Compito scritto di Controlli Automatici del 8 Settembre 2020

Compito scritto di Controlli Automatici del 8 Settembre 2020

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. L’equazione differenziale ¨y = −2 y³+ 2 t x, dove x `e l’ingresso e y `e l’uscita, `e:

A. lineare B. non lineare C. stazionaria D. non stazionaria

2. Se i coefficienti dell’equazione caratteristica di un sistema retroazionato sono tutti positivi, allora `e possibile affermare che il sistema retroazionato

A. `e stabile

B. pu`o essere stabile C. pu`o essere instabile D. `e instabile

3. Sia dato il sistema retroazionato mostrato in figura.

L’errore a regime e(∞) della variabile e(t) quando t → ∞ ´e:

A. e(∞) = 0 B. e(∞) = 2 C. e(∞) = 4 D. e(∞) = ∞

- - 2

s²(s + 1) ^- 6

r(t) = 4 t² e(t) y(t)

4. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = (s−1)(s+1)(s+10)^50(s+0.6) .

Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile affermare che il sistema retroazionato K G(s)

`e stabile per i seguenti valori di K:

A. 0 < K < K^∗< ∞;

B. 0 < K^∗< K < ∞;

C. −∞ < K^∗< K < 0;

D. −∞ < K < K^∗< 0; ^-2

-1 0 1 2 3

Imag

Diagramma di Nyquist

0 0.047 0.1 0.15 0.22 0.27 0.33

0.39 0.47

0.56 0.68

0.82 1 1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.3

3.9 4.7

6.8 1018

5. Quale dei seguenti parametri della risposta al gradino di un sistema G(s) `e maggiormente influenzato dalla larghezza di banda ω_f del sistema stesso:

A. tempo di ritardo T_r B. tempo di salita Ts

C. tempo di assestamento Ta

D. massima sovraelongazione S

6. Il metodo di Ziegler-Nichols per determinare i valori di primo tentativo dei parametri di un regolatore standard PID

A. richiede la conoscenza esatta del modello del sistema da controllare B. richiede la conoscenza della risposta impulsiva del sistema da controllare C. richiede la conoscenza della risposta al gradino del sistema da controllare D. `e applicabile in modo approssimato anche al controllo di sistemi non lineari

7. La funzione di risposta armonica F (ω) di un sistema discreto G(z) si determina nel seguente modo:

A. F (ω) = G(jω) B. F (ω) = G(jωT ) C. F (ω) = G(e^jω) D. F (ω) = G(e^jωT)

8. Posto T = 1, il tempo di assestamento Tadella risposta impulsiva g(k) del sistema discreto G(z) = _z−0.4^z

`e:

A. T_a= 3 | ln(0.4)|;

B. Ta= 3 | log₁₀(0.4)|;

C. Ta= 3/| ln(0.4)|;

D. Ta= 3/| log₁₀(0.4)|;

9. Indicare quali dei seguenti sistemi discreti G(z) sono asintoticamente stabili:

A. G(z) = _z(z+0.2)^(z+2) B. G(z) = _z2(z−0.4)¹

C. G(z) = ^(z+0.2)_z(z+2) D. G(z) = _(z+1)^z 10. Il valore x(∞) = lim

k→∞x(k) della sequenza x(k) corrispondente alla funzione discreta X(z) = ^z−0.5_z−1 A. `e nullo x(∞) = 0

B. `e finito e vale x(∞) = 0.5 C. `e finito e vale x(∞) = −0.5 D. il criterio non ´e applicabile

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L2 t³+ e^{−7 t}sin(2 t) = . . .

12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1

 30

s(s + 3)(s − 2)



= . . .

13. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima.

Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s):

y(t) ≃ . . .

quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale:

x(t) = 0.2 + 3 cos(2000 t).

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 10 20 30 40 50

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

Frequency [rad/s]

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

14. Scrivere la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) suppo- nendo t₀ > 0:

G(s) = (3 − 2 s)

(2 s + 1)(s − 4)e^{−3 t0s} → ϕ(ω) = . . .

15. Sia Y (X) sin(ωt + ϕ(X)) la fondamentale del segnale periodico y(t) presente all’uscita della nonlinearit`a algebrica y(t) = f [x(t)] in risposta all’ingresso x(t) = X sin(ωt). La funzione descrittiva F (X) `e definita nel modo seguente:

F (X) =

16. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) = _X(s)^Y(s) corrispondente alla seguente equazione differenziale nelle variabili x(t) e y(t):

17. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = y₀:

y(n + 1) = 0.4 y(n) → y(n) =

18. Sia X(z) = Z[x(k)]. Enunciare il teorema della traslazione “in anticipo” nel tempo:

Z[x(t + nT )] =

19. Calcolare la Z-trasformata X(z) del seguente segnale tempo continui x(t) quando t = k T :

x(t) = 2 a^−3t → X(z) =

20. A fianco `e riportato il luogo delle radici del sistema G(s) = _(s+6)(s⁻¹⁰2+16) al variare del pa- rametro K > 0.

Calcolare l’ascissa σ₀ corrispondente alla con- dizione di allineamento dei tre poli e il cor- rispondente valore di allineamento K0 del parametro K:

σ0= K0 =

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Imag

Luogo delle radici

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _R^Y2(s)

2(s):

G1(s) = . . .

-

-

- -

- -

2 2

2 2

3 3

3 3

3 3

3 3

1 1

1 1

R R

Y Y

H H H

H H H

G

G G

G

G G

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y1(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 160 (3 + 0.2 s)(s²+ 20 s + 80²)

(15 s + 3)(0.2 s + 8)(s²+ 6 s + 160)(s²+ 8 s + 100)

Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento Ta della risposta al gradino y₁(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y₁(t):

y^∞= Ta≃ Tω≃

t y₁(t)

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza M_α del sistema;

b) il margine di fase Mϕ del sistema;

c) il guadagno K per cui il sistema K G(s) ha un margine di fase M = 45;

a) Ma=. . . . b) M_ϕ= . . . . c) K_ϕ = . . . . d) K_α= . . . .

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

Diagramma di Nichols

1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12

15 18 22 27 33 39 47 56 68

82

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) 50(s²+ 0.8 s + 4)

s²(30 − s)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σadi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = . . .

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-30 -20 -10 0 10 20

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

60 90 120 150 180 210 240 270 300

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + 4)⁴ s(s + 2)²

- 6

r(t) y(t)

tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0.

Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

29. (Contorno delle radici) Sia data la seguente equazione caratteristica di un sistema retroazionato:

1 + 18(s + α)

s(s − 1)(s + 10) = 0

Tracciare qualitativamente il contorno delle radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro α > 0. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

30. (Rete correttrice: Nyquist)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema G_a(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice C_a(s) = 1 + τ₁s

1 + τ2s

in modo da garantire che la funzione di risposta armonica del sistema compen- sato Ca(s)Ga(s) abbia un margine di ampiezza M_a = 10. . Scegliere il valo- re della pulsazione ω che si ritiene pi`u

opportuno. ^{-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5}

Real -2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Imag

0.68 0.82

1 1.2

1.5 1.8 2.2

2.7 3.9

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

31. (Rete correttrice: Nichols)

Sia data la funzione di risposta armoni- ca del sistema Gb(s) riportata a fianco.

Progettare una rete anticipatrice C_b(s) = 1 + τ₁s

1 + τ₂s

in modo da garantire al sistema com- pensato un margine di fase M_ϕ = 60^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

0.068 0.082 0.1

0.15 0.22 0.27 0.33 0.47

0.68 1 1.81.5 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

- -

G1(s) 20 K

s(s + 3)(s + 5) ^- N.L. ^- 6

r e x y

- 6

5 10

−5

−10

x 6

109

3

−3

−6

−9

−10 y(x)

Posto K = 1, determinare per quale valore r1 del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazio- nato coincide con il punto (x₁, y₁) = (−10, −10).

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r₁ ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (−10, −10).

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrit- tiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m₁, m₂, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei para- metri m₁, m₂, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro, discretizzare la seguente rete correttrice:

D(s) = M (s)

E(s) = (s + 6) s(s + 1)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1.

37. (Esercizio opzionale 37).