Risoluzione delle equazioni di terzo grado

Università degli studi di Palermo

SISSIS Anno Accademico 2001-2002

Laboratorio di Algebra

Risoluzione delle equazioni di terzo grado

Prof. Michele Cipolla

Relatori:

Maria Elena Bono

Floreana Bono

Silvana Pupello

Marcella Urso

Risoluzione delle equazioni di terzo grado

Introduzione

Lo scopo della presente unità didattica è quello di consentire una maturazione e un arricchimento interiore degli allievi, soprattutto sul piano delle “conoscenze pure” e delle capacità intellettuali, riflessive e critiche; non si propongono “conoscenze efficaci”, o capacità operative applicabili nelle attività lavorative e produttive.

Pertanto essa può essere inserita all’interno di una programmazione di una quinta classe di un liceo scientifico, in cui è stata già raggiunta una maturazione culturale e sono stati acquisiti metodi di critica e riflessione .

Prerequisiti

× Avere padronanza delle tecniche del calcolo algebrico

× Saper utilizzare il software Derive per trovare le radici di un’equazione

× Saper descrivere rapidamente e con precisione, mediante l’uso delle lettere, sia relazioni matematiche sia fenomeni connessi con la fisica, l’economia e le altre scienze

× Aver acquisito le tecniche per la risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado

× Saper applicare la regola di Ruffini

× Saper lavorare con radicali

× Saper risolvere le equazioni di secondo grado anche quando ∆<0, quindi saper operare con radicali di numeri negativi

× Conoscere e saper utilizzare le proprietà dei numeri complessi

Obiettivi

× Conoscere la storia relativa alla risoluzione delle equazioni di terzo grado

× Risolvere problemi modellizzabili mediante equazioni di grado superiore al secondo

× Saper estrapolare l’esistenza dell’unità immaginaria in altri contesti

Motivazione

Uno dei più importanti progressi compiuti dalla cultura italiana negli ultimi trent’anni è stato il superamento della separazione tra scienze umane e scienze naturali ed esatte e il riconoscimento della rilevanza, non solo pratica, ma anche conoscitiva, culturale, sociale della ricerca matematica e sperimentale.

In questo contesto acquista una sempre maggiore valenza l’introduzione storica di alcune questioni matematiche fondamentali; come la disputa tra Cardano e Tartaglia relativa alla scoperta-invenzione delle formule risolutive delle equazioni di 3° grado.

È ormai assodato che oggi, con lo sviluppo tecnologico e l’introduzione dei calcolatori, molti problemi di natura algebrica e logica sono di facile risoluzione e non necessitano di rigorosi percorsi, tuttavia analizzare e discutere problemi del genere può favorire il naturale processo di sviluppo cognitivo dell’alunno, promuovendo l’astrazione e la strutturazione di problemi per ricavarne algoritmi risolutivi.

Si deve tenere presente che la speculazione matematica è elemento essenziale alla formazione umana, non meno di alcun altro tipo di studio; fornisce un mezzo insostituibile per un completo sviluppo della mente, con effetti sulle caratteristiche della personalità, dal momento che crea nell’individuo capacità di riflessione, di equilibrio, di obiettività di giudizio.

Impostazione didattico-metodologica

Si propongono agli alunni problemi risolvibili mediante equazioni di 3° grado, frutto dell’ingegno di Diofanto, Fior e Tartaglia, quest’ultimi protagonisti di famose matematiche disfide.

Si invitano gli alunni a risolvere le equazioni ottenute mediante l’utilizzo del software Derive e si analizzano le soluzioni visualizzate.

La scelta del software Derive non è del tutto casuale: gli strumenti tecnologici all’interno del processo insegnamento-apprendimento sono fondamentali per guidare gli studenti “a fare matematica” rendendoli a poco a poco autonomi nel costruire il proprio sapere e nell’affrontare situazioni problematiche; essi, tuttavia, non devono essere lasciati in libera gestione agli studenti, perché la tecnologia da sola non produce apprendimento consapevole.

A questo punto l’insegnante fa osservare che l’algoritmo implementato nel software fa riferimento alle “Formule Cardaniche”.

Prima di procedere nella formalizzazione matematica si riterrà opportuno, mettere in chiara evidenza il periodo storico in cui furono elaborate le suddette formule.

In questo contesto, l’insegnante avrà cura di motivare l’apprendimento dell’argomento, sottolineando il fatto che all’epoca in cui venivano affrontati queste questioni si avevano ben pochi strumenti a disposizione e gli uomini potevano affidarsi solo all’astuzia e all’ingegno.

Problema posto da Diofanto (III sec. d. C.)

Trovare un triangolo rettangolo tale che l’area aggiunta all’ipotenusa sia un quadrato, mentre il perimetro un cubo.

Problemi posti da Fior

-Trovare un numero che, sommato alla sua radice cubica, dia come risultato sei.

-Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dell'anno gli venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine dell'anno, l'ebreo riceve ottocento ducati, tra capitale e interessi. Qual era il capitale?

Problemi posti da Tartaglia

-Un vascello sul quale si trovano quindici turchi e quindici cristiani viene colpito da una tempesta e il capitano ordina di gettare fuori bordo la metà dei passeggeri. Per sceglierli si procederà come segue: tutti i passeggeri verranno disposti in cerchio e, cominciando a contare a partire da un certo punto, ogni nono passeggero verrà gettato in mare. In che modo si devono disporre i passeggeri perché solo i turchi siano designati dalla sorte per essere gettati a mare?

-Suddividere un segmento di lunghezza data in tre segmenti con i quali sia possibile costruire un triangolo rettangolo.

-Una botte è piena di vino puro. Ogni giorno se ne attingono due secchi, che

vengono sostituiti con due secchi d'acqua. In capo a sei giorni, la botte è piena per metà d'acqua e per metà di vino. Qual era la sua capacità?

Tra tutti i problemi introdotti abbiamo scelto di discutere il seguente proposto da Fior:

“Un ebreo presta un capitale a condizione che alla fine dell'anno gli venga pagata come interesse la radice cubica del capitale. Alla fine dell'anno, l'ebreo riceve otto (ottocento) ducati, tra capitale e interessi. Qual era il capitale? “

Soluzione

Posto x la quantità di capitale da ricavare, il problema si traduce nell’equazione:

( )

3 3

x 8 x

x 8 x

8 x x

−

=

−

=

= +

Sviluppando tale cubo di binomio si ottiene la seguente equazione di terzo grado:

0 512 193x 24x

x³ − ² + − =

questa equazione può essere ricondotta ad una del tipo x³ +px=q, sostituendo

3 x a

x→ − nel caso specifico si ottiene la seguente:

8 x x³ + =−

Se risolviamo tale equazione con Derive si ottengono le tre soluzioni:











 − + +

⋅

− + +

−

−

=











 − + +

⋅ + + +

−

−

=

+

−

−

=

3 3

3 3 3

3 3

3 2 3

1

2 3 3 8 433 2

3 3 8 i 433 2 1 72 1299 2

1 72 x 1299

2 3 3 8 433 2

3 3 8 i 433 2 1 72 1299 2

1 72 x 1299

3 4

9 3 4 1299

9 x 1299

In particolare i valori approssimati sono i seguenti:

x1 = -1.83375

x2 = 0.916876 + i 1.87669 x₃ = 0.916876 – i 1.87669

Evidentemente le soluzioni ottenute lasceranno gli alunni assai perplessi e poco convinti della riuscita del problema: si tratta di radici non tutte reali e con la presenza di estrazioni di radice cubiche.

In questa fase nasce l’esigenza di introdurre le “ formule cardaniche “ mediante una trattazione rigorosa sia da un punto di vista storico che analitico.

Storia e Matematica

Da Archimede a Gerolamo Cardano, dal III sec. a. C. al XVI sec. d. C., intercorrono quasi 2 millenni. Ebbene, tanto tempo ci volle perché si ottenesse un risultato matematico veramente nuovo, rispetto alle conoscenze dei Greci.

Per un matematico greco, il problema della determinazione della radice si poneva in modo completamente diverso rispetto al metodo algebrico elaborato dagli Arabi: il matematico greco era un geometra puro, accettava come soluzioni solo segmenti costruibili in modo esatto con la riga e il compasso, a partire dai dati.

Gli Arabi e gli Europei occidentali fino al ‘500, non andavano al di là della soluzione di problemi traducibili in equazioni di 2° grado.

La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del 1500. Come tutte le storie, soprattutto quelle in cui sono coinvolte più persone, è piuttosto intricata e difficile da ricostruire. I personaggi sono tutti italiani: Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia e Gerolamo Cardano.

La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingono questi matematici verso la ricerca scientifica. Da un lato c'è l'urgenza di scoprire le leggi della balistica, dall'altro la bravura di un matematico si misura con sfide pubbliche, delle vere e proprie gare di matematica.

Il matematico si comportava in fondo, come l’artigiano-artista, che custodisce gelosamente i segreti della sua bottega. Perciò, chi aveva una formula, o un metodo per risolvere un problema duro da masticare, non diceva niente a nessuno. Per dimostrare che era più bravo degli altri , quando un matematico era in possesso di una scoperta nuova, inviava un cartello di matematica disfida a qualche famoso lettore.

Naturalmente se lo sfidato gettava la spugna, lo sfidante doveva dare lui la soluzione, altrimenti era squalificato per gioco scorretto.

Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno.

Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro.

La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.

La notizia giunge a Cardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama internazionale.

Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la formula, lo lusinga, lo minaccia, gli fa promesse. Dopo numerose insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula restasse segreta.

Tartaglia la comunica a Cardano inviando i seguenti versi:

Quando che 'l cubo con le cose appresso x³+px Se agguaglia a qualche numero discreto: = q Trovami dui altri, differenti in esso; u-v = q Dapoi terrai, questo per consueto,

Che 'l loro produtto, sempre sia eguale u·v = Al terzo cubo delle cose netto; (p/3)³ El residuo poi suo generale,

Delli lor lati cubi, ben sottratti ³ u −³ v Varrà la tua cosa principale. = x In el secondo, de cotesti atti;

Quando che 'l cubo, restasse lui solo, Tu osserverai quest'altri contratti,

Che l' una, in l' altra, si produca schietto, El terzo cubo delle cose in stolo;

Delle quali poi, per commun precetto, Terrai li lati cubi, insieme gionti, El cotal somma, sarà il tuo concetto;

El terzo, poi de questi nostri conti, Se solve col secondo, se ben guardi Che per natura son quasi congionti, Questi trovai, et non con passi tardi Nel mille cinquecent' e quattro e trenta;

Con fondamenti ben saldi, e gagliardi;

Nella Città del mar 'intorno centa.

Nel 1545, contravvenendo alla promessa verso Tartaglia, Cardano pubblica nell' Ars magna la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Invece di trattare la formula generale con il complesso linguaggio che ne sarebbe derivato, Cardano affronta un caso particolare, un esempio diremmo oggi, sottintendendo che il metodo si può applicare a qualsiasi caso.

La formula generale data da Cardano è la seguente:

3

3 2 3

3 2

27 p 4 q 2 q 27

p 4 q 2

x = −q + + − + + +

Applichiamo il procedimento suggerito da Tartaglia per risolvere il problema di Fior, partiamo dall’equazione

x

+ x = -8

applicando il procedimento di Tartaglia si ha

u-v = -8 (1) u ⋅ v = 1/27 (2)

sostituendo la (1) nella (2) si ottiene

(-8 + v) v = 1/27

da cui

27 v

+ 216v - 1 = 0

Applicando la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado si ha

v

=

9 4± 1299

la radice positiva è

v =

9 4+ 1299

conseguentemente

u = -

9 4+ 1299

Infine

3

9 4 1299 3

9 4 1299 -

x = + − +

Confrontando questa soluzione con le soluzioni ottenute mediante Derive sembra che ne manchino due;in realtà questa formula dà 9 valori di x, poiché ognuno dei radicali cubici ha 3 valori.

Fra questi 9 valori occorre però scegliere quelli che soddisfano alla condizione

u ⋅ v = p/ 3

Pertanto scelto un valore u1 per il primo radicale cubico, si sceglierà

v

= - p/ 3u

e così si avrà una prima radice

1 1

1 3u

u p

x = −

e le altre due saranno:

1 1 2 3

1 2 1 2

åv u å x

v å åu x

+

= +

=

dove å e å²rappresentano le due radici cubiche dell’unità:

2 i 3 2 å 1

2 i 3 2 å 1

2 =− −

+

−

=

Indicata con R la quantità

27 p 4 q^{2 3}

+ è facile rendersi conto che:

1) Se R>0 l’equazione ha una radice reale e due complesse coniugate;

2) Se R=0 ha tutte le radici reali, di cui una è di molteplicità due;

3) Se R<0 ha tre radici reali distinte

L’ultimo caso è particolarmente interessante in quanto, benché le radici siano reali, il loro calcolo, secondo la formula di Cardano, necessita dell’estrazione di radici cubiche di numeri complessi: in effetti, per la regola dei segni, ogni quadrato di un numero reale (positivo o negativo) è positivo, quindi un numero negativo non può avere radici quadrate.

Di fronte a queste difficoltà, gli algebristi italiani e i loro successori, in particolare ricordiamo il matematico R. Bombelli, non esitarono a eseguire calcoli sui numeri del tipo −a, dove a>0 , come se questi numeri esistessero, vale a dire applicando nei loro riguardi le regole usuali dell’algebra, e ponendo

( )

Si nota facilmente che la formula di Cardano necessita di grandi abilità di calcolo sia con radicali sia con numeri complessi; pertanto spesso il loro utilizzo non è consigliato per la risoluzione “manuale” dell’equazione di terzo grado, ma trova applicazione semplicemente negli algoritmi elaborati da un calcolatore.

Bibliografia essenziale

C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1980, pp. 328-331.

G. Loria, Storia delle matematiche, Hoepli, Milano, 1950, pp. 302-303.

M. Klein, Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, New York, 1972, pp. 263-270.