3:2=32=1,5

I RAPPORTI E LE PROPORZIONI

1. Il RAPPORTO è il quoziente tra due grandezze. Può essere espresso attraverso una divisione, una frazione o un numero decimale

Es:

3 : 2 = 3

2 = 1, 5

Il primo numero è detto ANTECEDENTE (3) e il secondo numero è detto CONSEGUENTE (2), il sibolo di divisione si pronuncia STA’

Il RAPPORTO INVERSO si ottiene dall’inversione dell’antecedente con il conseguente.

Es: 2 : 3 =2 3= 0, 6

TEOREMA DEL RAPPORTO: si può moltiplicare o dividere una stessa quantità all’antecedente e al conseguente, e il valore del rapporto non cambia

Es: 3 : 4 = (3 x 2) : (4 x 2) = 0,75 Le grandezze che formano il rapporto possono essere:

- omogenee (stessa unità di misura) - non originano una nuova grandezza ma un numero puro. Rappresentano una scala di ingrandimento e di riduzione.

Es: le cartine geografiche possono essere lette rapportando i cm sulla carta a quella della realtà.

- non omogenee (unità di misura diverse) - danno origine ad una nuova grandezza derivata che ha come unità di misura il rapporto delle due precedenti

Es: la velocità è data dal rapporto di spazio e tempo e l’unità di misura è il m/s

2. La PROPORZIONE è un’uguaglianza tra due rapporti.

PROPRIETÀFONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI:

Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

Da questa proprietà ne derivano altre, inoltre tale proprietà permette il calcolo del termine incognito:

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE SEMPLICE AD UN TERMINE INCOGNITO

Per calcolare il termine mancante si deve applicare ma proprietà fondamentale moltiplicando i due medi (o i due estremi) solo se entrambi noti e dividere per il compagno medio (o estremo) incognito.

ES: ho un estremo incognito: moltiplico i due medi noti e divido per l’unico estremo che ho a disposizione

€

0,5 : 0,3 = 1,3 : x 5

9:3

9=13− 1 9 : x 5

9:1 3=12

9 : x 5

9:1 3= 4

3: x

x = 1

3×4 3 5 9

= 4 9:5

9= 4 9×9

5= 4 5

PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI:

Applicando tali proprietà ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà fondamentale è verificata.

1. Proprietà dell’invertire

Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà fondamentale è verificata:

Es 35 :15 = 7 : 3 15 : 35 = 3 : 7

2. Proprietà del permutare

Scambiando tra loro i medi o gli estremi o i medi e gli estremi simultaneamente ottengo sempre una proporzione in cui la proprietà:

Es:

35 :15 = 7 : 3

35 : 7 = 15 : 3

35 :15 = 7 : 3

3 :15 = 7 : 35

35 :15 = 7 : 3

3 : 7 = 15 : 35

3. Proprietà del comporre

La somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

Es:

35 :15 = 7 : 3

(35 + 7) : (15 + 3) = 35 :15 (35 + 7) : (15 + 3) = 7 : 3

4. Proprietà dello scomporre

La differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio conseguente:

Es:

35 :15 = 7 : 3

(35 − 7) : (15 − 3) = 35 :15 (35 − 7) : (15 − 3) = 7 : 3

METODI DI RISOLUZIONEPARTICOLARI

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE CONTINUA

Una proporzione continua è una proporzione che ha i medi uguali.

Per tale motivo non si parla di medi ma di un unico medio detto:

MEDIO PROPORZIONALE.

Si applicano le proprietà fino ad ottenere le incognite al medio proporzionale.

La proporzione si risolve facendo il prodotto degli estremi noti e calcolando la radice di tale prodotto.

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE COMPOSTA AD UN TERMINE INCOGNITO

Lo scopo è portare, applicando le varie proprietà, la parentesi con l’incognita al primo antecedente e l’incognita da sola al primo conseguente.

Possiamo poi avere due casi distinti:

1. La sottrazione dell’incognita nella parentesi

prop.inveritre

prop. COMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si elimina l’incognita nella parentesi)

€

1+4 5

"

# $ %

&

' : x = x : 21 20×7

3

"

# $ %

&

' 9

5

"

# $ %

&

' : x = x : 49 20

"

# $ %

&

'

x²= 9 5×49

20 x = 441

100 = 21 10

€

x : 30− x

( )

30− x

( )

( )

( )

30 : x = 20 :18 x = 30×18

20 = 27

2. La somma dell’incognita nella parentesi prop.inveritre

prop. SCOMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si elimina l’incognita nella parentesi)

RISOLUZIONE DI UNA PROPORZIONE A DUE INCOGNITE

Lo scopo è portare, applicando le varie proprietà, la parentesi con le due incognite al primo antecedente e una delle due incognite da sola al primo conseguente.

Possiamo poi avere due casi distinti:

3. La sottrazione delle incognite

con (x − y) = 72

prop. SCOMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si ottiene la sottrazione delle due incognite nella parentesi, sostituibile con il valore numerico)

la seconda incognita la ricavo dalla sottrazione di partenza o applicando un’altra proporzione

4. La somma delle incognite

con (x + y) =

prop. COMPORRE CON CONSEGUENTI (in tal modo si ottiene la sottrazione delle due incognite nella parentesi, sostituibile con il valore numerico)

la seconda incognita la ricavo dalla somma di partenza o applicando un’altra proporzione

PROBLEMI RISOLVIBILI CON LE PROPORZIONI

Due angoli sono complementari e uno è i 3/2 dell’altro. Calcola l’ampiezza dei due angoli.

(questo vuol dire che il loro rapporto è 3 a 2, o meglio 3:2)

con (x + y) = 90°

CATENA DI RAPPORTI

Se ho tre rapporti in uguaglianza, posso creare una proporzione associando i rapporti a 2 a 2. Posso inoltre applicare la proprietà del comporre con tutti gli antecedenti ed i conseguenti

Es: Tre taniche contengono complessivamente 48 litri e sono rapportate ai numeri 3, 4 e 5. Quanto contiene ciascuna?

€

x : x +10

( )

x +10

( )

( )

( )

10 : x = 25 : 5 x =10× 5

25 = 2

€

x : y = 46 :10 x − y

( )

( )

72 : y = 36 :10 y =72 ×10

36 = 20

€

x : y = 24 : 27 x + y

( )

( )

51

8 : y = 51 : 27

y = 51

8× 27 51 = 51

8 × 27× 1 51= 27

8

€

51 8

€

x = 51 8 −27

8 = 24 8 = 3

€

x = 72+ 20 = 92

€

x : y = 3 : 2 x + y

( ) ^{: y = 3+ 2} ( ) ^{: 2}

90 : y = 5 : 2

90× 2

5 = 36°

x = 90− 36 = 54°

a : b = c : d = e : f a : b = c : d a : b = e : f c : d = e : f

(a + c + e) : (b + d + f ) = a : b (a + c + e) : (b + d + f ) = c : d

(a + c + e) : (b + d + f ) = e : f x : 3 = y : 4 = z : 5

(x + y + z) : (3 + 4 + 5) = x : 3 48 :12 = x : 3

x =48 ⋅ 3 12 = 12