Matteo Moda Geometria e algebra lineare Coniche
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Coniche
Equazioni coniche legate a matrici simmetriche: ܽݔଶ+ ܾݕଶ+ ܿݔݕ + ݀ݔ + ݁ݕ + ݂ = 0 Con le matrici: ሾݔ ݕሿ ܽ ܿ/2ܿ/2 ܾ ൨ ቂݔ
ݕቃ + ቂݔ
ݕቃ ሾ݀ ݁ሿ + ݂ = 0 (@) ቂܽݔ +ܿ
2 ݕ ܿ
2 ݔ + ܾݕቃ ቂݔ
ݕቃ = ܽݔଶ+ܿ 2 ݔݕ +ܿ
2 ݔݕ + ܾݕଶ
Matrici compatta delle coniche: ܽ ܿ/2 ݀/2
ܿ/2 ܾ ݁/2
݀/2 ݁/2 ݂ ൩ con la matrice A = ܽ ܿ/2
ܿ/2 ܾ ൨ matrice
simmetrica e X = ሾݔ ݕሿ e B = ሾ݀ ݁ሿ ݁ ܥ = ݂. Allora l’equazione (@) si può riscrivere nella forma:
்ܺܣܺ + ܤ்ܺ + ܥ = 0
Conica: è l’insieme C dei punti di R2 le cui coordinate x1, x2 soddisfano un’equazione di secondo grado con coefficienti reali, del tipo:
݂ሺݔଵ, ݔଶሻ = ܽଵଵݔଵଶ+ ܽଶଶݔଶଶ+ 2ܽଵଶݔଵݔଶ+ 2ܽଵଷݔଵ+ 2ܽଶଷݔଶ+ ܽଷଷ= 0 Oppure nella forma:
݂ሺݔଵ, ݔଶሻ = ்ܺܣܺ + 2ܤ்ܺ + ܥ = 0 con ܺ = ቂݔ1ݔ2ቃ nel piano; ܺ = ݔ1
ݔ21൩ ݈݈݊݁ ݏܽݖ݅
ܿ݊ ܣ ݀݅ ݎ݀݅݊݁ 2 ݏ݅݉݉݁ݐݎ݅ܿܽ ݁ Ã ݀݅ ݎ݀݅݊݁ 3 ݏ݅݉݉݁ݐݎ݅ܿܽ
Invarianti ortogonali:
♠ L’invariante cubico è il determinante della matrice à di ordine 3 ሺܫଷ= det à ሻ
♠ L’invariante quadratico è il determinante della matrice A di ordine 2 (ܫଶ= det ܣሻ
♠ L’invariante lineare è uguale alla traccia di A ሺܫଵ= ݐݎ ܣሻ
Traccia di A: Data una matrice quadrata ܣ = ሾܽሿ si definisce traccia di A la somma dei coefficienti della diagonale della matrice, cioè: ݐݎ ܣ = ܽଵଵ+ ܽଶଶ+ ⋯ + ܽ
Esempio
Considero la generica equazione dell’iperbole: ௫మ
మ−௬మమ− 1 = 0 Considero la matrice à = 1/ܽଶ 0 0
0 −1/ܾଶ 0
0 0 −1 associata all’equazione dell’iperbole.
Voglio calcolare i tre invarianti. Avremo:
ܫଷ= 1/ሺܽଶܾଶሻ ܫଶ= −1/ሺܽଶܾଶሻ ܫଵ= − 1
ܾଶ+ 1/ܽଶ
Matteo Moda
Classificazione delle coniche
In base a quanto detto sugli invarianti, è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire se una curva sia un'ellisse, una parabola o un'iperbole, tramite la seguente distinzione:
se la conica è degenere e in
se , si riduce a due rette reali distinte se , si riduce a
♠ coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
♠ coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1) se , si riduce a due
se la conica non è degenere ed in particolare:
è un'iperbole equilatera se
è un'iperbole non equilatera se è una parabola se
Geometria e algebra lineare
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Classificazione delle coniche
In base a quanto detto sugli invarianti, è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire se una curva sia o un'iperbole, tramite la seguente distinzione:
la conica è degenere e in particolare:
, si riduce a due rette reali distinte , si riduce a
coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1) , si riduce a due rette immaginarie coniugate.
non è degenere ed in particolare:
è un'iperbole equilatera se e ,
un'iperbole non equilatera se ma , ,
Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivon una circonferenza
un'ellisse parabola (in verde)
Coniche
In base a quanto detto sugli invarianti, è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire se una curva sia
coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
Tipi di sezioni coniche: i piani, intersecando il cono, descrivono circonferenza (in giallo), (in rosso), una (in blu) e un'iperbole (in verde)
Matteo Moda
è un'ellisse reale se
è un'ellisse immaginaria se
Ad esempio, la conica di equazione:
degenere in due rette reali distinte:
In particolare se ܫଷ= 0 % ,-+*
Coordinate omogenee nello spazio
Dato un punto proprio (x,y,z), moltiplicando tali coordinate per un valore u diverso da 0 avrò:
(ux,uy,uz)
Dato un punto improprio (direzione) (a,b,c)
Applico le considerazioni fatte precedentemente alle seguenti equazioni:
♠ )
♠ ) @
Se u=0 -> ) 0
Date (a,b,c) coordinate di un vettore su un piano, se a=b=c=0 direzioni (piano improprio)
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è un'ellisse reale se e ,
è un'ellisse immaginaria se ma .
di equazione: , avendo e
degenere in due rette reali distinte: e (testo tratto da Wikipedia).
,-+* Ã 0, %%&+ A+ò @ + -- *$* $-*
Coordinate omogenee nello spazio
(x,y,z), moltiplicando tali coordinate per un valore u diverso da 0 avrò:
Dato un punto improprio (direzione) (a,b,c) -> (a,b,c,0) -> (a,b,c) diverso da 0 Applico le considerazioni fatte precedentemente alle seguenti equazioni:
0 &$ 0, 0, )0!
@ 0 &$ &, &, )&, 1!
0 (+&&--& '%+ ! → (-& (+&(+*&
Date (a,b,c) coordinate di un vettore su un piano, se a=b=c=0 -> du=0 ->u=0 => luogo di tutte le
(a,b,c)
(x,y,z)
Coniche
, è una conica
(x,y,z), moltiplicando tali coordinate per un valore u diverso da 0 avrò:
> (a,b,c) diverso da 0
>u=0 => luogo di tutte le
(x,y,z)
