Polinomio di Taylor

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Analisi Matematica, Ing. Civile (Canale A-K e L-Z)

Silvia Marconi - 12 Dicembre 2011 -

Polinomio di Taylor

Linearizzazione. Approssimazione polinomiale. Polinomio di Taylor. Polinomio di MacLaurin. Teorema del resto di Peano. Polinomi id MacLaurin delle principali funzioni (e ^x , sin x, cos x, ln(x + 1)).

Comportamento asintotico. Sere di Taylor. Esempio: la serie di Taylor centrata in x ₀ = 0 di f (x) = _1−x ¹ ` e la serie geometrica che converge per |x| < 1.

Relazione tra asintoticit` a e sviluppo di Taylor. Calcolo dei limiti con la formula di Taylor.

• lim x→0 sin x−x

x

^α

α ∈ R

• lim _x→0 ^e

^x

^−x−1 _x

α

α ∈ R

• lim _x→0 ^sin _x

2²

ln(cos x) ^{x−sin x}

²

= ² ₃

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

• Risolvere i seguenti problemi di Cauchy per equazione differenziale ordinaria del primo ordine a variabili separabili.







y ⁰ = _x ¹ (y ² − 1) y(2) = −2







y ⁰ = _x ¹ (y ² − 1) y(2) = −1







y ⁰ = ¹ _x (y ² − 1) y(2) = 1

• Risolvere il seguente problema di Cauchy:



 

 

y ⁰ =

1 + _(x−2) ¹

2

^√

y−1 e

√y−1

y(1) = 1

• Risolvere il seguente problema di Cauchy:







y ⁰ = tan x(y + 1)

y ⁷ ₆ π = 1

Polinomio di Taylor

Analisi Matematica, Ing. Civile (Canale A-K e L-Z)

Silvia Marconi - 12 Dicembre 2011 -