Problemi Pre-Ipho

Problemi Pre-Ipho

Particelle Instabili [120]

Parte I: Decadimenti nell’atmosfera [20]

Nella parte alta della nostra atmosfera arrivano continuamente raggi cosmici dallo spazio che, urtando le particelle presenti nella parte alta dell’atmosfera vanno a produrre particelle cariche negativamente chiamate muoni. Non entreremo nei dettagli di come vengono prodotte, ci basti sapere che tale particella ha la stessa carica dell’elettrone, e che ha una vita media 𝜏 e una massa 𝑚𝜇.

1. Sapendo che l’energia media che hanno i muoni prodotti è 𝐸, calcola la loro velocità in unità di 𝑐 (ovvero il rapporto 𝛽 = 𝑣/𝑐) [5]

2. Che frazione 𝑘 dei muoni prodotti vedrà arrivare un osservatore che sta sulla superficie terrestre?

Assumere che i muoni siano prodotti solo in uno strato sottilissimo nella parte alta dell’atmosfera, e che lo spessore atmosferico sia 𝑙. [15]

Parte II: Decadimento a due corpi [100]

Consideriamo adesso invece il decadimento di particelle non cariche elettricamente, i 𝜋0. Essi possono venire prodotti durante alcune reazioni negli acceleratori. Quando vengono prodotti, in genere non sono fermi ma hanno una certa energia cinetica iniziale (e quindi una velocità). Consideriamo quindi un pione neutro in moto lungo una certa direzione con una certa velocità. Chiamare l’energia del pione 𝐸. A un certo punto esso, essendo instabile, decadrà. Il decadimento più probabile e che considereremo qui è

𝜋0→ 𝛾𝛾 Ovvero in due fotoni. Indicare la massa del pione con 𝑚𝜋.

Per comodità indichiamo con 𝑥′ l’asse parallelo alla velocità del pione, e definiamo l’asse 𝑦′ in modo che i fotoni risultino essere nel piano 𝑥′𝑦′. Chiamiamo sistema 𝑥′𝑦′𝑧′ il sistema del laboratorio, e sistema 𝑥𝑦𝑧 ottenuto tramite una trasformazione di Lorentz lungo l’asse 𝑥′ il sistema del centro di massa.

3. Nel sistema del centro di massa del pione, trovare energie, impulsi e lunghezze d’onda dei due fotoni [5]

4. Passiamo ora al sistema del laboratorio, ovvero quello dove il pione era in moto. Trova le energie e le lunghezze d’onda dei fotoni in tale sistema [15]

5. Per stimare la separazione angolare nel sistema del laboratorio, calcola l’angolo fra di essi nel caso che vengano emessi in direzione perpendicolare alla velocità del pione [5]

6. Sia 𝜃 l’angolo fra l’asse 𝑥 (asse lungo cui viaggia il pione) e la direzione dell’impulso dei fotoni nel sistema del centro di massa, e 𝜃′ l’angolo fra l’asse 𝑥′ (parallelo a 𝑥) e la direzione dell’impulso dei fotoni nel sistema del laboratorio. Trovare la funzione [20]

𝜃^′= 𝑓(𝜃, 𝛽)

7. Se nel sistema del centro di massa il decadimento è isotropo, ovvero si osserva un flusso per unità di angolo solido costante

𝑑𝑁 𝑑𝑁

Quanto vale la distribuzione in funzione dell’energia nel sistema del laboratorio, ovvero [5]

𝑑𝑁

8. Ipotizziamo ora che la particella decada in due particelle con massa non nulla 𝑀 < 𝑚𝑑𝐸′ 𝜋/2. Trova il massimo angolo 𝜃𝑀𝐴𝑋′ osservabile nel sistema di riferimento del laboratorio. Per quali 𝑀 = 𝑓(𝑚, 𝐸) l’angolo può essere 𝜋? [25]

Supponiamo ora che il pione facesse parte di un fascio di particelle, dove erano presenti anche altre particelle dalla massa 𝑀𝑋 sconosciuta. Tale particella decade in due particelle massive di massa identica 𝑚_𝑦.

9. Mostrare che misurando le energie delle due particelle frutto del decadimento e i loro angoli rispetto alla direzione di volo del fascio è possibile ricostruire la massa della particella decaduta:

inoltre se si può misurare con precisione ottima gli angoli di decadimento, e con un errore dell’ 1%

le energie delle particelle decadute, stimare l’errore relativo sulla massa della particella incognita [15]

10. [FACOLTATIVA] Se nel sistema del centro di massa il decadimento è isotropo, ovvero si osserva un flusso per unità di angolo solido costante

𝑑𝑁 𝑑Ω =

𝑑𝑁

𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜙 = 𝐾 Quanto vale tale flusso nel sistema del laboratorio, ovvero

𝑑𝑁 𝑑Ω′ =

𝑑𝑁 𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃′)𝑑𝜙′

Per semplicità si può considerare il caso in cui i prodotti del decadimento hanno massa nulla [10]

Dati numerici

𝑚_𝜇= 105 𝑀𝑒𝑉 𝜏 = 2,2𝜇𝑠 𝐸 = 2,5 𝐺𝑒𝑉

𝑙 = 15𝐾𝑚 𝑐 = 2.99792 ∙ 10⁵𝑘𝑚/𝑠

Suggerimenti:

1. Serve la relazione fra energia, massa e impulso

2. La vita media di una particella è definita nel sistema nel quale è ferma

3. Energia e impulso si conservano. Per la lunghezza d’onda, è necessaria la relazione fra impulso e lunghezza d’onda per i fotoni

4. Usare le trasformazioni di Lorentz

5. La componente trasversa dell’impulso non varia 6. Usare le trasformazioni di Lorentz

7. Usare le trasformazioni di Lorentz per trovare la derivata dell’energia rispetto al coseno, la derivata del coseno rispetto all’energia è l’inverso della derivata così calcolata

8. Nel sistema del centro di massa le particelle sono emesse in direzioni uguali e verso opposto.

Quando applico la trasformazione di Lorentz può accadere che il verso diventi concorde?

9. Scriversi le relazioni per gli angoli per entrambe le particelle (che nel sistema del centro di massa sono back to back…), ricavare l’angolo nel sistema del centro di massa e sostituire nella

trasformazione di Lorentz per l’energia

10. Bisogna calcolare la derivata del coseno del nuovo angolo rispetto al coseno del vecchio, e invertire la formula…

L’atomo di idrogeno “semiclassico” [120]

Volendo studiare un atomo di idrogeno, le leggi della fisica classiche non son sufficienti, ed è necessario effettuare una trattazione quantistica. In questo problema cercheremo di semplificare il più possibile la parte quantistica, effettuando un approccio “semiclassico”

In meccanica quantistica, lo stato di una particella non è dato da una funzione che indica la sua posizione in funzione del tempo, ma piuttosto da una “densità di probabilità” Ψ(x, t), tale che la probabilità di trovare la particella in un certo volume 𝑉 al tempo 𝑡 è

𝑃(𝑉, 𝑡) = � 𝑑𝑉‖Ψ(x, t)‖²

𝑉

Se uno stato è “stabile”, ovvero non si tratta di uno stato che “decade”, tale funzione d’onda è possibile sceglierla indipendente dal tempo.

Nel caso dell’atomo di idrogeno, assumiamo il protone dotato di massa molto maggiore di quella dell’elettrone, cosi che possa essere considerato immobile, e l’elettrone sarà descritto da una funzione d’onda. Nello stato fondamentale, tale funzione d’onda è indipendente dal tempo e vale

Ψ(r) = C𝑒^{− 𝑟𝑟𝐵} Dove 𝐶 è una costante opportuna e 𝑟𝐵 è il raggio di Bohr

L’equazione che deve soddisfare la funzione d’onda è (in un opportuno sistema di unità di misura)

− ℏ² 2𝑚

1 𝑟

𝜕²

𝜕𝑟²�𝑟Ψ(r)� −𝑒²

𝑟 Ψ(r) = 𝐸Ψ(r) (dove 𝐸 è l’energia dello stato fondamentale dell’atomo).

1. Sapendo che l’equazione, in unità del sistema internazionale, è

− ℏ² 2𝑚

1 𝑟

𝜕²

𝜕𝑟²�𝑟Ψ(r)� − 𝑒²

4𝜋𝜀₀𝑟 Ψ(r) = 𝐸Ψ(r)

Determinare, da considerazioni dimensionali, 𝐸, 𝐶 ed 𝑟𝐵(nel primo sistema di unità di misura) [10]

2. Determinare 𝐸 ed 𝑟𝐵, risolvendo l’equazione (nel primo sistema di unità di misura) [5]

Lo stato gode di simmetria sferica, per cui 〈𝑥〉 = 0, 〈𝑝_𝑥〉 = 0 e il momento angolare è 𝐿 = 0. Assumendo che 〈Δ𝑥〉 = 𝑟_𝐵, classicamente si può immaginare che il moto sia kepleriano e avvenga su una circonferenza di raggio 𝑟𝐵 nel piano 𝑥𝑦, ed che è possibile associare una energia cinetica classica _2𝑚^𝑝2 data da

𝑝² 2𝑚 = −

ℏ² 2𝑚

1 𝑟

𝜕²

𝜕𝑟²�𝑟Ψ(r)��

𝑟=𝑟𝐵

/Ψ(𝑟_𝐵)

3. Determinare il momento angolare classico associato all’orbita in esame [10]

4. Verificare che la coppia di variabili semiclassiche (𝑥, 𝑝𝑥) verifica il principio di indeterminazione di Heisenberg [15]

5. Da cosa dipende 𝐶? Spiegare e determina tale costante (assumerla reale positiva) [10]

Interpretiamo ora la densità di probabilità come una densità di materia, per cui in un volume 𝑑𝑉 troviamo una frazione 𝑑𝑉‖Ψ(r)‖² di elettrone, e quindi una densità di carica

𝜌(𝑟) = −𝑒‖Ψ(r)‖² 6. Trovare il campo elettrico in tutto lo spazio [20]

7. Immaginiamo ora di voler mettere in orbita (stabile, circolare) un secondo elettrone attorno all’atomo, in modo che l’orbita abbia un momento angolare doppio rispetto alla precedente.

Assumendo che l’inserimento di un secondo elettrone non modifichi significativamente il sistema (ovvero la funzione d’onda, e quindi la distribuzione di carica) (di conseguenza, l’orbita deve essere a 𝑟 ≥ 2𝑟𝐵), dire se è possibile fare ciò (classicamente) [30]

8. Commentare il risultato del punto precedente, in particolare, nel caso in cui risulti possibile, dire le proprietà dell’orbita (raggio, periodo); nel caso in cui non risulti possibile, spiegare il perché [5]

9. Ripetere i due punti precedenti nel caso di atomo idrogenoide, cioè con un elettrone e 𝑍 > 1 protoni. [15]

Note:

� 𝑥^{∞ 𝑛}𝑒^−𝑥𝑑𝑥 = 𝑛!

0

� 𝑥^{𝑟 2}𝑒^−𝑥𝑑𝑥 = −𝑟²𝑒^−𝑟− 2𝑟𝑒^−𝑟− 2𝑒^−𝑟+ 2

0

� 𝑥𝑒^{𝑟 −𝑥}𝑑𝑥

0 = −𝑟𝑒^−𝑟− 𝑒^−𝑟+ 1

Suggerimenti:

1. Per passare da un sistema di unità all’altro, basta una semplice trasformazione….

2. L’equazione si intende risolta se si trova un’identità valida per ogni raggio 𝑟

3. Il momento angolare classico è quello dato risolvendo classicamente il problema del moto di una carica elementare negativa di massa 𝑚 attorno a una carica positiva elementare infinitamente massiva, e considerando poi il caso specifico di un’orbita di raggio 〈Δ𝑥〉 = 𝑟_𝐵

4. Il principio di Heisenberg dice che 〈Δ𝑥〉〈Δ𝑝〉 ≥^ℏ₂. Ricordarsi che 〈Δ𝑥〉 = �〈𝑥²〉 − 〈x〉² 5. La particella deve stare da qualche parte

6. Il problema gode di simmetria sferica e la carica è data da…

7. Oltre al potenziale elettrico bisogna considerare….

8. Che carica “vede” l’elettrone, se è abbastanza distante, come nel nostro caso?

9. Come cambia quanto detto al punto precedente? Ricordarsi che l’elettrone deve perturbare poco il sistema, quindi si può assumere 𝑟 > 2𝑟𝐵

Condensatore ad alte frequenze [90]

Parte I: Campi nel condensatore [50]

Consideriamo un condensatore piano con armature circolari di raggio 𝑅, distanti 𝑙.

1. Calcolare la capacità del condensatore nel caso sia attraversato da corrente continua [5]

Colleghiamo ora il condensatore a un circuito contenente un generatore di corrente alternata. In prima approssimazione si genera solo un campo elettrico, uniforme, come nel caso di corrente continua, solo che tale campo è variabile nel tempo. Sapendo che la corrente che lo attraversa è

𝐼₀(𝑡) = 𝐼̃₀𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑅𝑒[𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}]

2. Trovare il campo elettrico all’interno del condensatore, sempre trascurando il campo magnetico [5]

3. Considerando ora la soluzione per il campo elettrico trovata al punto precedente, trovare il campo magnetico [15]

Il campo magnetico al punto precedente è variabile e non uniforme: quindi genera un campo elettrico, e questo deve essere non uniforme. Da questo ragionamento capiamo che il campo elettrico trovato al punto 2 è solo una prima approssimazione del campo reale nel condensatore.

4. C’è un punto in cui non vi è alcuna correzione al campo elettrico, qual è? [5]

5. Trovare la correzione al campo elettrico calcolato al punto 2 dovuta al campo magnetico trovato al punto 3 [10]

Il nuovo campo elettrico calcolato (somma dei risultati dei punti 2 e 5) non è più compatibile col campo magnetico calcolato al punto 3, in particolare la correzione al campo elettrico calcolata al punto 5 implica una conseguente correzione del campo magnetico.

6. Calcolare tale correzione al campo magnetico [5]

Tale nuova correzione al campo magnetico implica una nuova correzione al campo elettrico, e così via all’infinito. Questo perché le equazioni di maxwell andrebbero risolte simultaneamente. Tuttavia in questo problema ci accontenteremo di una approssimazione e ci fermeremo alla seconda correzione del campo elettrico

7. Trovare tale seconda correzione al campo elettrico, dovuta alla correzione al campo magnetico trovata al punto 6 [5]

Parte II: Calcolo della capacità [40]

Visto in questa luce, un condensatore ad alte frequenze risulta essere un oggetto molto più complicato della consueta schematizzazione che si adotta generalmente. Vediamo di calcolare come varia la sua capacità in funzione della frequenza.

Per farlo useremo la consueta formula che definisce la capacità. Bisogna capire però cosa sono 𝑉 e 𝑄.

Come 𝑉 consideriamo la differenza di potenziale fra i punti sulle due armature ad 𝑟 = 0.

8. Calcola la differenza di potenziale 𝑉 [5]

Per il calcolo di 𝑄 invece ci sono meno dubbi teorici, essa è chiaramente definita una volta conosciuto il campo elettrico

9. Calcola la carica totale 𝑄 presente sull’armatura del condensatore, usando il campo elettrico approssimato trovato ai punti 2,5 e 7. [10]

10. Trova quindi la capacità del condensatore in funzione della frequenza: essa aumenta o diminuisce all’aumentare della frequenza? Nel rispondere a questa domanda, non scordarti che stai usando un’espressione approssimata e che stai quindi trascurando dei termini [15]

Si può dunque schematizzare il condensatore reale con un circuito equivalente dato dal parallelo di un condensatore, con capacità pari alla capacità a bassa frequenza, e di un altro condensatore o

un’induttanza (a seconda che la capacità aumenti o diminuisca).

11. Trovare il valore del secondo componente (della capacità o dell’induttanza a seconda della risultato ottenuto al punto 10). [5]

12. Si proceda ora a delle stime numeriche: che frequenza è necessario raggiungere affinché i contributi qui calcolati diventino rilevanti? [5]

𝑅 = 1𝑐𝑚 𝑐 = 3 ∙ 10⁸𝑚/𝑠

Suggerimenti:

1. Easy 2. Easy

3. Legge di maxwell sul flusso di E 4. Simmetria

5. Legge di maxwell sul flusso di B 6. Legge di maxwell sul flusso di E 7. Legge di maxwell sul flusso di B 8. Easy

9. Integrale

10. Provare a capire come continua la serie di contributi. Si può provare a disegnare il termine approssimato per piccoli valori della frequenza (avendo 3 termini lo sviluppo varrà fino a poco più del primo minimo/massimo)

11. Il tipo di componente dipende dal segno della variazione. Per le impedenze in parallelo valgono le stesse leggi che per le resistenze…

12. Easy

Fogli risposta

Particelle Instabili [120]

Parte I: Decadimenti nell’atmosfera [20]

1. Velocità 𝛽 =

2. Frazione 𝑘 =

Parte II: Decadimento a due corpi [100]

3. Risposte

𝐸 = 𝑝 = 𝜆 =

4. Risposte

𝐸′ = 𝜆′ =

5. Apertura angolare 𝑆𝑒𝑛𝜃′ =

6. Relazione fra gli angoli 𝜃′ =

7. Distribuzione in energia

𝑑𝑁 𝑑E′=

8. Angolo massimo

𝜃_𝑀𝐴𝑋^′ =

9. Massa incognita ed errore relativo

𝑀_𝑋 = ^∆𝑀_𝑀𝑋^𝑋=

10. Distribuzioni Angolari

𝑑𝑁 𝑑Ω′=

L’atomo di idrogeno “semiclassico” [120]

11. Risposte

𝐸 = 𝐶 = 𝑟𝐵 =

12. Risposte

𝐸 = 𝑟𝐵 =

13. Momento angolare

𝐿 =

1. Dimostrazione

2. Discussione su 𝐶

3. Campo elettrico

𝐸 =

4. Discussione

5. Commento

6. Caso atomo idrogenoide

Condensatori ad alte frequenze [90]

Parte I: Campi nel condensatore [50]

1. Capacità 𝐶 =

2. Campo elettrico 𝐸0=

3. Campo magnetico 𝐵₁=

4. Discussione

5. Campo elettrico 𝐸₂=

6. Campo magnetico 𝐵₃=

7. Campo elettrico 𝐸₄=

Parte II: Calcolo della capacità [40]

8. Differenza di potenziale 𝑉 =

9. Carica 𝑄 =

10. Discussione

11. Valore capacità o induttanza 𝑋 =

12. Ordine di grandezza della frequenza 𝑓 =

Soluzioni

Particelle instabili [120]

Parte I: Decadimenti nell’atmosfera [20]

1. Uso la relazione

𝐸 = 𝛾𝑚_𝜇 Da cui

�1 − 𝛽²=1 𝛾 =

𝑚𝜇𝑐² 𝐸

𝛽 = �1 − �𝑚𝜇𝑐² 𝐸 �

2

Numericamente

𝛽 ≅ 0,999

2. La vita media è definita nel sistema in cui la particella è a riposo, quindi per prima cosa calcolo quanto vale nel sistema di riferimento in cui vedo la particella in moto:

𝑡^′ = 𝛾𝜏 La distanza mediamente percorsa sarà allora

𝑑 = 𝑐𝛽𝛾𝜏

E la frazione richiesta (usando la legge del decadimento esponenziale) è 𝑒^−ℎ/𝑑= 𝑒^{−ℎ/(𝑐𝛽𝛾𝜏)} ≅ 0.385

Parte II: Decadimento a due corpi [100]

3. Energia e impulso si conservano, quindi

𝐸1+ 𝐸2= 𝑚𝜋

𝑝⃗₁+ 𝑝⃗₂= 0

A queste equazioni dobbiamo aggiungere le relazioni energia-impulso 𝐸₁²− 𝑝₁²𝑐²= 𝑚₁²𝑐⁴= 0 𝐸₂²− 𝑝₂²𝑐²= 𝑚₂²𝑐⁴= 0 Risolvendo si trova

𝐸₁= 𝐸₂= 𝑝₁𝑐 = 𝑝₂𝑐 =𝑚_𝜋 2 𝑐²

E che gli impulsi hanno stessa direzione e verso opposto.

Per le lunghezze d’onda si usa la relazione

𝐸1,2 = ℏ𝜔1,2= ℏ𝑐𝑘1,2 = ℎ𝑐 𝜆_1,2 Da cui

𝜆_1,2= ℎ𝑐

𝐸1,2 = 2ℎ 𝑚𝜋𝑐

4. Bisogna effettuare le trasformazioni di Lorentz al nuovo sistema di riferimento 𝐸₁^′ = 𝛾𝑚𝜋

2 𝑐²(1 + 𝛽𝐶𝑜𝑠𝜃) 5. L’impulso trasverso rimane invariato

𝑝_1𝑦^′ =𝑚_𝜋 2 𝑐𝑆𝑒𝑛𝜃 E si trova

𝑆𝑒𝑛𝜃^′ =𝑝_1𝑦^′ 𝐸₁^′ �

𝜃=𝜋2

= 𝑚_𝜋

2 𝑐 𝛾 𝑚2 𝑐^{𝜋 2}

=1 𝛾 6. Bisogna trasformare anche gli impulsi

𝑝_1𝑥^′ = 𝛾𝑚_𝜋

2 𝑐(𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽) Da cui si trova

𝑇𝑎𝑛𝜃^′= 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝛾(𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽) 𝜃^′ = 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛 � 𝑆𝑒𝑛𝜃

𝛾(𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽)� 7. Si ha

𝑑𝐽

𝑑𝐸′ =� 𝑑𝜙 𝑑𝐽

𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜙�𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃) 𝑑𝐸′ � Dalle trasformazioni si ricava

𝑑𝐸

𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃) = 𝛽𝛾 𝑚_𝜋

2 𝑐² Quindi

𝑑𝐽

𝑑𝐸′ =� 𝑑𝜙𝐾 1

𝛽𝛾 𝑚^{𝜋 2} = 4𝜋𝐾 𝛽𝛾𝑚_𝜋𝑐²

Ovvero è costante e indipendente dall’energia.

8. Troviamo quando le particelle che nel sistema del centro di massa hanno velocità in direzione opposta a quella del pione risultano andare in avanti nel sistema del laboratorio

𝑝_1𝑥^′ = 𝛾𝑚𝜋

2 𝑐 �−�1 −4𝑀²

𝑚_𝜋² + 𝛽� > 0

�1 −𝑚_𝜋²𝑐⁴

𝐸² > �1 −4𝑀² 𝑚_𝜋² 𝑐⁴𝑚𝜋4 < 4𝑀²𝐸²

Se tale condizione non è soddisfatta è sempre possibile avere 𝜃𝑀𝐴𝑋′ = 𝜋.

Un metodo per trovare il massimo angolo è fare la derivata della tangente e porla uguale a zero, trovare l’angolo nel sistema del centro di massa che porta al massimo, e sostituire tale valore nella formula della tangente.

Il valore dell’angolo nel sistema del centro di massa per cui si ha il massimo risulta

𝐶𝑜𝑠𝜃 = −

�1 − 4𝑀𝑚_𝜋²²

�1 − 𝑚^𝜋2𝑐⁴ 𝐸² Sostituendo si trova

𝑇𝑎𝑛𝜃_𝑀𝐴𝑋^′ =

�1 − 4𝑀𝑚_𝜋²²

�4𝑀²𝐸² 𝑚_𝜋⁴𝑐⁴ − 1 Un altro sistema è il seguente:

Nel sistema del centro di massa gli impulsi soddisfano

𝑝_𝑥²+ 𝑝_𝑦²= (𝑚_𝜋²/4 − 𝑀²)𝑐²

Quindi, al variare dell’angolo, stanno su una circonferenza. Applicando il boost agli impulsi la relazione diventa

��𝑝′_𝑥

𝛾 − 𝛽𝑚^𝜋𝑐/2��

2

+ �𝑝′_𝑦�²= (𝑚_𝜋²/4 − 𝑀²)𝑐²

Che è un ellisse con il centro non più nell’origine. Se L’origine sta dentro l’ellisse sarà sempre possibile trovare un angolo tale che 𝜃^′ = 𝜋 (in particolare, esso sarà proprio 𝜃 = 𝜋) e un angolo tale che 𝜃^′= 0 (in particolare, esso sarà proprio 𝜃 = 0).

Il centro dell’ellisse è in

𝑝^′_𝑥 = 𝛾𝛽𝑚_𝜋𝑐 2 = −

𝐸𝑐

2 �1 − 𝑚𝜋2/𝐸² 𝑝^′_𝑦= 0

I semiassi sono

𝑎𝑥 = 𝛾�𝑚𝜋2/4 − 𝑀²𝑐 = 𝐸

𝑚_𝜋𝑐�𝑚𝜋2/4 − 𝑀²

𝑎_𝑦= 𝑐�𝑚_𝜋²/4 − 𝑀² Si hanno punti con 𝑝^′_𝑥 < 0 se

𝐸𝑐

2 �1 − 𝑚𝜋2/𝐸²< 𝑎_𝑥 = 𝐸

𝑚_𝜋𝑐�𝑚𝜋2/4 − 𝑀² Che porta alla condizione vista in precedenza.

Altrimenti l’ellisse non contiene l’origine, e il massimo angolo si trova cercando la retta tangente passante per l’origine

𝑝^′_𝑦= 𝑇𝑎𝑛𝜃′𝑝^′_𝑥

La tangente si trova imponendo che il discriminante dell’equazione di secondo grado sia nullo

��𝑝′_𝑥

𝛾 − 𝛽𝑚^𝜋𝑐/2��

2

+ �𝑇𝑎𝑛𝜃_𝑀𝐴𝑋^′ 𝑝^′_𝑥�²= (𝑚𝜋2/4 − 𝑀²)𝑐² Si trova nuovamente

𝑇𝑎𝑛𝜃_𝑀𝐴𝑋^′ =

�1 − 4𝑀𝑚_𝜋²²

�4𝑀²𝐸² 𝑚_𝜋⁴𝑐⁴ − 1 9. Definiamo

𝛽^′ = �1 −4𝑀² 𝑚_𝜋² Allora

𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′ = 𝛽^′𝑆𝑒𝑛𝜃 𝛾(𝛽^′𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽) 𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ = −𝛽^′𝑆𝑒𝑛𝜃

𝛾(−𝛽^′𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝛽) 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 𝛽

𝛽^′

𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ + 𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′ 𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ − 𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′

𝐸₁^′ = 𝛾𝑀𝑋

2 𝑐²(1 − 𝛽^′𝛽𝐶𝑜𝑠𝜃) = 𝛾𝑀𝑋

2 𝑐²�1 − 𝛽²𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ + 𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′ 𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ − 𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′�

𝑀_𝑋 = 2𝐸₁^′

𝛾𝑐²�1 − 𝛽²𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ + 𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′ 𝑇𝑎𝑛𝜃₂^′ − 𝑇𝑎𝑛𝜃₁^′� 10. L’errore relativo su 𝑀𝑋 è pari all’errore relativo su 𝐸₁^′, cioè l’1%

11. Si trova

𝑑𝐽 𝑑Ω′ =

𝑑𝐽

𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃′)𝑑𝜙′ =

𝑑𝐽 𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃)𝑑𝜙

𝑑𝜙 𝑑𝜙′

𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃^′)

Lungo la direzione trasversale non c’è boost e nulla cambia 𝑑𝜙

𝑑𝜙′ = 1 Bisogna calcolare

𝑑𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐶𝑜𝑠(𝜃^′) Conviene trovare

𝐶𝑜𝑠(𝜃^′) = 𝑔(𝐶𝑜𝑠(𝜃^′)) Derivare tale funzione, e prenderne l’inverso

𝐶𝑜𝑠(𝜃^′) = 1

�1 + � 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝛾(𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝛽)�

2= 1

�1 + 1 − 𝐶𝑜𝑠²𝜃 𝛾²(𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝛽)² Quindi

𝑔(𝑥) = 1

�1 + 1 − 𝑥𝛾²(𝑥 − 𝛽)^{2 2}

𝑔′(𝑥) = 𝛽𝑥 − 1

𝛾²(𝛽 − 𝑥)³�1 + 1 − 𝑥𝛾²(𝑥 − 𝛽)^{2 2}�^3/2

𝑑𝐽 𝑑Ω′ = 𝐾

𝛾²(𝛽 − 𝐶𝑜𝑠𝜃)³�1 + 1 − 𝐶𝑜𝑠²𝜃 𝛾²(𝐶𝑜𝑠𝜃 − 𝛽)²�^3/2 𝛽𝐶𝑜𝑠𝜃 − 1

Ora è necessario scrivere tutto in funzione del nuovo angolo. Si ottiene 𝑑𝐽

𝑑Ω′ =

𝐾

𝛾²(1 − 𝛽𝐶𝑜𝑠𝜃^′)²

L’atomo di idrogeno “semiclassico” [120]

1. Basta ridefinire la carica:

𝑒²

4𝜋𝜀₀= 𝑒′² E si trova

𝑟_𝐵= ℏ² 𝑚𝑒² 𝐸 =𝑒²

𝑟_𝐵 𝐶 = 1 𝑟𝐵 32

2. Imponendo che l’equazione sia risolta per ogni valore della variabile 𝑟, si trova

𝑟𝐵= ℏ² 𝑚𝑒² 𝐸 = − 𝑒² 2𝑟𝐵

3. Usando le equazioni classiche

𝐹 = −𝑒²

𝑟²= −𝑚𝑟𝜔² Da cui

𝜔 = � 𝑒² 𝑚𝑟³

𝐿 = 𝐼𝜔 = 𝑚𝑟²� 𝑒²

𝑚𝑟³ = �𝑒²𝑚𝑟

𝐿(𝑟_𝐵) = �𝑒²𝑚 ℏ² 𝑚𝑒² = ℏ 4. Poiché

〈𝑝〉 = 0

〈∆𝑝_𝑥〉 = �〈𝑝_𝑥²〉 − 〈𝑝_𝑥〉²= �〈𝑝_𝑥²〉 L’energia cinetica media è

〈𝑝²

2𝑚〉 =〈∆𝑝〉² 2𝑚 =

− ℏ2𝑚² 1 𝑟 𝜕²

𝜕𝑟²�𝑟Ψ(r)��

𝑟=𝑟_𝐵

Ψ(𝑟_𝐵) = 𝐸 +𝑒² 𝑟_𝐵 = 𝑒²

2𝑟_𝐵 =〈𝑝_𝑥²〉 2𝑚 +

〈𝑝_𝑦²〉 2𝑚 =

〈𝑝_𝑥²〉 𝑚 Da cui

〈∆𝑝𝑥〉²=𝑚𝑒² 2𝑟_𝐵 = ℏ²

2𝑟_𝐵²

〈∆𝑝〉 = ℏ

√2𝑟𝐵

〈∆𝑝〉〈∆𝑟〉 = ℏ

√2>ℏ 2

5. La probabilità di trovare l’elettrone da qualche parte nello spazio deve essere 1, quindi

1 = � 𝑑𝑉‖Ψ(x, t)‖²

ℝ³

= 4𝜋𝐶²� 𝑑𝑟𝑟²𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}

∞ 0

=𝜋𝐶²𝑟𝐵3

2 � 𝑥^{∞ 2}𝑒^−𝑥𝑑𝑥

0 = 𝜋𝐶²𝑟_𝐵³

𝐶 = 1

�𝜋𝑟_𝐵³

6. Per il teorema di Gauss (godendo il problema di simmetria sferica)

𝐸𝑟² = 𝑄_𝑖𝑛𝑡 = 𝑒 �1 − 4

𝑟𝐵3� 𝑑𝑟𝑟²𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}

𝑟 0

� = 𝑒 �1 + 2 𝑟

𝑟𝐵+ 2 𝑟²

𝑟𝐵2� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}

𝐸 =�1 + 2 𝑟𝑟𝐵+ 2 𝑟𝑟_𝐵²²� 𝑟² 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵} 7. Con calcoli analoghi al punto 3, troviamo

𝐿 = �𝐸𝑚𝑟³= �𝑒²�1 + 2 𝑟

𝑟𝐵+ 2 𝑟²

𝑟𝐵2� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}𝑚𝑟 = 2ℏ

𝑒²�1 + 2 𝑟

𝑟𝐵+ 2 𝑟²

𝑟𝐵2� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}𝑚𝑟 = 4ℏ²

𝑒²�1 + 2 𝑟

𝑟𝐵+ 2 𝑟²

𝑟𝐵2� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}𝑚𝑟 = 𝑒²�1 + 2 𝑟

𝑟𝐵+ 2 𝑟²

𝑟𝐵2� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}𝑚2𝑟 𝑟𝐵

𝑟_𝐵 2

= �1 + 2 𝑟

𝑟_𝐵+ 2 𝑟²

𝑟_𝐵²� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}2𝑟 𝑟_𝐵

ℏ² 2 = 4ℏ² Da cui

�1 + 2 𝑟

𝑟_𝐵+ 2 𝑟²

𝑟_𝐵²� 𝑒^{−2 𝑟𝑟𝐵}2𝑟 𝑟_𝐵 = 8

Chiamiamo 𝑥 la variabile adimensionale ^2𝑟_𝑟𝐵 e vediamo se l’equazione può essere soddisfatta

𝑥 �1 + 𝑥 +𝑥²

2 � 𝑒^−𝑥 = �𝑥 + 𝑥²+𝑥³

2 � 𝑒^−𝑥= 8

Il modo più veloce per vedere che non esistono soluzioni è usare i massimi delle funzioni 𝑥^𝑛𝑒^−𝑥 𝑥^𝑛𝑒^−𝑥 ≤ 𝑛^𝑛𝑒^−𝑛

Da cui

8 = �𝑥 + 𝑥²+𝑥³

2 � 𝑒^−𝑥≤1 𝑒 +

4 𝑒²+ 27

2𝑒³<1 2 + 1 +

27 16 =

51 16 Che è chiaramente impossibile.

8. La carica è schermata, di conseguenza l’attrazione non è sufficiente a tenere in orbita una seconda carica con momento angolare così elevato (il potenziale efficace è monotono decrescente)

9. L’equazione che si ottiene stavolta è

�𝑥 + 𝑥²+𝑥³

2 � 𝑒^−𝑥+ 2(𝑍 − 1)𝑥 = 8

Il termine monotono crescente in x assicura l’esistenza di soluzioni per ogni 𝑍 > 1. Tuttavia già per 𝑍 = 2 si trova 𝑥 < 4, per cui l’assunzione che l’elettrone perturbi poco il sistema cade. Infatti espandendo attorno a 𝑥 = 4 al primo ordine

𝑥 = 4 + 𝑦 Si ottiene (ponendo 𝑒⁴~54)

𝑦 = −54 89 < 0 Il secondo ordine risulta trascurabile ai fini della negatività di 𝑦.

Condensatori ad alte frequenze [90]

1. Quando è collegato a un generatore di corrente continua il condensatore si carica fino a che non viene a crearsi ai suoi capi una differenza di potenziale 𝑉 pari alla 𝑓𝑒𝑚 del generatore. Trascurando gli effetti di bordo, per simmetria il campo elettrico è perpendicolare alle armature e costante all’interno del condensatore, ed è pari al campo generato da due lastre infinite uniformemente cariche.

𝐸�⃑ = 𝜎 𝜀0𝑧̂

𝑉 = −𝜎 𝜀0𝑙 Dove 𝑙 è la distanza fra le armature del condensatore.

La carica contenuta sulle armature è

𝑄0= 𝜎𝐴 Da cui si ricava

𝐶 = 𝐶₀=𝑄 𝑉 = 𝜀⁰

𝐴 𝑙 = 𝜀⁰

𝜋𝑅² 𝑙 2. Sapendo che la corrente che lo attraversa è

𝐼0(𝑡) = 𝐼̃₀𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 𝑅𝑒[𝐼̃0𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}] Lavoriamo alla rovescia rispetto a prima:

Troviamo la 𝑑𝑑𝑝 ai suoi capi:

𝑉0=𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡} 𝑖𝜔𝐶 = −

𝜎 𝜀0𝑙 Da cui

𝐸�⃑0= 𝜎

𝜀₀𝑧̂ = −𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡} 𝑖𝜔𝐶𝑙 𝑧̂ = 𝑖

𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡} 𝜔𝐶𝑙 𝑧̂ →

𝐼̃₀

𝜔𝐶𝑙 𝑆𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑧̂

3. Considero ora come superficie che abbia come bordo una circonferenza con il centro coincidente con l’asse del condensatore. Per simmetria, 𝐵 potrà avere componente solo lungo 𝜃�. Quindi applicando la legge della corrente di spostamento

� 𝐵�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = 2𝜋𝑟𝐵 = 1 𝑐²

𝑑

𝑑𝑡 Φ^𝐸 = 1 𝑐²

𝑑

𝑑𝑡(𝜋𝑟²𝐸) =𝜋𝑟² 𝑐²

𝑑𝐸 𝑑𝑡 Quindi

𝐵�⃑₁= 𝑟 2𝑐²

𝑑𝐸

𝑑𝑡 𝜃� = 𝑟2𝑐²

𝐼̃0𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}

𝐶𝑙 𝜃� → 𝑟2𝑐² 𝐼̃0

𝐶𝑙 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝜃�

4. Per simmetria, sono i punti che stanno sull’asse del condensatore

5. Consideriamo ora un’altra superficie gaussiana (stavolta aperta), il cui bordo ha forma rettangolare, un lato sta sull’asse del condensatore, uno sta a distanza 𝑟, e gli altri due sono paralleli a una armatura. La circuitazione del campo elettrico su tale curva è

� 𝐸�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = ��𝐸�⃑0+ 𝐸�⃑2� ∙ 𝑑𝑙⃑

Dove 𝐸�⃑2 è la nuova correzione. I lati paralleli alle armature non contribuiscono, perché il campo elettrico è ortogonale ad esse per simmetria. Inoltre sull’asse la correzione è nulla, e la correzione è uniforme su 𝑧 sempre per simmetria, per cui

� 𝐸�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = ��𝐸�⃑0+ 𝐸�⃑₂� ∙ 𝑑𝑙⃑ = � 𝐸�⃑0∙ 𝑑𝑙⃑ + 𝐸₂𝑙 = 𝐸₂𝑙

In quanto il primo campo aveva circuitazione nulla essendo costante. Applica ora la legge di Faraday

� 𝐸�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = 𝐸2𝑙 = − 𝑑

𝑑𝑡 Φ^𝐵= 𝑑

𝑑𝑡 �� 𝐵�⃑1∙ 𝑑𝐴⃑� = −𝑖𝜔𝑙 𝑟² 4𝑐²

𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡} 𝐶𝑙

Il meno al flusso scompare essendo campo e orientazione della superficie discordi. Per cui

𝐸�⃑₂= −𝑖𝜔 𝑟² 4𝑐²

𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}

𝐶𝑙 𝑧̂ → −𝜔 𝑟² 4𝑐²

𝐼̃₀

𝐶𝑙 𝑆𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑧̂

6. Di nuovo

� 𝐵�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = ��𝐵�⃑1+ 𝐵�⃑₃� ∙ 𝑑𝑙⃑ = � 𝐵�⃑1∙ 𝑑𝑙⃑ + � 𝐵�⃑₃∙ 𝑑𝑙⃑ = 1 𝑐²

𝑑

𝑑𝑡 Φ^𝐸 =𝜋𝑟² 𝑐²

𝑑𝐸₀ 𝑑𝑡 +

1 𝑐²

𝑑

𝑑𝑡� 𝐸�⃑2∙ 𝑑𝐴⃑

Ma per quanto fatto prima

� 𝐵�⃑1∙ 𝑑𝑙⃑ =𝜋𝑟² 𝑐²

𝑑𝐸₀ 𝑑𝑡 Quindi

� 𝐵�⃑3∙ 𝑑𝑙⃑ = 2𝜋𝑟𝐵₃ = 1 𝑐²

𝑑

𝑑𝑡� 𝐸�⃑2∙ 𝑑𝐴⃑ = −2𝜋 𝑐²𝜔² 𝑟⁴

16𝑐²

𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡} 𝐶𝑙 𝐵�⃑3= −𝜔² 𝑟³

16𝑐⁴

𝐼̃₀𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}

𝐶𝑙 𝜃� → −𝜔² 𝑟³ 16𝑐⁴

𝐼̃₀

𝐶𝑙 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝜃�

7. Ancora

� 𝐸�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = ��𝐸�⃑0+ 𝐸�⃑₂+ 𝐸�⃑₄� ∙ 𝑑𝑙⃑ = � 𝐸�⃑0∙ 𝑑𝑙⃑ + � 𝐸�⃑₂∙ 𝑑𝑙⃑ + 𝐸₄𝑙 = � 𝐸�⃑₂∙ 𝑑𝑙⃑ + 𝐸₄𝑙

� 𝐸�⃑ ∙ 𝑑𝑙⃑ = � 𝐸�⃑2∙ 𝑑𝑙⃑ + 𝐸4𝑙 = − 𝑑

𝑑𝑡 Φ^𝐵= − 𝑑

𝑑𝑡 Φ^𝐵1+ 𝑑

𝑑𝑡(𝑙𝑟𝐵3) = − 𝑑

𝑑𝑡 Φ^𝐵1+ 𝑑

𝑑𝑡 �� 𝐵�⃑3∙ 𝑑𝐴⃑�

Ma per quanto fatto prima

� 𝐸�⃑2∙ 𝑑𝑙⃑ = − 𝑑 𝑑𝑡 Φ^𝐵1