R. Zanasi - Controlli Automatici - Unimore - 2020/21 0. 4.3 1
Larghezza di banda
L’andamento tipico del modulo della funzione di risposta armonica di un siste- ma in retroazione G0(s) `e in genere analogo a quello di un sistema del secondo ordine, per la presenza di due poli dominanti complessi coniugati:
Ampiezza
Mmax
G0
G0/√ 2
I parametri frequenziali pi`u significativi che caratterizzano questo tipo di rispo- sta sono:
1. Pulsazione di risonanza ωR : pulsazione in corrispondenza della quale il modulo di G0(jω) assume il valore massimo;
2. Picco di risonanza MR : rapporto fra il massimo modulo di G0(jω) e il valore statico G0(0);
3. Banda passante o larghezza di banda ωf : pulsazione alla quale il modulo della risposta armonica `e inferiore di 3 db rispetto al valore statico G0(0).
Le specifiche nel dominio della frequenza sono, naturalmente, correlate con quelle nel dominio del tempo. Tale correlazione per`o, nel caso di un sistema generico di ordine qualsiasi, non `e facilmente esprimibile analiticamente.
La larghezza di banda ωf di un sistema, oltre a definire le capacit`a filtranti del sistema stesso, fornisce anche un’indicazione “qualitativa” del tempo di salita Ts del sistema nel caso di risposta al gradino.
R. Zanasi - Controlli Automatici - Unimore - 2020/21 4. Larghezza di banda 4.3 2
Per sistemi del primo ordine in catena aperta, il legame esistente tra larghezza di banda ωf e tempo di salita Ts `e chiaramente il seguente:
Ts ∝ 1 ωf
cio´e, il tempo di salita Ts ´e inversamente proporzionale alla larghezza di banda.
1 τ
ωf
Ta = 3τ
t τ
Per sistemi del primo ordine, infatti, il tempo di salita Ts `e proporzionale alla costante di tempo τ , mentre la larghezza di banda ωf = τ1 `e inversamente proporzionale alla costante di tempo τ .
Da un punto di vista “qualitativo” si pu`o affermare (anche per sistemi di ordine superiore) che maggiore `e la larghezza di banda ωf di un sistema, minore `e il suo tempo di salita Ts nella risposta temporale al gradino.
Nei sistemi retroazionati con elevato guadagno di anello, la larghezza di banda ωf 0 del sistema G0(s) pu`o essere facilmente ricavata (in modo approssi- mato) conoscendo la funzione di risposta armonica (cio´e i Diagrammi di Bode) del guadagno di anello H(s)G(s).
- - -
6 G(s)
H(s)
r(t) e(t) c(t)
G0(s) = G(s) 1 + H(s)G(s)
R. Zanasi - Controlli Automatici - Unimore - 2020/21 4. Larghezza di banda 4.3 3
Si supponga, per esempio, che la funzione di trasferimento del percorso di segnale di retroazione sia reale: H(s) = 1. In tale ipotesi si pu`o scrivere
G0(jω) = G(jω)
1 + G(jω) ≃
( 1 if |G(jω)| ≫ 1 G(jω) if |G(jω)| ≪ 1
cio`e la risposta armonica G0(jω) rimane pressoch´e costante al variare di ω, pur potendo subire la G(jω) variazioni anche notevoli nella suddetta banda.
Diagrammi di risposta armonica del guadagno ad anello aperto G(s) e del sistema in retroazione G0(s):
F
G0
1
Esempio numerico:
10-2 10-1 100 101 102
-60 -40 -20 0 20 40
60 Diagramma dei moduli
Nyquist
Ampiezza[db]
Pulsazione ω [rad/s]
ωf
ωf 0
G(s)
G0(s)
G(s) = 1000
(s + 1)3(s + 10)
G0(s) = G(s) 1 + G(s)
La banda passante del sistema in retroazione (da 0 a ωf 0) `e maggiore di quella del sistema ad anello aperto (da 0 a ωf). Poich´e la banda passante comprende la pulsazione nulla, la larghezza di banda `e data, nei due casi, da ωf 0 e da ωf.
R. Zanasi - Controlli Automatici - Unimore - 2020/21 4. Larghezza di banda 4.3 4
La larghezza di banda ωf di un sistema retroazionato pu`o essere facilmente ricavata anche facendo riferimento ai diagrammi di Nyquist:
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0.47 0.56
0.68 0.82
1 1.21.5
0.15 0.18 0.22 0.27 0.33 0.39 0.47
0.681
Diagramma di Nyquist
Imag
Real ωf 01
ωf 02
0 10 20 30 40 50 60
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
y(t) y∞
Risposta al gradino del sistema retroazionato
Time [s]
Quelli riportati in figura sono i diagrammi di Nyquist dei seguenti due sistemi:
G1(s) = 10
s(s + 1)2(s + 10), G2(s) = 2
s(s + 1)2(s + 10)
A fianco, sono riportati gli andamenti temporali della risposta al gradino dei corrispondenti sistemi retroazionati.
Dai diagrammi di Nyquist si possono leggere facilmente le larghezze di banda dei due sistemi retroazionati:
ωf 01 ≃ 0.68, ωf 02 ≃ 0.19.
Dalle risposte al gradino dei due sistemi retroazionati si possono leggere facil- mente i tempi di salita dei due sistemi retroazionati:
Ts1 ≃ 1.7, Ts2 ≃ 7.
Si pu`o vedere numericamente che il tempo di salita di ciascun sistema `e, in modo “approssimato”, inversamente proporzionale alla larghezza di banda del corrispondente sistema retrazionato:
Ts1 ≃ 1.7 ∝ 1
ωf 01 ≃ 1.47, Ts2 ≃ 7 ∝ 1
ωf 02 ≃ 5.3.
