I RAPPORTI E LE PROPORZIONI

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I RAPPORTI E LE PROPORZIONI

Il RAPPORTO è la divisione tra due grandezze.

Tali grandezze possono essere:

- omogenee (stessa unità di misura) - non originano una nuova grandezza, ma rappresentano una scala di ingrandimento e di riduzione.

Es: le cartine geografiche possono essere lette rapportando i cm sulla carta a quella della realtà.

- non omogenee (unità di misura diverse) - danno origine ad una nuova grandezza che ha come unità di misura il rapporto delle due precedenti

Es: la velocità è data dal rapporto di spazio e tempo e l’unità di misura è il m/s La PROPORZIONE è un’uguaglianza tra due rapporti.

PROPRIETÀFONDAMENTALE^DELLEPROPORZIONI:

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

Da questa proprietà ne derivano altre, inoltre tale proprietà permette il calcolo del termine incognito:

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE SEMPLICE AD UN TERMINE INCOGNITO

Per calcolare il termine mancante si deve applicare ma proprietà fondamentale moltiplicando i due medi (o i due estremi) solo se entrambi noti e dividere per il compagno medio (o estremo) incognito.

ES: ho un estremo incognito: moltiplico i due medi noti e divido per l’unico estremo che ho a disposizione

PROPRIETA’^DELLEPROPORZIONI:

Applicando tali proprietà ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà fondamentale è verificata.

1. Proprietà dell’invertire

Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà fondamentale è verificata:

Es 35 :15 = 7 : 3 15 : 35= 3 : 7

0,5 : 0,3 = 1,3 : x 5

9:3 9=13−1

9 : x 5

9:1 3=12

9: x 5

9:1 3= 4

3: x

x= 1 3×4

53 9

= 4 9:5

9= 4 9×9

5= 4 5

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2. Proprietà del permutare

Scambiando tra loro i medi o gli estremi o i medi e gli estremi simultaneamente ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà:

Es:

35 :15 = 7 : 3

35 : 7 = 15 : 3

solo i medi Es:

35 :15 = 7 : 3

3 :15 = 7 : 35

solo gli estremi Es:

35 :15 = 7 : 3

3 : 7 = 15 : 35

estremi e medi insieme

3. Proprietà del comporre

La somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

Es:

35 :15= 7 : 3

(35+ 7) :(15 + 3) = 35 :15 (35+ 7) :(15 + 3) = 7 : 3

4. Proprietà dello scomporre

La differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

Es:

35 :15= 7 : 3

(35− 7) :(15 − 3) = 35 :15 (35− 7) :(15 − 3) = 7 : 3

METODI DI RISOLUZIONEPARTICOLARI

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE CONTINUA

Una proporzione continua è una proporzione che ha i medi uguali.

Per tale motivo non si parla di medi ma di un unico medio detto:

MEDIO PROPORZIONALE.

Si applicano le proprietà fino ad ottenere le incognite al medio proporzionale.

La proporzione si risolve facendo il prodotto degli estremi noti e calcolando la radice di tale prodotto.

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE COMPOSTA AD UN TERMINE INCOGNITO

Lo scopo è portare, applicando le varie proprietà, la parentesi con l’incognita al primo antecedente e l’incognita da sola al primo conseguente.

Possiamo poi avere due casi distinti:

1. La sottrazione dell’incognita nella parentesi

prop.inveritre

prop. COMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si elimina l’incognita nella parentesi)

1+4 5

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ : x = x : 21 20×7

3

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 9

5

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ : x = x : 49 20

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ x²= 9

5×49 20 x= 441

100 = 21 10

x : 30− x

( )

^{= 18 : 2}

30− x

( )

^{: x}= 2 :18 30− x + x

( )

^{: x}^{= 2+18}

( )

^:18

30 : x= 20 :18 x= 30×18

20 = 27

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2. La somma dell’incognita nella parentesi prop.inveritre

prop. SCOMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si elimina l’incognita nella parentesi)

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE A DUE INCOGNITE

Lo scopo è portare, applicando le varie proprietà, la parentesi con le due incognite al primo antecedente e una delle due incognite da sola al primo conseguente.

Possiamo poi avere due casi distinti:

1. La sottrazione delle incognite

con (x − y) = 72

prop. SCOMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si ottiene la sottrazione delle due incognite nella parentesi, sostituibile con il valore numerico)

la seconda incognita la ricavo dalla sottrazione di partenza o applicando un’altra proporzione

2. La somma delle incognite

con (x + y) =

prop. COMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si ottiene la sottrazione delle due incognite nella parentesi, sostituibile con il valore numerico)

la seconda incognita la ricavo dalla somma di partenza o applicando un’altra proporzione

PROBLEMI RISOLVIBILI CON LE PROPORZIONI

Due angoli sono complementari e uno è i 3/2 dell’altro. Calcola l’ampiezza dei due angoli.

(questo vuol dire che il loro rapporto è 3 a 2, o meglio 3:2)

con (x + y) = 90°

CATENA DI RAPPORTI

Se ho tre rapporti in uguaglianza, posso creare una proporzione associando i rapporti a 2 a 2. Posso inoltre applicare la proprietà del comporre con tutti gli antecedenti ed i conseguenti

Es: Tre taniche contengono complessivamente 48 litri e sono rapportate ai numeri 3, 4 e 5. Quanto contiene ciascuna?

x : x

(

+10

)

^{= 5 : 30}

x+10

( )

^{: x}^{= 30 : 5}

10+ x − x

( )

^{: x}^{= 30− 5}

( )

^{: 5}

10 : x= 25 : 5 x=10× 5

25 = 2

x : y= 46 :10 x− y

( )

^{: y}^{= 46 −10}

( )

^:10

72 : y= 36 :10 y=72×10

36 = 20

x : y= 24 : 27 x+ y

( )

^{: y}^{= 24 + 27}

( )

^{: 27}

51

8 : y= 51 : 27

y= 51

8× 27 51 = 51

8 × 27× 1 51= 27

8

51 8

x= 51 8 −27

8 = 24 8 = 3 x= 72+ 20 = 92

x : y

= 3 : 2

x

+ y

( ) ^{: y} ^{= 3+ 2} ( ) ^{: 2}

90 : y = 5 : 2

y

= 90× 2

5 = 36°

x

= 90− 36 = 54°

a : b= c : d = e : f a : b= c : d a : b= e : f c : d= e : f

(a+ c + e) :(b + d + f ) = a :b (a+ c + e) :(b + d + f ) = c : d

(a+ c + e) :(b + d + f ) = e : f ^{x : 3}= y : 4 = z : 5

(x+ y + z) :(3 + 4 + 5) = x : 3 48 :12= x : 3

x=48⋅ 3 12 = 12

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