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Geometria 3 Bracci-Salvatore

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Academic year: 2021

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Geometria 3 Bracci-Salvatore

I Esonero —- 4 Dicembre 2012

1) Sia R

2

dotato della topologia Euclidea. Il gruppo Z

2

agisce su R

2

tramite (x, y) 7→ (x + n, y + m), (x, y) ∈ R

2

, n, m ∈ Z. Sia T := R

2

/Z

2

il toro e sia π : R

2

→ T

2

la proiezione canonica. Sia r

θ

la retta di R

2

definita da y = θx, al variare di θ ∈ (0, 1).

1. Dire per quali valori di θ ∈ (0, 1) la funzione π : r

θ

→ T

2

`e continua, iniettiva, suriettiva, aperta, chiusa.

2. Determinare la chiusura di π(r

θ

) in T

2

al variare di θ ∈ (0, 1).

3. Sia (R, Z) la retta reale con la topologia di Zariski. Sia f : (R, Z) → π(r

θ

) definita tramite f (t) = π((t, θt)). Dire se f `e continua, aperta o chiusa.

2) Si consideri R con la topologia conumerabile β, tale che F ⊂ R `e chiuso se F `e vuoto, finito, numerabile, oppure F = R. Si verifichi se lo spazio topologico (R, β) risulta:

1. Separabile, 1-numerabile, 2-numerabile ; 2. di Hausdorff, metrizzabile;

3. compatto, compatto per successioni;

4. connesso, localmente connesso, connesso per archi.

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