Allegato Esercizi 6^ Lezione

6^ Lezione

•

Luoghi geometrici del piano .

•

Retta . Equazione cartesiana . Equazione esplicita .

•

Forme particolari dell’equazione della retta .

•

Equazione segmentaria della retta .

• Equazione parametriche della retta .

•

Parametri direttori . Retta generica per un punto .

•

Il coefficiente angolare .

Corso di Geometria e Algebra Lineare: Geometria Lineare

Allegato Esercizi

LUOGHI GEOMETRICI DEL PIANO

RETTA

Luogo geometrico del piano i cui punti sono tutti allineati.

Nel piano di equazione ^{z =0}

(

^{piano xy}

)

, la retta è espressa mediante :

equazione cartesiana della retta

Per rappresentare una retta nel piano sono sufficienti le coordinate di due punti .

Assegnando alla x due valori arbitrari , determineremo due valori corrispondenti di y .

Es. 2x−3y+ =6 0

ax by + + = c 0

x y 0 +2 -3 0

2

-3 x

y

Data

b x c b b a c

ax by c

by

ax+ + =0 ⇒ =− − ⇒ =− −

Posto si avrà :

equazione canonica o esplicita

il termine q rappresenta l'ordinata all'origine , m il coefficiente angolare ( tgα ) .

Es. 2x−3y+ =6 0

E' evidente quindi che avendo l'equazione esplicita della retta il valore di un punto è già determinato , essendo questi il valore di q .

− =a

b m − =c

b q

q mx

y = +

-3 α ( m tg a

= α = −b ) q = 2

x y

FORME PARTICOLARI DELL’ EQUAZIONE DI UNA RETTA

1) Se ⇒

che esprime l’equazione di una retta che passa per l’origine degli assi e viceversa .

2) Se ⇒

da cui :

a

x =−c e posto k a c =

−

si ha :

che esprime l’equazione di una retta parallela ( non incontra mai l’asse delle ordinate ) all’asse x , delle ascisse .

3) Se ⇒

che esprime l’equazione dell’asse delle ordinate ( y ) .

=0

c ax+by=0

=0

b ax+c=0

k x=

k x=

=0

=c

b x =0

=0 x

4) Se ⇒

da cui :

b

x =− c e posto k b c =

−

si ha :

che esprime l’equazione di una retta parallela ( non incontra mai l’asse delle ascisse ) all’asse y , delle ordinate .

5) Se ⇒

che esprime l’equazione dell’asse delle ascisse ( x ) .

EQUAZIONE SEGMENTARIA DELLA RETTA

E’ evidente quindi che se i coefficienti a , b , c non sono nulli la retta interseca gli assi cartesiani in due punti :



 

 − ,0 a

P c ottenuto dal sistema :







=

−

⇒ =





=

= + +

0 0

0

y a x c y

c by ax



 



 − b

Q 0, c ottenuto dal sistema :







=

−

⇒ =





=

= + +

0 0

0

x b y c x

c by ax

=0

a by+c=0

k y =

k y =

=0

=c

a y =0

=0 y

e posti : q b p c

a

c = − =

− , l’equazione della retta in forma cartesiana ax+by+c=0 ,

assume la forma :

detta equazione segmentaria ( intercetta di fatto sugli assi due segmenti OP e OQ ) .

EQUAZIONI PARAMETRICHE DI UNA RETTA

Analogamente a quanto visto per la geometria dello spazio : per due punti assegnati P₁(x₁,y₁) , )

, ( _{2 2}

2 x y

P passa una ed una sola retta ; se posto P(x,y) il punto appartenente a tale retta , per le proprietà sui vettori avremo che :

P P₁ = ⋅t P P_{1 2}

con t∈ℜ e dipendente da P .

=1 + q

y p x

P P₁

2 1P P

P P2

P1

O x y

O p P Q

q

x y

da cui :

( )

( )





−

=

−

−

=

−

1 2 1

1 2 1

y y t y y

x x t x x

si ha anche :

dette equazioni parametriche della retta .(t è il parametro da cui dipendono gli infiniti punti di r) .

Se , allo stesso modo , i punti P₁ e P₂ sono distinti ( x₁ ≠ x₂ , y₁ ≠ y₂ , z₁ ≠ z₂ ) le relazioni sopra si possono scrivere :

( )

( )

^⇒









−

= −

−

= −

 ⇒



− +

=

− +

=

1 2

1 1 2

1

1 2 1

1 2 1

y y

y t y

x x

x t x

t y y y y

t x x x x

dette equazioni frazionarie della retta , o anche equazione retta per due punti .

N.B. Se si dovesse annullare qualcuno dei denominatori sarà necessario , per le equazioni parametriche , annullare anche il corrispondente numeratore .

( )

( )





− +

=

− +

=

t y y y y

t x x x x

1 2 1

1 2 1

1 2

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

−

= −

−

−

PARAMETRI DIRETTORI DI UNA RETTA . RETTA GENERICA PER UN PUNTO .

Ponendo

m y y

l x x

=

−

=

−

1 2

1

2 l’equazione frazionaria diventa :

che rappresenta una retta per un punto P₁(x₁,y₁) , parallela ad un vettore dato v( ml, ) , che ne individua la direzione . Tale vettore sarà chiamato vettore direttore e le sue coordinate rispettive parametri direttori .

Anche in questo caso possiamo parlare di infinite rette di centro il punto P₁(x₁,y₁) al variare del vettore v( ml, ) .

Quindi l’equazione sopra menzionata esprime un fascio di rette di centro il punto P₁ .

Da notare comunque che dall’equazione frazionaria si può avere:

(

1

) (

1

) (

1

) (

1

)

1

1 x x

l y m y x

x m y y m l

y y l

x

x− = − ⇒ − = − ⇒ − = −

e posto m^* l m =

eq.ne retta generica per un punto ( m* coefficiente angolare ) o equazione del fascio di rette di centro il punto P₁ .

m y y l

x

x− ₁ = − ₁

) ,

( _{2 1 2 1}

2

1P v x x y y

P = − − = v( ml, ) P2

P1

O x y

( ) (

1

)

*

1 m x x

y

y− = −

Come detto in precedenza se qualcuno dei denominatori l , m è nullo , basterà annullare il corrispondente numeratore .

Es : se m = 0

− ¹ = − ¹ ⇒ − ₁ =0 y m y

y y l

x x

Esercizio : determinare l’equazione della retta per il punto A

(

−^1,2

)

e B

(

+^3,2

)

.

Dall’equazione della retta per due punti

1 2

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

−

= −

−

− si ha :

0 2 1

3

1= −

+

+ y

x scrittura algebricamente errata! Da cui y−2=0 .

IL COEFFICIENTE ANGOLARE

Riprendendo a considerare l’equazione della retta noti due punti , tramite semplici passaggi algebrici , si ha :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) (

1

)

1 2

1 2 1 1

1 2 1 2 1 1

2 1 1

2

1 x x

x x

y y y

y x

x y y x x y y y

y y y x x

x

x −

−

= −

−

⇒

−

−

=

−

−

− ⇒

= −

−

−

che per confronto diretto con l’equazione

(

y−y₁

)

=m^*

(

x−x₁

)

esprime il coefficiente angolare di una retta :

ottenuto come rapporto delle differenze tra le ordinate e le ascisse di due punti

( )

(

2 1

)

1 2

x x

y m y

−

= −

graficamente :

E cioè che il coefficiente angolare di una retta esprime la tangente trigonometrica dell’angolo d’incidenza tra la retta stessa e l’asse delle ascisse .

α

α

x1 x₂ P2

P1

O x y

y2

y1

α tg m=

ESERCIZI SULLA RETTA

Esercizi della 6°lezione sulla Geomeria Linere

1. Determinare l'equazione della retta passante per i punti P1 =

(

−^2,1

)

, P2 =

(

−^1,0

)

.

Dalla formula della retta per due punti :

1 2

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

−

= −

−

−

2 1 1 0

1 1 1

2 1

0 1 2

1

2 ⇒ − − = − ⇒ + + =

−

= −

⇒ +

−

= − +

−

+ y x y x y x y

x

ESERCIZI

INDICE

2. Determinare l'equazione della retta passante per il punto ^P

(

^−3,−2

)

e parallela al vettore

(

^−1,+1

)

=

v .

Dalle formule parametriche della retta :





+

= +

=

mt y y

lt x x

1

1





+

−

=

−

−

⇒ =

t y

t x

2 3

ESERCIZI

INDICE

3. Determinare l'equazione della retta passante per il punto ^A=

(

^−1,−4

)

e perpendicolare al vettore ^v=

(

^−2,−3

)

^.

Dalle formule parametriche della retta :





+

= +

=

mt y y

lt x x

1

1 e dalla condizione di perpendicolarità :

^v⊥vr ^{⇒ v}

(

^−2,−3

) (

^⋅vr ^{l ,m}

)

^{=0 ⇒ −2l−3m=0} e posto m=2 ⇒ l =−3 

+

−

=

−

−

=

t y

t x

2 4

3 1

ESERCIZI

INDICE

4. Dopo aver verificato che le rette 3 0 , : 3 1 0 3

2 2

: x+ y+ = s x− y− =

r sono perpendicolari ,

determinare l'equazione della retta q per il punto ^B=

(

^0,2

)

e parallela alla retta r . Ricordando che il coefficiente angolare di una retta è dato da :

b m=−a

Si ha che : 3

3 2

2 =−

= −

mr ,

3

=1

ms e dalla condizione di perpendicolarità di due rette:

mr ⋅ms =−1 1 3 3 1=−



 



⋅

−

⇒ che verifica la condizione .

Dall'equazione del fascio di rette proprio y−y0 =m

(

x−x0

)

si ha : y−2=−3x che esprime per l'appunto l'equazione della retta q cercata .

ESERCIZI

INDICE

5. Determinare l'equazioni delle rette passanti per il punto di ascissa x=3 , avente direzione individuata dal vettore ^v

(

^−1,1

)

e intercettante un punto sull'asse delle ordinate tale che il triangolo, di vertici l'origine e i punti d'intersezione che la retta individua sugli assi , abbia area 8 .

Dall'equazione parametrica della retta





+

= +

=

mt y y

lt x r x

1

: 1 si ha :





+

=

−

= t y y

t r x

1

: 3

con ^v

(

^−1,1

)

vettore direttore e ^P

(

3, ^y1

)

^∈r.

L'intersezione della retta con l'asse delle ordinate porta al punto di coordinate :

(

^{0, 3}

)

3 3

0 3

0

: ₁

1 1

+

 ⇒





+

=

=

=

 ⇒





+

=

−

=

=

y Q y

y t x

t y y

t x x Q

Allo stesso modo l'intersezione della retta con l'asse delle ordinate porta al punto di coordinate :

(

^{3 ,0}

)

3 3 0 3

0

: ₁

1 1 1

y R

y y

y x

y

t y

t x y

R ⇒ +







+

= +

=

=

 ⇒





−

=

−

=

=

ed infine dalla formula dell'area di un triangolo rettangolo

2

2 1 c

A= c ⋅ si ha :

( ) ( ) ( )

7 4 1

3 16

2 3 8 3

1 1 1

2 1 2

1

−

=

⇒ =

±

= +

⇒

= + + ⇒

= y

y y y y

Le coordinate dei punti P sono quindi date da :

ESERCIZI

INDICE

con y1 =¹ ⇒ P

(

^3,1

)

con y1 =−⁷ ⇒ P

(

^3,−⁷

)

e quindi le equazioni delle rette :





+

−

=

−

=





+

=

−

=

t y

t r x

t y

t r x

7 : 3

1 ,

: 3 .

ESERCIZI

INDICE

6. Determinare l'equazione della retta passante per il punto ^P

(

^0,3

)

e per il punto d'intersezione delle rette





−

= +

−

= t y

t r x

2 1

: 2 , s:−2x+3y−6=0 .

Dal sistema tra le rette r e s si ha :

( ) ( )

8 0 1

1 8 0

6 2 1 3 2

2 − + + − − = ⇒ − + = ⇒ =

− t t t t

e sostituendo il valore in r si trova : 



 

−

4 ,3 8 15 P1

Ricordando quindi l'equazione di una retta per due punti

1 2

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

−

= −

−

− si arriva a :

6 5 15 0

8 45 8

15 4

9 4 3

3 3 8

15 ⇒ − =− + ⇒ − + =

−

= −

−

y x y

y x x

ESERCIZI

INDICE

7. Determinare le coordinate dei punti C e D tali che con i punti ^A

(

^0,1

)

^{e B}

(

^4,4

)

^{, formino}

un rettangolo di perimetro 32 .

Calcoliamo inizialmente la lunghezza del lato AB :

Ricordando la formula della distanza tra due punti

( ) (

2 1

)

²

2 1 2 2

1P x x y y

P = − + −

si ha :

^AB=

(

⁴⁻⁰

) (

^{2 + 4−1}

)

^{2 =5}

L'equazione della retta per AB : 3 4 4 0 1

4 1

4 ⇒ − + =

−

= y− x y

x

Determiniamo ora l'equazione della retta per A e perpendicolare alla retta passante per AB : Utilizzando l'equazione del fascio di rette proprio di centro il punto P1

(

x1 , y1

)

:

y−y1 =m

(

x−x1

)

e la condizione di perpendicolarità tra due rette

1

1

m=−m , si ha :

y x

3 1=−4

− eq.ne retta per A e contenente D .

Allo stesso modo determiniamo l'equazione della retta per B , perpendicolare alla retta passante per AB :

(

⁴

)

3 4=−4 −

− x

y eq.ne retta per B e contenente C .

Impostiamo infine la distanza dei due punti C e D dalla retta per AB :

( )

5 4 4 Pr 3

2 2

+

⇒ − +

+

= + x y

b a

c by

d ax relazione che esprime la lunghezza dei lati AD e

BC .

Poiché il semiperimetro del rettangolo deve essere 16 , la lunghezza del lato AD ( BC ) è pari a 11 .

ESERCIZI

INDICE

Risolvendo infine i sistemi









+ =

−

−

=

−

5 11 4 4 3

3 1 4

y x

x y

,

( )









+ =

−

−

−

=

−

5 11 4 4 3

3 4 4 4

y x

x y

determiniamo le coppie di punti C e D richiesti .



























−

=

+



 



− +

− +

−

=

⇒









− + =

−

−

=

−









=

+



 



− +

− +

−

=

⇒









+ =

−

−

=

−

⇒









+ =

−

−

=

−

55 4 3 1

4 4 3

3 1 4

5 11 4 4 3

3 1 4

55 4 3 1

4 4 3

3 1 4

5 11 4 4 3

3 1 4

5 11 4 4 3

3 1 4

x x

x y

y x

x y

x x

x y

y x

x y

y x

x y





 

 −









−

=

=



 



 −









=

−

=

5 , 49 5 33 5

33 5 49 5 ,

, 39 5 33 5

33 5 39

C1

x y C

x y

( )



























−

=

+



 



− +

− +

−

=

⇒









− + =

− +

−

=









=

+



 



− +

− +

−

=

⇒









+ =

− +

−

=

⇒









+ =

−

−

−

=

−

55 3 4

19 3 4 4 3

3 19 3 4

5 11 4 4 3

3 19 3 4

55 3 4

19 3 4 4 3

3 19 3 4

5 11 4 4 3

3 19 3 4

5 11 4 4 3

3 4 1 4

x x

x y

y x

x y

x x

x y

y x

x y

y x

x y





 

 −









−

=

=



 



 −









=

−

=

25 , 293 25 101 25

101 25 293 25 ,

, 147 25 229 25

229 25 147

D1

x y D

x y

ESERCIZI

INDICE