Compito scritto di Controlli Automatici del 8 Settembre 2020

(1)

Domande a risposta multipla

Si risponda alle seguenti domande a risposta multipla. Almeno una delle risposte ´e vera. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte le lettere di tutte le riposte che si ritengono vere.

1. L’equazione differenziale ÿ = −2 y³+ 2 t x, dove x è l’ingresso e y è l’uscita, è:

A. lineare B. non lineare

C. stazionaria D. non stazionaria

2. Se i coefficienti dell’equazione caratteristica di un sistema retroazionato sono tutti positivi, allora `e possibile affermare che il sistema retroazionato

A. `e stabile

B. pu`o essere stabile C. pu`o essere instabile

D. `e instabile

3. Sia dato il sistema retroazionato mostrato in figura.

L’errore a regime e(∞) della variabile e(t) quando t → ∞ ´e:

A. e(∞) = 0 B. e(∞) = 2 C. e(∞) = 4 D. e(∞) = ∞

- - 2

s²(s + 1) ^- 6

r(t) = 4 t² e(t) y(t)

4. Sia dato il diagramma di Nyquist (vedi figura) della seguente funzione G(s) = (s−1)(s+1)(s+10)^50(s+0.6) .

Utilizzando il criterio di Nyquist `e possibile affermare che il sistema retroazionato K G(s)

`e stabile per i seguenti valori di K:

A. 0 < K < K^∗< ∞;

B. 0 < K^∗< K < ∞;

C. −∞ < K^∗< K < 0;

D. −∞ < K < K^∗< 0;

dove K^∗ ´e un opportuno valore costante.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Diagramma di Nyquist

0 0.047 0.1 0.15 0.22 0.27 0.33

0.39 0.47

0.56 0.68

0.82 1 1.2 1.5

1.8 2.2

2.7 3.3

3.9 4.7

6.8 1018

(2)

5. Quale dei seguenti parametri della risposta al gradino di un sistema G(s) `e maggiormente influenzato dalla larghezza di banda ω_f del sistema stesso:

A. tempo di ritardo T_r B. tempo di salita Ts

C. tempo di assestamento Ta

D. massima sovraelongazione S

6. Il metodo di Ziegler-Nichols per determinare i valori di primo tentativo dei parametri di un regolatore standard PID

A. richiede la conoscenza esatta del modello del sistema da controllare B. richiede la conoscenza della risposta impulsiva del sistema da controllare

C. richiede la conoscenza della risposta al gradino del sistema da controllare D. `e applicabile in modo approssimato anche al controllo di sistemi non lineari 7. La funzione di risposta armonica F (ω) di un sistema discreto G(z) si determina nel seguente modo:

A. F (ω) = G(jω) B. F (ω) = G(jωT ) C. F (ω) = G(e^jω) D. F (ω) = G(e^jωT)

8. Posto T = 1, il tempo di assestamento Tadella risposta impulsiva g(k) del sistema discreto G(z) = _z−0.4^z

`e:

A. Ta= 3 | ln(0.4)|;

B. Ta= 3 | log10(0.4)|;

C. Ta= 3/| ln(0.4)|;

D. Ta= 3/| log10(0.4)|;

9. Indicare quali dei seguenti sistemi discreti G(z) sono asintoticamente stabili:

A. G(z) = _z(z+0.2)^(z+2) B. G(z) = _z2(z−0.4)¹

C. G(z) = ^(z+0.2)_z(z+2) D. G(z) = _(z+1)^z 10. Il valore x(∞) = lim

k→∞x(k) della sequenza x(k) corrispondente alla funzione discreta X(z) = ^z−0.5_z−1 A. `e nullo x(∞) = 0

B. è finito e vale x(∞) = 0.5 C. è finito e vale x(∞) = −0.5 D. il criterio non é applicabile

(3)

Domande dirette

Si risponda alle seguenti domande dirette. Per ciascuna domanda riportare sul foglio delle risposte la corrispondente risposta.

11. Calcolare la trasformata di Laplace X(s) del seguente segnale temporale x(t):

X(s) = L[x(t)] = L2 t³+ e⁻^{7 t}sin(2 t) = X(s) = 12

s⁴ + 2

(s + 7)²+ 2²

12. Calcolare la trasformata di Laplace inversa g(t) delle seguente funzione di trasferimento G(s):

g(t) = L^-1[G(s)] = L^-1

30

s(s + 3)(s − 2)

= −5 + 2 e⁻^3t+ 3 e^2t Infatti si ha:

G(s) = 30

s(s + 3)(s − 2) = K₁

s + K₂

s + 3+ K₃

s − 2 = L^-1

−5

s+ 2

(s + 3)+ 3 (s − 2)

13. In figura sono mostrati i diagrammi di Bode di un sistema lineare G(s) a fase minima.

Calcolare la risposta a regime y(t) del sistema G(s):

y(t) ≃ 20 + 30 cos(2000 t − 90^◦) quando in ingresso `e presente il seguente segnale sinusoidale:

x(t) = 0.2 + 3 cos(2000 t).

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

0 10 20 30 40 50

Mag (db)

Diagramma dei moduli

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

Frequency [rad/s]

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

Phase (deg)

Diagramma delle fasi

14. Scrivere la fase ϕ(ω) = arg G(jω) della funzione di risposta armonica del seguente sistema G(s) suppo- nendo t0 > 0:

G(s) = (3 − 2 s)

(2 s + 1)(s − 4)e⁻^{3 t}⁰^s → ϕ(ω) = − arctan2ω

3 − arctan 2ω − π + arctanω

4 − 3 t0ω

(4)

15. Sia Y (X) sin(ωt + ϕ(X)) la fondamentale del segnale periodico y(t) presente all’uscita della nonlinearit`a algebrica y(t) = f [x(t)] in risposta all’ingresso x(t) = X sin(ωt). La funzione descrittiva F (X) `e definita nel modo seguente:

F (X) = Y (X) X e^jϕ(X)

16. Scrivere la funzione di trasferimento G(s) = _X(s)^Y^(s) corrispondente alla seguente equazione differenziale nelle variabili x(t) e y(t):

2...

y + 4 ˙y + 3 y = ¨x + 5 ˙x + 2x → G(s) = s²+ 5 s + 2 2 s³+ 4 s + 3

17. Calcolare la soluzione y(n) della seguente equazione alle differenze a partire dalla condizione iniziale y(0) = y0:

y(n + 1) = 0.4 y(n) → y(n) = y₀(0.4)ⁿ

18. Sia X(z) = Z[x(k)]. Enunciare il teorema della traslazione “in anticipo” nel tempo:

Z[x(t + nT )] = zⁿ

"

X(z) −

n−1

X

k=0

x(kT )z⁻^k

#

19. Calcolare la Z-trasformata X(z) del seguente segnale tempo continui x(t) quando t = k T :

x(t) = 2 a⁻^3t → X(z) = 2 z

(z − a⁻^3T)

20. A fianco `e riportato il luogo delle radici del sistema G(s) = _(s+6)(s⁻¹⁰2+16) al variare del parametro K > 0.

Calcolare l’ascissa σ₀ corrispondente alla condizione di allineamento dei tre poli e il corrispondente valore di allineamento K₀ del parametro K:

σ0 = −2, K0 = − 1 G(s)

s=σ0

= 8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Imag

Luogo delle radici

(5)

Esercizi

Si svolgano i seguenti esercizi. La risposta di ciascun esercizio deve essere riportata sul foglio delle risposte nella sezione specificatamente riservata al corrispondente esercizo.

21. (Mason) Relativamente allo schema a blocchi mostrato in figura, calcolare la funzione di trasferimento G₁(s) = _R^Y²^(s)

2(s):

G1(s) = G2G3+ G1(1 + G2H2+ G2H3) 1 + G₂H₂+ G₂H₃+ G₂G₃H₁

- -

2 2

3 3

1 1

R R

Y Y

H H H

G

G G

G

G G

22. (Risposta al gradino)

Disegnare l’andamento qualitativo y₁(t) della risposta al gradino unitario del seguente sistema:

G(s) = 160 (3 + 0.2 s)(s²+ 20 s + 80²)

(15 s + 3)(0.2 s + 8)(s²+ 6 s + 160)(s²+ 8 s + 100) Calcolare inoltre:

a) il valore a regime y^∞ della risposta al gradino per t → ∞;

b) il tempo di assestamento T_a della risposta al gradino y1(t);

c) il periodo Tω dell’eventuale oscillazione smorzata presente sul segnale y₁(t):

y∞= 8, Ta≃ _0.2³ = 15 s, Tω≃6 ∃.

0 5 10 15 20 25

Time [s]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

9 Risposta al gradino

y(t)

y∞

Ta

23. (Margini di stabilit´a) Sia data la funzione di risposta armonica, riportata in figura, di un sistema G(s) a fase minima. Nei limiti della precisione consentita dal grafico, calcolare:

a) il margine di ampiezza Mα del sistema;

b) il margine di fase Mϕ del sistema;

c) il guadagno K_ϕ per cui il sistema K_ϕG(s) ha un margine di fase M_ϕ= 45;

d) il guadagno Kα per cui il sistema KαG(s) ha un margine di ampiezza Mα= 10;

(6)

I parametri richiesti hanno il seguente valore:

a) Ma= −12.91 db = 0.226 b) M_ϕ= −19.42^◦

c) K_ϕ = −32.92 db = 0.022 d) Kα= −32.92 db = 0.022

-230 -220 -210 -200 -190 -180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

Diagramma di Nichols

1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 10 12

15 18 22 27 33 39 47 56 68

82

Mα

M_ϕ

Kϕ

Kα

24. (Criterio di Routh) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) 50(s²+ 0.8 s + 4)

s²(30 − s)

- 6

r(t) y(t)

Determinare per quali valori di K il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile.

Soluzione.

L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 +50K(s²+ 0.8 s + 4)

s²(30 − s) = 0 → s³− (30 + 50K)s²− 40K s − 200K = 0.

La tabella di Routh ha la seguente struttura:

3 1 −40K

2 −(30 + 50K) −200K

1 (30 + 50K)40K + 200K

0 −200K

Dalla tabella di Routh si ricavano i seguenti vincoli:

−(30 + 50K) > 0, (30 + 50K)40K + 200K > 0, −200K > 0.

dai quali si ricava:

K < −0.6, K < −0.7, K < 0.

Quindi il sistema retroazionato `e asintoticamente stabile per:

K <= −0.7 = K^∗. La pulsazione ω^∗ corrispondente al valore limite K^∗ `e:

ω^∗=√

−40K^∗. = 5.292.

(7)

25. (Diagrammi asintotici di Bode) Vedi (24). Tracciare i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s).

Soluzione.

I diagrammi “asintotici” di Bode della funzione G_d(s) sono mostrati in Fig. 1. I diagrammi di Bode

Diagramma asintotico dei moduli

2 -2

2o.

30 0

X.

-1 -20.

0.

20.

Diagramma a gradoni delle fasi

2 2o.

30 X.

-180.

-90.

0.

90.

G^∞(s)

β γ

ϕ∞

ϕ₀

Figura 1: Diagrammi asintotici di Bode della funzione Gd(s).

delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s) sono mostrati in Fig. 2. Le funzioni approssimanti G₀(s) e G∞(s) per ω → 0 ed ω → ∞ sono le seguenti:

G₀(s) = 20

3s², G∞(s) = −50 s . Le corrispondenti fasi ϕ0 e ϕ^∞ hanno il seguente valore:

ϕ₀= −π, ϕ∞= −3π

2 ≡ π 2.

Sul diagramma asintotico delle ampiezze, il guadagno β in corrispondenza della pulsazione ω = 2 e il guadagno γ in corrispondenza della pulsazione ω = 30 sono:

β = |G0(s)|s=2= 5

3 = 4.46 db, γ = |G^∞(s)|s=30= 5

3 = 4.46 db.

Il coefficiente di smorzamento della coppia di zeri stabili `e δ = 0.8/(2ωn) = 0.2.

26. (Diagramma di Nyquist) Vedi (24). Disegnare qualitativamente il diagramma di Nyquist “completo”

della funzione G(s). Calcolare esattamente la posizione σ_adi un eventuale asintoto verticale, le eventuali intersezioni σ^∗_i con l’asse reale e i corrispondenti valori delle pulsazioni ω_i^∗.

(8)

10⁰ 10¹ 10² 10³ -20

0 20 40

Mag (db)

10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

-150 -100 -50 0 50

Phase (deg)

G₀(s)

G^∞(s)

β γ

ϕ∞

ϕ₀

Figura 2: Diagrammi di Bode della funzione G(s).

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Imag

1.5

1.8

2.2

2.7 3.3

3.9 4.7

5.6 6.8 8.2 10 12 15 2218 33 27 4739 6856 82

Figura 3: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞].

(9)

Soluzione. Il diagramma di Nyquist della funzione G(s) per ω ∈ [0, ∞] `e mostrato in Fig. 3.

La fase iniziale del sistema `e ϕ₀ = −π. Per ω → 0⁺ il diagramma parte in anticipo rispetto a tale fase in quanto la somma delle costanti di tempo del sistema `e positiva:

∆τ = 0.2 + 1

30 = 0.233 > 0.

Il sistema ´e di tipo 2 per cui non esiste nessun asintoto. La variazione di fase che il sistema subisce per ω ∈]0, ∞[ `e:

∆ϕ = π + π 2 = 3π

2

Ne segue che il vettore G(jω) ruota di ^3π₂ in senso antiorario per raggiungere la fase finale ϕ∞ = ^π₂. Esiste una sola intersezione con il semiasse reale positivo. L’intersezione avviene nel punto:

σ^∗= − 1

K^∗ = 1.4285.

in corrispondente della pulsazione ω^∗= 5.292.

27. (Stima di una funzione G(s))

Si faccia riferimento ai diagrammi di Bode della funzione G(s) mostrati in figura.

Nei limiti della precisione consentita dal grafico, ricavare l’espressione analitica della funzione G(s). Stimare in modo approssimato eventuali valori di δ.

G(s) = 200(s²+ 0.02s + 0.01) s(s + 2)(s − 30) .

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-30 -20 -10 0 10 20

Mag (db)

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

Frequency [rad/s]

60 90 120 150 180 210 240 270 300

Phase (deg)

Soluzione:

La funzione di trasferimento del sistema `e la seguente:

G(s) = 200(s²+ 0.02s + 0.01) s(s + 2)(s − 30) .

Il valore K = 200 si determina, per esempio, calcolando il modulo β dell’approssimante G₀(s) in corrispondenza della pulsazione ω = 0.1:

|G⁰(s)|s=0.1 j =

0.01K

−60s s=0.1 j

= 0.01K

6 = β ≃ −9.54 db ≃ 0.3333 → K ≃ 200.

(10)

Il coefficiente di smorzamento della coppia di zeri complessi coniugati stabili `e il seguente:

δ = 1 2Mωn

≃ 1

10 = 0.1.

La distanza Mωn ≃ 14 db ≃ 5 si legge dal diagramma di Bode dei moduli.

28. (Luogo delle radici) Sia dato il seguente sistema retroazionato:

- e(t)_-

K ^-

G(s) (s + 4)⁴ s(s + 2)²

- 6

r(t) y(t)

tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato al variare del parametro K > 0.

Determinare esattamente la posizione degli asintoti. Determinare la posizione di eventuali punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e:

1 + K₁G₁(s) = 0 ↔ 1 + K (s + 4)⁴ s(s + 2)² = 0

L’andamento qualitativo del luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0 `e mostrato in Fig. 4.

Il luogo delle radici `e caratterizzato da un asintoto orizzontale coincidente con il semiasse reale negativo

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Real -3

-2 -1 0 1 2 3

Imag

Figura 4: Luogo delle radici del sistema G₁(s) al variare di K > 0.

percorso dall’infinito al finito.

(11)

29. (Contorno delle radici) Sia data la seguente equazione caratteristica di un sistema retroazionato:

1 + 18(s + α)

s(s − 1)(s + 10) = 0

Tracciare qualitativamente il contorno delle radici dell’equazione caratteristica al variare del parametro α > 0. Il calcolo di α^∗ non `e necessario. Determinare la posizione dei punti di diramazione “solo in modo qualitativo”.

Sol. L’equazione caratteristica pu´o essere riscritta nel seguente modo 1 + α G2(s) = 0: L’equazione caratteristica del sistema retroazionato `e la seguente

s(s − 1)(s + 10) + 18(s + α) = 0 da cui si ricava la seguente equazione 1 + α G₁(s) = 0:

s³+ 9 s²+ 8 s + 18 α = 0 → 1 + 18 α

s(s + 1)(s + 8) = 0 Il contorno delle radici al variare del parametro α > 0 `e mostrato in Fig. 5.

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Real -8

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Imag

σa

Figura 5: Contorno delle radici del sistema G₂(s) al variare del parametro α > 0.

Il contorno delle radici ha tre asintoti di cui uno coincidente con il semiasse reale negativo. Il centro degli asintoti `e:

σa= 1

3(−1 − 8) = −3 30. (Rete correttrice: Nyquist)

(12)

Sia data la funzione di risposta armonica del sistema Ga(s) riportata a fianco.

Progettare una rete correttrice Ca(s) = 1 + τ1s

1 + τ₂s

in modo da garantire che la funzione di risposta armonica del sistema compen- sato C_a(s)G_a(s) abbia un margine di ampiezza Ma = 10. . Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u

opportuno. ^-2.5 ^-2 ^-1.5 ^-1 ^-0.5 ⁰ ^0.5

Real -2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Imag

0.68 0.82

1 1.2

1.5 1.8 2.2 2.7

3.9

Sistema Ga(s): diagramma di Nyquist

Sol. La specifica sul margine di ampiezza Ma = 10 definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕ^B: MB = 0.1 e ϕB = 180^◦. In questo caso `e possibile utilizzare una rete ritardatrice. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 6.

Il punto A = G_b(jω_A) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ωA= 1:

MA= |G(jω^A)| = 1.7889, ϕA= arg[G(jωA)] = 190.3^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei parametri τ₁ = 5.187 e τ₂= 10.44 della rete correttrice C(s):

M = MB

MA

= 0.0559, ϕ = ϕB− ϕ^A= −10.3^◦ → C1(s) = (1 + 5.187 s) (1 + 94.5 s) . Il diagramma di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s)Ga(s) sono mostrati in Fig. 6.

Sintesi della rete correttrice C₁(s) con altri valori della pulsazione ω_A:

ω_A=[ 1 0.82 0.68 ]

MA=[ 1.789 2.415 3.12 ] ϕA=[ −169.7 −156.9 −146.3 ] M =[ 0.0559 0.0414 0.0320 ] ϕ =[ −10.3 −23.12 −33.67 ] τ₁ =[ 5.187 2.728 2.123 ] τ₂ =[ 94.5 72.15 80.56 ] 31. (Rete correttrice: Nichols)

(13)

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Imag

A

B

0.68 0.82

1

1.2

1.5 1.8 2.2

2.7 3.9

0.1

0.12

0.15 0.18

0.22 0.270.33

0.470.681.2

Figura 6: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Ga(s) e Ca(s) Ga(s).

Sia data la funzione di risposta armonica del sistema G_b(s) riportata a fianco.

Progettare una rete anticipatrice C_b(s) = 1 + τ₁s

1 + τ2s

in modo da garantire al sistema com- pensato un margine di fase Mϕ = 60^o. Scegliere il valore della pulsazione ω che si ritiene pi`u opportuno.

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100

Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

0.068 0.082 0.1

0.15 0.22 0.27 0.33 0.47

0.68 1 1.81.5 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Sol. La specifica sul margine di fase Mϕ = 60^o definisce completamente la posizione del punto B = MBe^jϕ^B: MB = 1 e ϕB = 240^◦. La regione ammissibile `e mostrata in grigio in Fig. 7.

Il punto A = Gb(jωA) scelto per la sintesi della rete correttrice `e quello corrispondente alla pulsazione ω_A= 1.5:

MA= |G(jω^A)| = 0.225, ϕA= arg[G(jωA)] = 186.2^◦.

Sostituendo i valori di M , ϕ e ω = ωA all’interno delle formule di inversione si ottengono i valori dei

(14)

-260 -240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 Phase [degrees]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

Mag [db]

A

B 0.068

0.082 0.1 0.15

0.22 0.27

0.33 0.47

0.68 1 1.5 2.21.8 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6

0.068 0.082

0.1 0.12

0.15 0.18

0.22 0.27

0.330.39 0.470.56

0.68 1 1.81.5 2.7 2.2

3.3 3.9 4.7 5.6 6.8

8.2

Sistema Gb(s): diagramma di Nichols

Figura 7: Diagrammi di Nyquist delle funzioni Gb(s) e Cb(s) Gb(s).

parametri τ₁ = 3.179 e τ₂= 0.302 della rete correttrice C(s):

M = M_B MA

= 4.438, ϕ = ϕ_B− ϕA= 53.78^◦ → C₁(s) = (1 + 3.179 s) (1 + 0.302 s). I diagrammi di Nichols delle funzioni Gb(s) e Cb(s)Gb(s) sono mostrati in Fig. 7.

Sintesi della rete correttrice C₁(s) con altri valori della pulsazione ωA:

ωA=[ 1 1.5 1.8 2.2 2.7 ]

M_A=[ 0.4267 0.2253 0.1694 0.1225 0.0861 ] ϕA=[ −168.9 −173.8 −178.5 174.3 164.6 ] M =[ 2.344 4.438 5.903 8.162 11.61 ] ϕ =[ 48.93 53.79 58.45 65.70 75.4 ] τ₁ =[ 2.237 3.179 3.507 3.865 4.348 ] τ₂ =[ 0.3055 0.302 0.2307 0.1442 0.0633 ] 32. (Punto di lavoro) Si consideri il seguente sistema non lineare retroazionato:

(15)

- -

G₁(s) 20 K s(s + 3)(s + 5)

- N.L. ^- 6

r e x y

- 6

5 10

−5

−10

x 6

109

3

−3

−6

−9

−10 y(x)

Posto K = 1, determinare per quale valore r₁del riferimento r il punto di lavoro del sistema retroazionato coincide con il punto (x₁, y₁) = (−10, −10).

Soluzione. Il sistema G₁(s) `e di tipo 1 per cui si ha: K₁= ∞, K2 = 1 e K₃= 1. La retta di carico della parte lineare del sistema `e una retta orizzontale di ordinata:

y = r

K₂K₃ = r → r₁ = −10.

33. (Criterio del cerchio) Vedi (32). Posto K = 1, r = r₁ ed utilizzando il criterio del cerchio, dire se il sistema retroazionato `e stabile nell’intorno del punto di lavoro (x₁, y₁) = (−10, −10).

Soluzione. Le pendenze α e β delle due rette che centrate nel punto (x₁, y₁) = (−10, −10) racchiudono a settore tutta la non linearit`a sono le seguenti:

α = 1

5 = 0.2, β = 13

10 = 1.3.

Il cerchio critico interseca il semiasse reale negativo nei punti:

−1

α = −5, −1

β = −10

13 = 0.7692.

Il margine di ampiezza K₁^∗ e la pulsazione ω₁^∗ della funzione G1(s) si determinano utilizzando il criterio di Routh:

G₁(s) = 20

s(s + 3)(s + 5) → K₁^∗ = 6, ω^∗₁ =√

15 = 3.873.

Essendo K₁^∗ > β, il diagramma di Nyquist della funzione G(s) non interseca mai il cerchio critico e quindi, in base al criterio del cerchio, si può affermare che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile nell’intorno del punto di lavoro. In Fig. 8 è mostrato il diagramma di Nyquist della funzione G(s) sovrapposto al cerchio critico.

34. (Funzione descrittiva) Vedi (32). Disegnare in modo qualitativo l’andamento della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a N.L. assegnata, prendendo l’origine come punto di lavoro. Utilizzare delle variabili (per esempio: m₁, m₂, . . .) per rappresentare gli eventuali valori non noti minimi e massimi della funzione F (X).

Soluzione. L’andamento qualitativo della funzione descrittiva F (X) `e mostrato in Fig. 9. L’espressione esatta della funzione descrittiva F (X) della non linearit`a y(x) nell’intorno del punto (0, 0) per X ≤ 5

`e la seguente:

F (X) = 12 π X +3

5

Il valore iniziale della funzione F (X) per X = 0 ´e m₀ = ∞. Il minimo locale m1 = 1.3639 si ha per X = 5. Il massimo locale m2 = 1.5727 si ha per X = 5.608. Il valore finale della funzione F (X) per X → ∞ ´e m^∞= 0.2.

(16)

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 x

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12

y(x)

Funzione non lineare y(x)

r.c. α

β

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Real -1.5

-1 -0.5 0 0.5

Imag

0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.2 2.7

3.3

cerchio critico

Figura 8: Diagramma di Nyquist della funzione G(s) e cerchio critico.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

X 0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

F(X)

Funzione descrittiva

m1

m2

m∞

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Imag

0.56 0.68 0.82 1 1.2

1.5 1.8

2.2 2.7

3.3

b) a) c)

d)

−F(X)¹

Figura 9: Andamento della funzione descrittiva F (X).

(17)

35. (Discussione al variare di K) Vedi (32). Discutere “qualitativamente” (anche in funzione dei parametri m₁, m₂, . . .) l’esistenza o meno di cicli limite nel sistema retroazionato al variare del guadagno K > 0.

Soluzione. Per K = 1, il margine di ampiezza K₁^∗ del sistema G1(s) `e K₁^∗ = 6. Per K 6= 1, il margine di ampiezza K^∗ del sistema K G₁(s) `e K^∗ = _K⁶. Al variare di K^∗ si possono avere le seguenti condizioni dinamiche per sistema retroazionato:

a) Per K^∗ > m₂ il diagramma di Nyquist della funzione G₁(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

b) Per m1< K^∗< m2, il diagramma di Nyquist della funzione G1(s) interseca la funzione −1/F (X) in tre punti a cui corrispondono due cicli limite stabili (quelli esterni) e un ciclo limite instabile (quello intermedio).

c) Per m3 < K^∗ < m1 il diagramma di Nyquist della funzione G1(s) interseca la funzione −1/F (X) in un solo punto a cui corrisponde un ciclo limite stabile.

d) Per K^∗ < m₃, la funzione −1/F (X) `e tutta interna al diagramma polare completo della funzione G(s) per cui non vi sono cicli limite e il sistema retroazionato `e instabile.

36. (Discretizzazione) Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro, discretizzare la seguente rete correttrice:

D(s) = M (s)

E(s) = (s + 6) s(s + 1)

giungendo anche alla determinazione della corrispondente equazione alle differenze. Si utilizzi il periodo di campionamento T = 0.1.

Sol. Utilizzando il metodo delle differenze all’indietro si ottiene:

D(z) = (s + 6) s(s + 1)

s=¹⁻^z−1T

= T (1 + 6 T − z⁻¹)

(1 − z⁻¹)(1 + T − z⁻¹) = T + 6 T²− T z⁻¹ 1 + T − (2 + T )z⁻¹+ z⁻² Per T = 0.1 si ha:

D(z) = M (z)

E(z) = 0.16 − 0.1 z⁻¹ 1.1 − 2.1 z⁻¹+ z⁻² La corrispondente equazione alle differenze assume la forma seguente:

m_k= 1

1.1(2.1 m_k−1− mk−2+ 0.16 e_k− 0.1 ek−1) cio`e:

mk= 1.9091 m_k−1− 0.9091 mk−2+ 0.1455 ek− 0.0909 ek−1

37. (Esercizio opzionale 37).