Stage di La Spezia – Disuguaglianze

Stage di La Spezia – Disuguaglianze

Esercizi Disuguaglianze

1. **𝑎, 𝑏 > 0 ^𝑎 _𝑎+𝑏

^+𝑏

≥ ^𝑎+𝑏 ₂

2. ***𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 ^𝑎 _𝑎

^+𝑏 _+𝑏

^+𝑐 _+𝑐

≥ ^{𝑎+𝑏+𝑐} ₃ 3. *Trova il minimo valore di 𝑥 + _𝑥 ⁵ 4. ** _√𝑥 ^𝑥

⁺² ₊₁ ≥ 2

5. **𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0 (𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≥ 8𝑎𝑏𝑐

6. **Se 𝑎 _𝑖 > 0 e 𝑎 ₁ ∗ … ∗ 𝑎 _𝑛 = 1 allora (1 + 𝑎 ₁ ) ∗ … ∗ (1 + 𝑎 _𝑛 ) ≥ 2 ^𝑛 7. **𝑎 ² + 𝑏 ² + 𝑐 ² ≥ 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

8. ***Trova il massimo di 𝑥 ³ 𝑦 ² 𝑧 col vincolo 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 9. ***Trova il massimo di 𝑥𝑦𝑧 col vincolo 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

10. ***Due triangoli hanno lati a,b,c e A,B,C. Prova che sono simili se e solo se √𝑎𝐴 + √𝑏𝐵 + √𝑐𝐶 =

�(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)

11. *Trova il minimo valore di 𝑥 ² − 8𝑥𝑦 + 19𝑦 ² − 6𝑦 + 14 12. *Trova il minimo valore di 𝑥 ² + 6𝑥𝑦 + 13𝑦 ² + 4𝑥 + 18𝑦 + 4

13. ***Siano a,b,c i lati di un triangolo, prova che _{𝑏+𝑐−𝑎} ^𝑎 + _{𝑐+𝑎−𝑏} ^𝑏 + _{𝑎+𝑏−𝑐} ^𝑐 ≥ 3

14. **(1 + 𝑎 + 𝑎 ² + a ³ ) ² ≤ 4(1 + 𝑎 ² + 𝑎 ⁴ + a ⁶ )

Stage di La Spezia – Disuguaglianze

Soluzioni Esercizi Disuguaglianze

1. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏 > 0 ci si riconduce ad AM-GM

2. Sfruttando l’ipotesi 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 ci si riconduce a disuguaglianza di riarrangiamento oppure si divide in 3 pezzi riconducibili alla disuguaglianza fondamentale

3. AM-GM, 2√5

4. AM-GM come prima 5. AM-GM

6. AM-GM

7. Divido in 3 e disuguaglianza fondamentale, oppure riarrangiamento 8. _2∗6 ¹

9. _2∗3 ¹

10. Capire il verso della disuguaglianza quando i triangoli non sono simili, applicare Cauchy- Schwarz e una sostituzione

11. 11 12. -9

13. Sostituzione + AM-GM

14. Svolgere e riarrangiamento oppure spezzettare e disuguaglianza fondamentale