1. Esercizi di Geometria

1. Esercizi di Geometria

(Semestre Invernale 2018/2019)

Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. Dimostrare le leggi di De Morgan:

(A ∪ B)^C = A^C∩ B^C (A ∩ B)^C = A^C∪ B^C Esercizio 2. Sia X := Rⁿ con n ≥ 1 e siano

d : X × X −→ R (x, y) 7→

v u u t

n

X

i=1

(x_i− y_i)²

d₁: X × X −→ R (x, y) 7→

n

X

i=1

|x_i− y_i|

d∞: X × X −→ R (x, y) 7→ Max_i=1,...,n{|x_i− y_i|}.

(1) Dimostrare che d, d₁ e d∞ sono metriche su Rⁿ. (2) Dimostrare che per ogni x, y ∈ Rⁿ vale

d∞(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d₁(x, y) ≤ n · d∞(x, y).

Esercizio 3. Sia X := R. Si consideri l’applicazione d : X × X −→ R (x, y) 7→ (x − y)². Definisce d una metrica su X?

Esercizio 4. Sia F la famiglia degli aperti di uno spazio metrico (X, d). Si dimostri che

(1) X ∈ F e ∅ ∈ F ;

(2) l’intersezione di due aperti `e un aperto;

(3) l’unione arbitraria di aperti `e un aperto.

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Esercizio 5. [Metrica dell’ ufficio postale] Sia O l’ origine di R². Conside- riamo la mappa d : R²× R² → R definita da

(1) d_p(P, Q) =

(0 P = Q

d(P, O) + d(Q, O) P 6= Q, dove d `e la metrica euclidea standard.

(a) Provare che d_p `e una metrica.

(b) Descrivere le -bolle di (R², d_p).

(c) Confrontare la topologia indotta dalla metrica d con la topologia indotta dalla metrica euclidea.

Esercizio 6. [Per approfondire] Siano a₁, . . . , a_n, b₁, . . . , b_n numeri reali. Di- mostrare che se p ∈ R, p ≥ 1, si ha

Xⁿ

i=1

|a_i+ b_i|^p1/p

≤Xⁿ

i=1

|a_i|^p1/p

+Xⁿ

i=1

|b_i|^p1/p

. La disuguaglianza ottenuta `e detta disuguaglianza di Minkowski.

Utilizzare la disuguaglianza di Minkowski per provare che se p ∈ [1, ∞] :=

[1, +∞) ∪ {∞}. La mappa d_p: Rⁿ× Rⁿ→ R definita da

d_p(x, y) =











n

X

i=1

|x_i− y_i|^p

!1/p

se 1 ≤ p < +∞, max{|x_i− y_i|, 1 ≤ i ≤ n} se p = ∞,

dove x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ e y = (y₁, . . . , y_n) ∈ Rⁿ, `e una metrica su R<sup>n</sup>. Infine osservare che d<sub>2</sub> `e la metrica euclidea e che vale

p→+∞lim d_p(x, y) = d∞(x, y).