2. Esercizi di Geometria

2. Esercizi di Geometria

(Semestre Invernale 2018) Dr. Matteo Penegini

Esercizio 1. Si consideri X := C⁰([0, 1]) l’insieme delle funzioni continue su [0, 1]

e sia

d(f, g) := sup_x∈[0,1]|f (x) − g(x)| ∀f, g ∈ C⁰([0, 1]) (1) Dimostrare che d ´e una metrica.

(2) Stabilire se i seguenti sottoinsiemi sono aperti rispetto alla metrica d:

A := {f ∈ X|f (0) > 0};

B := {f ∈ X|f (0) = 1};

C := {f ∈ X|f `e derivabile }.

Esercizio 2. Consideriamo R. Siano E = (0, 1), F = [0, 1) ⊂ R. Trovare la chiusura, l’interno e la frontiera di E ed F con le seguenti topologie:

(1) la topologia discreta;

(2) la topologia banale;

(3) la topologia cofinita;

(4) la topologa euclidea;

(5) la topologia della semicontinuit`a superiore;

(6) la topologia della semicontinuit`a inferiore;

(7) la topologia di Sorgenfrey;

(8) la topologia delle bolle centrate nell’origine. Cio`e la topologia che ha per base la famiglia di insiemi del tipo

{(−a, a)|a ∈ R, e a ≥ 0}.

Esercizio 3. [Metrica dell’ ufficio postale] Sia O l’ origine di R². Conside- riamo la mappa d : R²× R² → R definita da

(1) d_p(P, Q) =

(0 P = Q

d(P, O) + d(Q, O) P 6= Q, dove d `e la metrica euclidea standard.

(a) Provare che dp `e una metrica.

(b) Descrivere le -bolle di (R², d_p).

(c) Confrontare la topologia indotta dalla metrica d con la topologia indotta dalla metrica euclidea.

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Esercizio 4. Sia k un campo e R := k[X₁, . . . X_n] l’anello di polinomi in n variabili su k. Si consideri su kⁿ la topologia di Zariski. Si dimostri che i chiusi di Zariski sono tutti e soli i sottoinsiemi del tipo

V (I) := {(x₁, . . . , x_n) ∈ kⁿ|f (x₁, . . . , x_n) = 0, ∀f ∈ I}

al variare di I ⊂ R ideale di R.

Esercizio 5. [Per approfondire] Siano a₁, . . . , a_n, b₁, . . . , b_n numeri reali. Di- mostrare che se p ∈ R, p ≥ 1, si ha

Xⁿ

i=1

|ai+ bi|^p1/p

≤Xⁿ

i=1

|ai|^p1/p

+

Xⁿ

i=1

|bi|^p1/p

. La disuguaglianza ottenuta `e detta disuguaglianza di Minkowski.

Utilizzare la disuguaglianza di Minkowski per provare che se p ∈ [1, ∞] :=

[1, +∞) ∪ {∞}. La mappa d_p: Rⁿ× Rⁿ→ R definita da

dp(x, y) =











n

X

i=1

|x_i− y_i|^p

!1/p

se 1 ≤ p < +∞, max{|x_i− y_i|, 1 ≤ i ≤ n} se p = ∞,

dove x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ e y = (y₁, . . . , y_n) ∈ Rⁿ, `e una metrica su R<sup>n</sup>. Infine osservare che d<sub>2</sub> `e la metrica euclidea e che vale

p→+∞lim d_p(x, y) = d∞(x, y).