Dipolo elettrico

Dipolo elettrico

cariche elettriche di uguale valore

q

Momento di dipolo elettrico

a q P  

=

per caratterizzare il comportamento del dipolo elettrico si

+q a

− q P 

a

− q

+q

ma opposte di segno, mantenute a

si definisce dipolo elettrico l’insieme di due

distanza fissa

a

introduce il vettore “ momento di dipolo elettrico ”

il campo prodotto da un dipolo elettrico si puo’ calcolare il verso positivo del vettore per definizione va dalla carica

ma riesce piu’ semplice fare uso del potenziale elettrico facendo uso del principio di sovrapposizione

elettrica negativa a quella positiva

0 1

( ) 1

4 V q q

πε r + =

2

4

) 1

( r

q q

V ^{− = −} πε

) (

) (

)

( P V q V q

V = + + −

per il principio di

r

r

r

P

sovrapposizione :

( ) V P

0 1 2

1 1 4

q ( )

πε r r

= −

0 1 0 2

1 1

4 4

q q

r r

πε πε

= −

2 1

0 1 2

4

q r r

( )

πε rr

= −

) 4 (

) (

2 1

1 2

0

r r

r r

P q

V = −

in conclusione :

πε

r

− r

a cos

a grande distanza dal dipolo

ϑ ϑ

_

r

r

r

P

1

ϑ ϑ

r

r

r

si possono fare le approssimazioni :

quindi a grande distanza dal dipolo :

2 0

1 cos ( )

4 V P P

r

θ

= πε



calcoleremo le componenti del campo del dipolo sfruttando

utilizzando le coordinate polari piane

la relazione che lega potenziale e campo

2 0

( ) cos

4

q a

V P r

θ

≅ πε

0

1 cos

4 qa

r

θ

= πε

Coordinate polari piane

x = ρ cos ϑ y = ρ sen ϑ

O x y

P

ρ ϑ

ˆ ˆ

r  = xi + yj

ˆ ˆ

cos i sen j

ρ ϑ ρ ϑ

= +

da cui

r r

dr d ϑ d ρ

ϑ ρ

∂ ∂

= +

∂ ∂

 



che il vettore e’ tangente alla curva coordinata

u

u

r

r ϑ

∂

∂



nel punto P

mentre si fa variare

θ

ρ

e analogamente per l’ altra coordinata curvilinea

ρ

se

ˆu

si ha

r r ˆ

u

ϑ ϑ

∂ = ∂

∂ ∂

 

r r ˆ

u

ρ ρ

∂ = ∂

∂ ∂

 

O x y

ρ P ϑ

u ˆ

u ˆ

in questa direzione,

ˆ ˆ r cos

i sen j

ϑ ϑ

ρ

∂ = +

∂



2 2

r cos

ϑ sen ϑ ρ

∂ = +

∂



r

ϑ

∂

∂

 = ρ

ˆ ˆ

(cos )

r  = ρ ϑ i + sen j ϑ

se

= 1

operando in modo analogo per la variabile

θ

si ottiene

ad es. l’operatore gradiente di una funzione

( , ) 1 ( , )

ˆ ˆ

( , ) f f

f ρ ϑ ^∂ ρ ϑ u ^∂ ρ ϑ u

∇  = +

polari piane diviene:

una volta nota l’espressione delle due forme differenziali

r ϑ

∂

∂

 r

ρ

∂

∂



e

diviene possibile determinare l’espressione del gradiente, della divergenza e del rotore in coordinate polari

( , ) f ρ ϑ

in coordinate

il potenziale a grande distanza dal dipolo e’

2 0

1 cos ( ) ( , )

4 V P V r P

r

ϑ θ

= = πε



dalla espressione del gradiente in coordinate polari piane

si ricavano le componenti e dalla relazione

E  = −∇  V

nel caso del dipolo elettrico radiale

r

ρ

ε ^

ε ^

P

a grande distanza

polari

ε ^

ε ^

p  r ϑ

O

x

E 

u ˆ

ˆ

u

elettrico

( , )

r

V r

ε = − ^∂ r ϑ

∂



1 V r ( , )

ε  = − ^∂ ϑ

quindi :

ˆ 1 ˆ

( V

V )

E u u

r r ϑ

∂ ∂

= − +

∂ ∂



E    = ε

+ ε

se

3 0

2 cos

4 ˆ

P u

r

ϑ

= πε



sin ˆ P ϑ u

=



ε ^

ϑ

ε ^

p

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