐶 = 0

−𝐿 � 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝜃₀�²+1 𝐶 = 0 Da cui

𝛼 = 𝑅 2𝐿

𝜔 = �1 𝐿𝐶 − �

𝑅 2𝐿�

2

Questi sono i risultati di un circuito RLC in serie standard che si trovano sui libri.

12)

𝛼 = 9.1249 ∙ 10¹𝑠⁻¹ 𝜔 = 9.6428 ∙ 10²𝑟𝑎𝑑/𝑠 13) La derivata della corrente deve annullarsi:

𝑑

𝑑𝑡 𝐼(𝑡) = � 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝜃₀�² 𝐶𝑉₀

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝑡sin(𝜔𝑡 − 𝜃₀) = 0 𝑡 =𝜃₀

𝜔

|𝐼(𝑡)| = 𝐼^′′= 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜃₀

𝐶𝑉₀

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼𝜃^𝜔⁰sin(𝜃₀) = 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜃₀

𝐶𝑉₀

𝑠𝑖𝑛𝜃₀𝑒^−𝛼^{𝜔𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔�}^𝜔^𝛼� �𝜔𝛼�

�1 + �𝜔𝛼�² 14) Uguagliando si ottiene

(23)

23

1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di 𝐼^′′= 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝜃0

𝐶𝑉_0𝑀

𝑠𝑖𝑛𝜃0𝑒^−𝛼^{𝜔𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔�}^𝜔^𝛼� �𝜔𝛼�

�1 + �𝜔𝛼�² = 2𝑎� 𝑏 ∙ 𝜎 𝜇0∙ 1.6 ∙ 𝐷

𝑉_0𝑀 = 2𝑎� 𝑏 ∙ 𝜎 𝜇₀∙ 1.6 ∙ 𝐷

𝑐𝑜𝑠𝜃0𝑠𝑖𝑛𝜃0

𝛼 ∙ 𝐶 𝑒^{𝜔𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔�}^𝛼 ^𝜔^𝛼��1 + �𝛼

𝛼𝜔�²= 2.0623 ∙ 10³𝑉 15) Nell’istante in cui escludiamo il condensatore, la d.d.p. ai suoi capi è

𝑉 �𝜃₀ 𝜔 � =

𝑄 �𝜃𝜔 �⁰

𝐶 = 𝑉_0𝑀

𝑠𝑖𝑛𝜃0𝑒^−𝛼^{𝜔𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔�}^𝜔^𝛼�sin(2𝜃0) = 2𝑉0𝑀𝑒^−𝛼^{𝜔𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔�}^𝜔^𝛼�cos(𝜃0) L’energia

La differenza di energia presente nel condensatore fra l’stante 𝑡 = 0 e 𝑡 =^𝜃_𝜔⁰ è l’energia che è passata al resto del circuito e che viene dissipata per effetto Joule fra 𝑡 = 0 e 𝑡 → ∞.

Quindi

∆𝐸 =𝐶

2 �𝑉^0𝑀²− 𝑉²�𝜃₀ 𝜔 �� =

𝐶

2 𝑉^0𝑀²�1 − 4𝑒^−2𝛼^{𝜔𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔�}^𝜔^𝛼�cos²(𝜃0)� = 2.0694 ∙ 10⁴𝐽 16) Nell’ipotesi di lavoro

∆𝑇 = ∆𝐸

𝜋𝜌_𝑚𝐶_𝑝𝑙𝑏𝐷 = 53𝐾

Con tale incremento le proprietà di conduzione del rame non cambiano sostanzialmente quindi il calcolo è consistente con le ipotesi fatte.

Due griglie di potenziale

Conoscenze richieste: legge di continuità

Si hanno due griglie infinite, una posta nel piano 𝑥 = 0 e l’altra posta nel piano 𝑥 = 𝐿. La prima griglia è messa a terra, mentre la seconda ha un potenziale 𝑉0.

Fra le due griglie scorre un flusso di particelle cariche negativamente, di rapporto �_𝑚^𝑞� = 𝜆 noto. Le particelle entrano dalla prima griglia 𝑥 = 0 con velocità trascurabile.

Vogliamo trovare quel’è il campo elettrico 𝐸�⃗(𝑟⃑) e la distribuzione di densità di carica 𝜌(𝑟⃑) nello spazio compreso fra le due griglie, nell’ipotesi che tutte le quantità (𝜌(𝑟⃑), 𝐸�⃗(𝑟⃑), 𝑉(𝑟⃗) e la velocità delle particelle in un punto 𝑢(𝑟⃗)) siano costanti nel tempo.

1) Si scriva un’equazione che leghi 𝐸�⃗(𝑥) a 𝜌(𝑥) (1.6 punti)

(24)

24

2) Scrivere un’equazione che leghi 𝜌(𝑥) a 𝑢(𝑥), senza utilizzare le leggi della dinamica del moto delle particelle nel campo elettrico, e ricavare da questa una quantità costante all’interno delle due griglie (0.8 punti)

3) Scrivere l’equazione del moto per una particella, in funzioni delle sole quantità già introdotte. (2 punti)

4) Cercare una soluzione per 𝑉(𝑥) del tipo 𝑉(𝑥) = 𝐶𝑥^𝛼, trovando 𝐶 ed 𝛼. Trovare 𝜌(𝑟⃑), 𝐸�⃗(𝑟⃑), 𝑢(𝑟⃗). (0.6 punti)

Soluzione

1) Usando il teorema di Gauss su un volumetto di spessore 𝑑𝑥 infinitesimo otteniamo (𝐸(𝑥 + 𝑑𝑥) − 𝐸(𝑥))𝐴 =𝑑𝑞

𝜀0

Dividendo tutto per 𝑑𝑉 = 𝐴𝑑𝑥 otteniamo

𝜕𝐸

𝜕𝑥 (𝑥) = 1 𝜀0

𝑑𝑞 𝑑𝑉 =

𝜌(𝑥)

𝜀0 = − 𝜕²

𝜕𝑥²𝑉(𝑥)

2) Applichiamo la legge di conservazione della carica elettrica su di un volumetto, otteniamo che 𝜌(𝑥)𝑢(𝑥)𝐴 = 𝜌(𝑥 + 𝑑𝑥)𝑢(𝑥 + 𝑑𝑥)𝐴

Per cui

𝐽 = 𝜌(𝑥)𝑢(𝑥) È una quantità conservata

3) La particella di massa 𝑚 sente una forza dovuta al campo elettrico 𝑞𝐸(𝑥) = −𝑞^𝜕𝑉_𝜕𝑥(𝑥). Scriviamo 𝐹 = 𝑚𝑎 stando attenti a cosa chiamiamo accelerazione: dobbiamo esprimere tutto come funzione di 𝑥.

Si ha 𝑢(𝑥) = 𝑢�𝑥(𝑡)� da cui 𝑎(𝑥) =_𝑑𝑡^𝑑𝑢(𝑥) =_𝑑𝑥^𝑑 𝑢(𝑥)^𝑑𝑥_𝑑𝑡 = 𝑢(𝑥)^𝑑𝑢_𝑑𝑥(𝑥). L’equazione è quindi

𝜆𝜕𝑉

𝜕𝑥(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑑𝑢 𝑑𝑥(𝑥) 4) Sostituendo si ottiene

𝛼 =4 3 𝐶 = 𝑉0

𝐿^4/3

Fotografie Relativistiche

Conoscenze richieste: contrazione di Lorentz

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1Assumiamo che la forza sia uguale nei due sistemi di riferimento, nel sistema K tale forza è una forza di Vogliamo osservare una sbarra in movimento attraverso una “macchina fotografica” (uno stenoscopio, ovvero una scatola buia con un piccolissimo foro da cui entra la luce). Il foro è posto nell’origine e guarda nella direzione dell’asse 𝑦. La sbarra viaggia sulla retta 𝑦 = 𝐷 a velocità 𝑣 costante nel verso positivo dell’asse 𝑥.

Le fotografie verranno effettuate aprendo il piccolo foro per brevissimi intervalli di tempo. Nella fotografia quando è ferma, la sbarra è lunga 𝐿. Tuttavia, la sbarra è invece in movimento e nella fotografia appare nella posizione 𝑥′.

1) Qual è l’attuale posizione 𝑥 della sbarra, in funzione di 𝑥^′, 𝐷, 𝐿, 𝑣 e della velocità della luce 𝑐 = 3 ∙ 10⁸𝑚/𝑠? (0.6 punti)