Avversione al rischio e Varianza

Matematica Finanziaria, 2003/04 °Fioravante Patrone c 1

Avversione al rischio e Varianza

Abbiamo ricordato che, per u : I −→ R, I intervallo , dove I rappresenta i possibili “guadagni monetari, avversione al rischio ` e per definizione:

δ E

º p ∀ lotteria p.

E si traduce nel fatto che u sia concava.

Si nota che nella teoria delle utilit` a di Von Neumann-Morgenstein tutto dipende dai valori attesi. Sembra che aspetti come la varianza siano irril- evanti .

Ma uno ha invece l’idea che tra 2 lotterie:

p 0M L prob ¹ ₂ 1M L prob ¹ ₂

q 0M L prob ¹ ₄ ¹ ₂ M L prob ¹ ₂ 1M L prob ¹ ₄

Uno avverso al rischio dovrebbe preferire la 2 ^◦ lotteria perch´ e a parit` a di guadagno atteso la seconda presenta una minore varianza. E’ giusta questa intuizione?

Si.

Osservazione 1 Non solo ` e un’intuizione giusta. Il decisore, se preferisce avere p piuttosto che ¹ ₂ M L con certezza,

deve avere le preferenze p  q  δ ^E

! Infatti q coincide con ¹ ₂ p + ¹ ₂ δ E

.

Esempio 1 Supposto di avere u(x) polinomio di 2 ^◦ grado, siano p, q due lotterie con identico guadagno atteso: E p = E q = x 0 .

Sviluppiamo u con Taylor di centro x 0 :

u(x) = u(x 0 ) + u ⁰ (x 0 )(x − x ⁰ ) + u ⁰⁰ (x 0 )

2 (x − x ⁰ ) ² Possiamo scegliere una funzione d’utilit` a v tale che:

v(x 0 ) = 0 v ⁰ (x 0 ) = 1 ( ^∗ ).

Abbiamo che:

u(x) = (x − x ⁰ ) + v ⁰⁰ (x 0 )

2 (x − x ⁰ ) ² . u(q) = X

j

q j v(x j ) = X

j

q j [(x j − x ⁰ ) + v ⁰⁰ (x 0 )

2 (xj − x ⁰ ) ² ] =

= 0 + v ⁰⁰ (x 0 ) 2

X

j

q j (xj − x ⁰ ) ²

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Ma questa ` e esattamente la varianza della lotteria!

E, tenendo conto del fatto che v ⁰⁰ (x 0 ) < 0 se abbiamo avversione al rischio, si ha che:

u(p) > u(q) ⇔ V ar p < V ar q.

(*) NOTA: Ovviamente supponiamo che le preferenze siano crescenti (al- meno “vicino ad x 0 ). Dobbiamo anche notare che la nostra u (o v) essendo un polinomio di 2 ^◦ grado, da un certo punto in poi diventer` a decrescente!

Ammettere preferenze cos`ı su tutto R `e un p`o eccessivo. Morale, anche con i polinomi di 2 ^◦ grado i discorsi fatti valgono “localmente.

Estendiamo ancora con Taylor questo risultato.

v : I −→ R, v ∈ C ³ (I) x 0 interno a I

v(x 0 ) = 0 v ⁰ (x 0 ) = 1. Supponiamo v concava (o, almeno, che v ⁰⁰ (x 0 ) < 0).

Allora v ⁰⁰ (x 0 ) = −α.

v(x) = (x − x ⁰ ) − α

2 (x − x ⁰ ) ² + v ⁰⁰⁰ (c)

6 (x − x ⁰ ) ³

consideriamo 2 lotterie con x 1 , ...x n uguali (ipotesi non restrittiva).

L p = (p 1 , x 1 ; ...; p n , x n ) L q = (q 1 , x 1 ; ...q n , x n ).

Supponiamo P

i p i x i = P

j q j x j = x 0 . Cio` e le due lotterie hanno lo stesso guadagno atteso x 0 .

Sia σ > 0. E supponiamo che |v ⁰⁰⁰ (x) | ≤ k ∀x ∈ [x ⁰ − σ, x ⁰ + σ].

Sia ² > 0. Allora ∃δ > 0 (δ ≤ σ) tale che L p , L q hanno spt in [x 0 − δ, x ⁰ + δ]

V ar(L q ) > V ar(L p ) + ². Segue allora che v(L q ) < v(L p ).

v(L q ) = X

j

q j v(x j ) = X

j

[(x j − x ⁰ ) − α

2 (x j − x ⁰ ) ² + v ⁰⁰⁰ (c j )

6 (x j − x ⁰ ) ³ ] =

= 0 − α

2 V ar(L q ) + X

j

q j

v ⁰⁰⁰ (c j )

6 (x j − x ⁰ ) ³ .

v(L p ) = − α

2 V ar(L p ) + X

i

p i

v ⁰⁰⁰ (c i )

6 (x i − x ⁰ ) ³

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. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X

j

q j

v ⁰⁰⁰ (c j )

6 (x j − x ⁰ ) ³

¯ ¯

¯ ¯

¯ ≤ X

j

q j |v ⁰⁰⁰ (c j ) |

6 |x ^j − x ⁰ | ³ ≤ k 6 δ ³ .

Allora, se V ar(L q ) > V ar(L p ) + ², abbiamo che:

− 2

α v(L q ) = V ar(L q ) − 2 α

X

j

q j

v ⁰⁰⁰ (c j )

6 (x j − x ⁰ ) ³ ≥

≥ V ar(L ^q ) − 2 α

k

6 δ ³ > V ar(L p ) + ² − 2 α

k 6 δ ³ ≥

≥ − 2

α v(L p ) + ² − 4 α

k

6 δ ³ ≥ − 2

α v(L q ) ( ⇔ v(L − q) < v(L ^p ))

⇔ 4 α

k

6 δ ³ < ² ⇔ δ ³ < 6² k

α

4 ⇔ δ ³ < 3α²

2k ⇔ δ <

r 3α²

2k =

r 3( −v ⁰⁰ (x 0 ))

2k