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– http://www.extrabyte.info Quaderni di Analisi Matematica – 2016Generalizzazione del teorema dei carabinieri
Marcello Colozzo
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x y
-¥
y= f HxL y=hHxL
Criterio 1 Siano f(x), g (x) definite in X ⊆ R e regolari in x0 ∈ D (X).
• Ipotesi
x→xlim0
g(x) = +∞
∃I (x0) | x ∈ X ∩ I (x0) − {x0} =⇒ g (x) ≤ f (x)
• Tesi
x→xlim0
f(x) = +∞
Dimostrazione.
x→xlim0g(x) = +∞ ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃Iδε(x0) | x ∈ X ∩ Iδε(x0) − {x0} =⇒ g (x) > ε Per ipotesi:
∃I (x0) | x ∈ X ∩ I (x0) − {x0} =⇒ g (x) ≤ f (x) Consideriamo il seguente intorno di x0:
I∆ε(x0) = I (x0) ∩ Iδε(x0) = (x0− ∆ε, x0+ ∆ε) , onde:
x∈ X ∩ I∆ε(x0) − {x0} =⇒ f (x) ≥ g (x) > ε da cui:
x→xlim0
f(x) = +∞
Criterio 2 Siano f(x), h (x) definite in X ⊆ R e regolari in x0 ∈ D (X).
• Ipotesi
x→xlim0h(x) = −∞
∃I (x0) | x ∈ X ∩ I (x0) − {x0} =⇒ f (x) ≤ h (x) Tesi
x→xlim0
f(x) = −∞
Dimostrazione. %
x→xlim0
h(x) = −∞ ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃Iδε(x0) | x ∈ X ∩ Iδε(x0) − {x0} =⇒ h (x) < −ε Per ipotesi:
∃I (x0) | x ∈ X ∩ I (x0) − {x0} =⇒ f (x) ≤ h (x) Consideriamo il seguente intorno di x0:
I∆ε(x0) = I (x0) ∩ Iδε(x0) = (x0− ∆ε, x0+ ∆ε) , onde:
x∈ X ∩ I∆ε(x0) − {x0} =⇒ f (x) ≤ h (x) < −ε da cui:
x→xlim0
f(x) = −∞
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