Presa d’aria

APPENDICE A

fig.A1 Schema del modello turbojet

In questo capitolo si mostrano tutti i passaggi matematici che devono essere svolti sulle equazioni che definiscono il comportamento dei singoli componenti costitutivi del propulsore, affinché si possa giungere a quelle che sono adoperate per realizzare il modello statico (capitolo 4) e dinamico (capitolo 5).

Presa d’aria

Considerando la variazione della quantità di moto della massa di un fluido che attraversa un tratto di tubo tra due sezioni nel tempo dt si può scrivere:

1) ρ ⋅ dS V dV ⋅ ⋅ + dS dV ⋅ = 0 che manipolata è riscritta

2) dp 0

V dV ^{⋅ +} ρ ⁼

Passando alla forma integrale

3) dp 0

V dV ^{⋅ +} ρ ⁼

∫ ∫ ^{, da cui}

4)

2

2

V dp

+ ∫ ρ ^{= cost.}

Ipotesi di compressone adiabatica:

5) p ⋅ ρ

^−γa

= . c

Sostituendo la 5) nella 4) 6)

2

1 1

2

a a

V + c

^γ

⋅ ∫ p

^{− γ}

⋅ dp = cost; da cui 7)

1

2 2 1

1 1

2 1 2 1

a a a

a a a

a a

a

V p V

c c

γγ γ

γ γ

γ

γ γ

γ

− −

+ ⋅ − = + ⋅ − ⋅ p

^γa

= cost

essendo

a

c p

_γ

= ρ si ha:

8)

2

2 1

a a

V γ p

γ ρ

= ⋅

− = cost.

Sfruttando la 8) si può scrivere 9)

2

2 1 1

a a a a

a a a

V γ p γ p

_ta

γ ρ γ ρ

+ ⋅ = ⋅

− − .

Manipolando la 9) si ha:

10) 1 1

²

1 2

ta a

a

a a a a

p V

p p

γ

ρ ρ

ρ γ

⎛ − ⎞

= ⋅ + ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ ⎟

⎝ ⎠ .

Dall’equazione dei gas perfetti si scrive 11) p

^a _a

ρ = ⋅ che sostituita nella 10) da R T

12) 1 1

²

1 2

ta a

a

a a a a

p V

p R

γ ρ

ρ γ

⎛ − ⎞

= ⋅ + ⋅ ⎜ ⎝ ⋅ ⋅ T ⋅ ⎟ ⎠

T

a

.

La velocità del suono è 13) a

²

= γ

_a

⋅ ⋅ R che sostituita nella 12) permette di ottenere

14) 1

²

1 2

ta a

a

a a

p M

p

γ ρ

ρ

⎛ − ⎞

= ⋅ + ⎜ ⎝ ⋅ ⎟ ⎠ .

Adoperando l’ipotesi di compressione adiabatica si ha 15)

1 _a ta

a a

P P ρ

γ

ρ

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ che inserita nella 13) fornisce 16)

1

1

2

1 2

a

ta ta a

a

a a

P P

P P M

γ

γ

⎛ ⎞ ⎛ +

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ⋅ + ⎜ ⎝ ⋅ ⎠

⎞ ⎟ che può essere scritta nella seguente forma:

17)

1

1

2

1 2

a

ta a a

a a

P M

P

γ

γ⁻

γ

⎛ ⎞ = + ⎛ + ⋅ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠ da cui

18) 1

^{2 1}

1 2

a

a a

ta a a

P P M

γ

γ +

γ ⁻

⎛ ⎞

= ⋅ + ⎜ ⋅ ⎟

⎝ ⎠ .

Adesso determiniamo la temperatura totale ambiente da:

19)

2

2

a

ta a

pa

T T V

= + C

⋅ .

Tenendo conto delle seguenti relazioni:

20) C

_pa

− C

_va

= R e

21)

_a ^pa

va

C

γ = C .

La 19) può essere scritta

22) ( ¹ )

²

( ¹ )

²

2 2

a a a a a

ta a a

a a

V V T

T T T

R R T

a

γ γ

γ γ

− ⋅ − ⋅

= + = + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Inserendo la 13) nella 22) si ottiene:

23) 1

²

1

^a

ta a a

a

T T γ M

γ

⎛ − ⎞

= ⋅ + ⎜ ⋅ ⎟

⎝ ⎠ .

Si considera la trasformazione a monte e a valle della presa d’aria adiabatica, ma non isoentropica di conseguenza:

24)

₂

1

²

1

^a

t ta a a

a

T T T γ M

γ

⎛ − ⎞

= = ⋅ + ⎜ ⋅ ⎟

⎝ ⎠ .

Si definisce come rapporto di pressione della presa d’aria come:

25)

_pa ^t2

ta

P Π = P

Il rapporto di pressione della presa d’aria è un dato del problema per cui posso ricavare:

2

t pa

P = Π ⋅ P

_ta

.

Compressore

fig.A2

Si definisce rendimento del compressore:

1)

^{3' 2}

3 2

t t c

t t

T T T T η = ⁻

− dove η

_c

è un dato imposto dall’utente.

Determiniamo T

_t3

dalla seguente equazione

2)

^{3 2}

(

3^{' 2}

1

t t t t

c

T T T T

− = η ⋅ − ) che può essere riscritta come segue

3)

_{3 2} ^{2 3'}

2

t t

1

t t

c t

T T T T

η T

⎛ ⎞

− = ⋅ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

4)

_{3 2} ^{2 3'}

2

t t

1

t t

c t

T T T T

η T

⎛ ⎞

= + ⋅ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ .

Considerando che l’aria abbia un comportamento isoentropico.

5)

3' 3' 2 2

a a

t t

t t

P ⋅ V

^γ

= P V ⋅

^γ

6)

^'

'

3 2

2 3

a

t t

t t

P V

P V

⎛ ⎞

γ

= ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠

7)

^{' '}

'

3 2 3

2 2 3

a

t t t

t t t

P R T P

P P R T

⎛ ⋅ ⎞

γ

= ⎜ ⎜ ⎝ ⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠

8)

^'

'

1

3 2

2 3

a a

t t

t t

P T

P T

γ γ

−

⎛ ⎞

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9)

^'

'

1

3 2

2 3

a

t a t

t t

P T

P T

γ γ

⎛ ⎞

−

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

10)

^{' '}

1

3 3

2 2

a

t a t

t t

P T

P T

γ γ

⎛ ⎞

−

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ .

Si definisce come rapporto di pressione del compressore:

11)

^3'

2 2

t c

t t

P P

P P

Π = =

^t3

,dove è un dato ricavabile dalla mappa normalizzata riportata in figura 2.1 che descrive il comportamento del compressore.

Π

c

Inserendo la 11) nella 10) e si ha:

12)

^3'

2

ma t

c t

T

Π = T con

_a ^a

¹

a

m γ γ

= − .

Sostituendo la 12) nella 4) si ottiene:

13)

^{t3 t2 t2}

(

^mca

¹ )

c

T T T

= + η ⋅ Π − .

Sfruttando la definizione di rapporto di pressione riportato in 11) si ottiene:

14) P

t3

= P

t3'

= Π ⋅

c

P

_t2

.

Camera di Combustione

1) Q

aria

⋅ C

pm

⋅ ( T

t4

− T

t3

) = Q

combustibile

⋅ ⋅ k

i

η

cc

2)

_{4 3}

1

( )

pm t t

cc i

f C T T η k

⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅⎜ ⎝ ⋅ ⎟ ⎠ ;con

2

pg pa

pm

C C

C +

=

3)

combustibile

aria

f Q

= Q

Turbina

fig.A3

Si definisce il rendimento della turbina:

1)

'

4

4 5

t t

t

t

T T T T η = ⁻

−

⁵

,dove η

_t

è un dato fissato dall’utente.

Ricaviamoci T

_t5

da

2)

^{4 5}

(

⁴ 5^'

)

^{4 5'}

4

1

^t

t t t t t t t

t

T T T T T T

η η ^⎛ T ^⎞

− = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⎜

⎝ ⎠ ⎟ che manipolata permette di ottenere

3)

_{5 4 4} ^5' ₄ ^5'

4 4

1

^t

1 1

^t

t t t t t t

t t

T T

T T T T

T T

η ^{⎛ ⎞ ⎡} η ^{⎛ ⎞ ⎤}

= − ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ = ⋅ − ⋅ − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ .

Si considera che il gas combusto abbia un comportamento isoentropico.

4)

4 4 5 5'

g g

t t t t

P V ⋅

^γ

= P V ⋅

^γ

5)

^{' '}

' ' '

4 5 5 4 4 5

4 4

5 5 5

g g

'

4

g g

t t t t t t

t t

t t t

V R T T

P P P

P V P R T P T

γ γ

t

γ

⎛ ⋅ ⎞ ⎛ ⎞

γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎜ ⎝ ⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

6)

^'

'

1

4 5

5 4

g g

t t

t t

P T

P T

γ γ

⎛ ⎞

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎝ ⎠ .

Si definisce come rapporto di pressione della turbina: 7)

'

4 4

5 5

t t

t t t

P P

P P

Π = = .

Sostituendo la 7) nella 6) si ottiene

8)

^5'

4

mg t

t t

T

Π = T ,con

_g

¹

^g

g

m γ

γ

= − .

Inserendo la 8) nella 3) e si ha:

9) ^T

^t5

^{= T}

^t4

^{⋅ − ⋅ − Π ⎡} _⎣ ^{1 η}

^t

( ¹

^tmg

) ^⎤ _⎦ .

A questo punto è ancora incognito, ma può essere determinato uguagliando il lavoro del compressore a quello della turbina, perché tali componenti sono considerati in una condizione stazionaria.

Π

t

10) C

pa

⋅ ( T

t3

− T

t2

) = η

mecc

⋅ C

pg

⋅ ( T

t4

− T

t5

) ,dove η

mecc

è un dato del problema.

Sfruttando la definizione di rendimento della turbina,si scrive:

11) T

t⁴

− T

t⁵

= ⋅ η

t

( T

t⁴

− T

t5^'

) .

Inserendo la 11) nella 10) si ottiene:

12) (

3 2

)

4 ^5'

4

1

^t

pa t t pg t t mecc

t

C T T C T T

η ^⎛ T ^⎞ η

⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⋅

⎝ ⎠ .

Adesso si inserisce la 8) nella 12) che manipolata permette di trovare tramite i seguenti passaggi matematici:

Π

t

:

13) ^C

^pa

^⋅ ( ^T

^t3

^{− T}

^t2

) ^{= C}

^pg

^{⋅ ⋅ η}

^t

^T

^t4

^{⋅ − Π ⋅} ( ¹

^tm

) ^η

^mecc

14) (

3 2

)

4

1

_t^{mg pa t t mecc}

pg t t

C T T

C T

η η

⋅ − ⋅

− Π =

⋅ ⋅

15) (

3 2

)

1

mg

C

pa

T

t

T

t

η η

⋅ −

Π = −

⋅ ⋅ ⋅ da cui

16) (

3 2

)

¹

4

1

mg

pa t t

t

pg t t mecc

C T T

C η T η

⎡ ⋅ − ⎤

Π = − ⎢ ⎢ ⎣ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ ⎥ ⎦ .

Ugello di Scarico

fig.A4

Si definisce rendimento dell’effusore:

1)

'

5 6

5 6

t e

t

T T T T η = ⁻

− ,dove η

_e

è un dato del problema.

2) η

e

⋅ ( T

t⁵

− T

6^'

) = T

t⁵

− T

₆

3) T

6

= T

t5

− ⋅ η

e

( T

t5

− T

6'

) .

Si considera che il gas combusto abbia un comportamento adiabatico, ma non isoentropico.

4)

5 5 6' 6'

g g

t t

P V ⋅

^γ

= P V ⋅

^γ

5)

^{' '}

' ' '

5 6 6 5 5 6

5 5

6 6 6

g g

'

5

g g

t t t

t t

V R T T

P P P

P V P R T P T

γ γ

t

γ

⎛ ⋅ ⎞ ⎛ ⎞

γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎜ ⎝ ⋅ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ ⋅ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

6)

^'

'

1

5 6

6 5

g g

t

t

P T

P T

γ γ

−

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Si definisce come rapporto di pressione dell’effusore: 7)

⁵

6 t e

P

Π = P .

Il valore di P

₆

dipende dalla pressione critica che è definita da:

8)

1 5

2 1

g g

cr t

g

P P

γ γ

γ

⎛ ⎞

−

= ⋅⎜ ⎜ ⎝ + ⎟ ⎟ ⎠ .

Se P

_a

> P

_cr

allora P

₆

= P

_a

altrimenti P

₆

= P

_cr

.

Essendo P

₆

, P

_t5

noti lo è anche Π .

_e

Sostituendo la 7) nella 6) ottengo

8)

^6'

5 mg

e t

T

Π = T con

_g

¹

^g

g

m γ

γ

= − .

La 8) può essere riscritta:

9)

6' 5 mg

t e

T = T ⋅Π che inserita nella 3) diventa:

10) ^T

⁶

^{= T}

^t5

^{− ⋅ η}

^e

( ^T

^t5

^{− T}

^t5

^⋅Π

^emg

) ^{= T}

^t5

^{⋅ − ⋅ − Π ⎡} _⎣ ^{1 η}

^e

( ¹

^emg

) ^⎤ _{⎦ .}

A questo punto sono in grado di determinare la velocità di scarico V

_S

11)

2

6 5 6

2

S

t t

pg

T T T V

= = + C

⋅ ,manipolandola si ottiene

12) V

_S

= 2 ⋅ C

_pg

⋅ ( T

_t5

−T .

6

)