• Determinare le soluzioni dell’equazione y

Analisi Mat. Ing. Civile (Canale A-K e L-Z) Silvia Marconi - 12 Dicembre 2012 -

 EDO lineari di ordine superiore al secondo

Tecnica dell’abbassamento dell’ordine.

• Determinare le soluzioni dell’equazione y

+ 4y

= cos(2x) tali che y(0) = 0.

[Risp.: integrale generale: y(x) = c

sin(2x) + c

cos(2x) + c

−

x cos(2x) +

1

16

sin(2x). y(0) = 0 per c

= 0, ∀c

, c

∈ R].

• Determinare le soluzioni periodiche dell’equazione y

− y

= sin x.

[Risp.: integrale generale: y(x) = c

e

+ c

x + c

+

cos x +

sin x. Soluzioni periodiche per c

= c

= 0, ∀c

∈ R].

• Determinare le soluzioni dell’equazione y

− 5y

+ 6y

= 0

che hanno asintoto orizzontale per x → +∞ e per x → +∞.

[Risp.: integrale generale: y(x) = c

e

+ c

e

+ c

. Asintoto orizzontale per x → +∞ per c

= c

= 0, ∀c

∈ R; asintoto orizzontale per x → −∞

∀c

, c

, c

∈ R].

 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee.

Problema ai limiti. Equazioni con parametro.

• Determinare la soluzione del problema ai limiti







y

+ 2y

+ 2y = 4 cos(2x) − 2 sin(2x) y(0) = 0

y

= 0

[Risp.: y(x) = sin(2x)].

• Determinare i valori del parametro a tali che il problema

 y

+ 3y = ay y(0) = 0

abbia soluzioni non nulle limitate e individuarle.

[Risp.: a < 3 : y(x) = c sin( √

3 − ax), c ∈ R].

• Determinare al variare del parametro reale a l’integrale generale dell’e- quazione

y

− ay = e

.

• Risolvere il seguente problema di Cauchy:







y

(x) + n

y(x) = n

y(0) = 0

y

(0) = −1

dove n ∈ N, (n ≥ 1), e specificare se esiste il limite per n → +∞ della

soluzione y(x).