4
Analisi statica non lineare sulla
struttura esistente
Per conoscere il livello di sicurezza delle costruzioni esistenti è utile individuarne il comportamento post elastico: perciò si è scelto di applicare al modello anche una analisi statica non lineare. La verifica delle strutture con l’analisi statica non linea-re consiste nel confrontalinea-re la capacità della struttura con la domanda in termini di spostamento, cioè con i livelli di deformazione o spostamento richiesti dai diversi terremoti di progetto. La capacità di una struttura di resistere ad un evento sismico è strettamente legata alla capacità deformativa in campo plastico, ovvero alla duttilità. I metodi di analisi lineari non sono in grado di cogliere i cambiamenti nella rispo-sta strutturale che si verificano via via che i singoli elementi si plasticizzano; inoltre non danno nessuna informazione sulla distribuzione della domanda inelastica della struttura. I metodi dell’analisi statica non lineare o Push-Over si propongono di co-gliere questi aspetti; essi permettono anche di valutare la coerenza tra il fattore di struttura assunto e la reale capacità di duttilità esibita dalla struttura.
4.1
Definizione delle cerniere plastiche
Sono state definite come prima cosa le cerniere plastiche da poter inserire nel model-lo. Per poterle definire occorre innanzitutto calcolare la capacità di rotazioneθ delle cerniere per le varie sezioni. La capacità di rotazione dipende sia dalle proprietà geometriche che da quelle meccaniche della sezione considerata, nonché dall’input sismico. Quindi la capacità do rotazione non è una caratteristica intrinseca della sezione, ma bensì cambia a seconda dell’azione sismica in ingresso.
Per calcolare la capacità di rotazione della cerniera allo stato limite di collasso,θu, si
strutture per la resistenza sismica - Valutazione e adeguamento degli edifici). Vi tro-viamo due diversi approcci: uno di tipo teorico e uno di tipo empirico.
Nell’approccio di tipo teorico la curvatura complessiva viene suddivisa in due contributi:
1) la curvatura elastica che cresce linearmente partendo da zero all’estremità libera, fino a giungere aφy all’estremità fissa della mensola equivalente;
2) lacurvatura plastica, costante lungo tutta la lunghezzaLpl detta lunghezza
della cerniera plastica.Lplnon è una quantità reale, viene convenzionalmente
definita in modo da considerare anche gli altri effetti oltre a quello flessionale, come ad esempio quelli dovuti al taglio.
Di conseguenza anche la rotazione ultima si comporrà di due parti: una elastica, dovuta alla curvatura elastica, ed una plastica, dovuta alla curvatura plastica e quindi costante lungo tutta la lunghezza della cerniera plastica. La parte elastica può essere considerata pari alla rotazione di snervamento,θydefinita come:
θy = φy Ls 3 + 0.0013 1 + 1.5 h Ls ! + 0.13φy dbfylm/FC q fcm/FC
mentre la rotazione plastica,θpl, può essere calcolata così:
θpl = (φu− φy)Lpl
1 − Lpl 2Lv
dove la luce di taglio si assume, per il caso in esame,Lv = L.
La curvatura di snervamento,φy, può essere valutata in maniera teorica. Essa può
essere ricavata con una delle due seguenti formule, a seconda che avvenga per snervamento dell’acciaio teso (4.1) o per plasticizzazione del calcestruzzo compresso (4.2) φy = fylm Es(d − xy)FC (4.1) φy = 0.8fcm EcxyFC (4.2)
dove xy è la distanza dell’asse neutro dal lembo compresso. Come valore per la
curvatura di snervamento si è preso il minore tra i due ottenuti tramite le formule appena viste (4.1) e (4.2).
Per valutare la lunghezza della cerniera plastica si è usata la seguente formula:
Lpl = 0.1Ls+ 0.17h + 0.24
dblfylm/FC
q
Per calcolare la curvatura a rottura (ovvero quando il calcestruzzo di copriferro viene espulso) si sono considerate le seguenti proprietà dei materiali:
su = 0.04
cu = 0.004
se si ha rottura lato acciaio la curvatura sarà data da:
φu =
su
d − xy
se, invece, si ha rottura lato calcestruzzo la curvatura sarà:
φu =
cu
xy
A questo punto si può ottenere la capacità ultima di rotazione della sezione:
θu = 1 γel " θy+ (φu− φy)Lpl 1 − Lpl 2Ls !#
dove, secondo la normativa italiana,γel = 1.5 per la normativa italiana1per gli
ele-menti sismici primari.
Occorre infine calcolare la rotazione della sezione allo stato limite di salvaguar-dia della vita che, in accordo con la normativa italiana2, può essere assunto come
θSLV = 34θu.
L’approccio di tipo empirico si basa sui risultati di carichi ciclici e si sviluppa sulla base di metodi statistici. Sia per l’Eurocodice 8 che per la normativa italiana si ha: θu = 1 γel 0.016·(0.3ν)· " max(0.01; ω0) max(0.01; ω) · fcm FC #0.225 · L v h 0.35 ·25 αρsxfywmfcm ·1.25100ρdγ dett dove: ν = AN ·FC cfcm;
ρsx = bAwsxsh doveAsx è l’area di acciaio trasversale parallela alla direzione di
carico; α =1 − sh 2b0 1 − sh 2h0 1 −P b2i 6h0b0 ; ρdè la percentuale di armatura diagonale;
γdettè un coefficiente di sicurezza, preso pari a 0.85 se la struttura non è dotata
di dettagli antisismici 1§7.2.3 NTC 14 Gennaio 2008
Per il caso in esame la sezione ad H è stata ricondotta ad una sezione rettangolare equivalente passante per il punto medio delle scanalature (vedi figure 4.1 e 4.2).
Figura 4.1: Sezione dei pilastri frontali e laterali con le rispettive sezioni rettangolari equivalenti utilizzate
Figura 4.2: Sezione dei pilastri angolari (sud e nord) con le rispettive sezioni rettangolari equivalenti utilizzate
Anche il questo caso occorre infine calcolare la rotazione della sezione allo stato limite di salvaguardia della vita utilizzando la stessa formula:θSLV = 3
4θu.
Per il caso studio in esame sono state calcolate le rotazioni ultime con entrambi i metodi, si è scelto poi di utilizzare i risultati ottenuti con il metodo empirico; si riportano comunque a confronto i valori ottenuti con entrambi i metodi in tabella 4.1 (in tabella con direzione si intende la direzione di applicazione delle forze nello svolgimento dell’analisi Push-Over).
Per poter definire le cerniere occorre inoltre definire i momenti di snervamento ed ultimo delle sezioni, essi sono stati calcolati con l’ausilio del programma di calcolo Gelfi in corrispondenza dello sforzo normale dovuto ai pesi sismici. Le cerniere sono state definite considerando una pressoflessione retta (quindi, per ciascuna colonna, ne sono state definite due: una per la direzione di caricox ed una per la direzione di caricoy) considerando sempre lo sforzo normale dovuto ai carichi gravitazionali da combinazione sismica (figura 4.3).
Nelle figure da 4.4 a 4.11 si può vedere come sono state modellate nel programma di calcolo SAP2000 le diverse cerniere plastiche.
pilastri direzione θuteo [mrad] θSLVteo [mrad] θuemp[mrad] θSLVemp [mrad] laterali x 43.31 32.48 51.88 38.91 y 75.28 56.46 49.06 36.79 frontali x 92.35 69.26 50.86 38.15 y 65.78 49.33 53.79 40.34 angoli sud x 69.03 51.77 51.90 38.93 y 69.03 51.77 55.49 41.62 angoli nord x 68.70 51.52 52.27 39.20 y 68.70 51.52 52.27 39.20
Tabella 4.1: Valori delle rotazioni delle cerniere plastiche ottenuti con i due metodi (teorico ed empirico) a confronto
Figura 4.4: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri laterali (2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13) per la direzione di caricox
Figura 4.5: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri laterali (2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13) per la direzione di caricoy
Figura 4.6: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri frontali (7, 8, 15, 16) per la direzione di caricox
Figura 4.7: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri frontali (7, 8, 15, 16) per la direzione di caricoy
Figura 4.8: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri degli angoli a sud (1, 6) per la direzione di caricox
Figura 4.9: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri degli angoli a sud (1, 6) per la direzione di caricoy
Figura 4.10: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri degli angoli a nord (9, 14) per la direzione di caricox
Figura 4.11: Definizione delle cerniere plastiche dei pilastri degli angoli a nord (9, 14) per la direzione di caricoy
4.2
Analisi
Push-Over
L’analisi statica non lineare consiste nell’applicare, ad una struttura soggetta ai ca-richi verticali di esercizio, una distribuzione di forze statiche orizzontali di tipo
in-crementale fino al raggiungimento del collasso. Tali forze orizzontali sono gradual-mente amplificate per i successivi step, mantenendo però invariati i loro rapporti, in modo da far crescere monotonamente lo spostamento di un punto, detto di controllo coincidente con il baricentro dell’ultimo impalcato. Il risultato dell’analisi è la curva
Figura 4.12: Curva di capacità di un edificio. Definizione dei parametri: taglio totale alla base, V e spostamento del punto di controllodc
di capacità che mette in relazione il taglio totale alla base con lo spostamento del punto di controllo.
Nelle NTC 2008, al paragrafo 7.3.4.1, troviamo le seguenti indicazioni:
l’analisi non lineare statica consiste nell’applicare alla struttura i cari-chi gravitazionali e, per la direzione considerata dell’azione sismica, un sistema di forze orizzontali distribuite, ad ogni livello della costruzione, proporzionalmente alle forze di inerzia ed aventi risultante (taglio alla base)Fb. Tali forze sono scalate in modo da far crescere
monotonamen-te, sia in direzione positiva che negativa e fino al raggiungimento delle condizioni di collasso locale o globale, lo spostamento orizzontaledc di
un punto di controllo coincidente con il centro di massa dell’ultimo livel-lo della costruzione (sono esclusi eventuali torrini). Il diagrammaFb−dc
rappresenta la curva di capacità della struttura.
Questo tipo di analisi può essere utilizzato soltanto se ricorrono le condi-zioni di applicabilità nel seguito precisate per le distribucondi-zioni principali (Gruppo 1); in tal caso esso si utilizza per gli scopi e nei casi seguenti:
- valutare i rapporti di sovraresistenza αu
α1 di cui ai §§ 7.4.3.2, 7.4.5.1,
7.5.2.2, 7.6.2.2, 7.7.3, 7.8.1.3 e 7.9.2.1;
- verificare l’effettiva distribuzione della domanda inelastica negli edifici progettati con il fattore di struttura q;
- come metodo di progetto per gli edifici di nuova costruzione sosti-tutivo dei metodi di analisi lineari;
- come metodo per la valutazione della capacità di edifici esistenti. Si devono considerare almeno due distribuzioni di forze d’inerzia, rica-denti l’una nelle distribuzioni principali (Gruppo 1) e l’altra nelle di-stribuzioni secondarie (Gruppo 2) appresso illustrate.
Gruppo 1 - Distribuzioni principali:
- distribuzione proporzionale alle forze statiche di cui al § 7.3.3.2, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75% ed a condizione di utilizzare come seconda distribuzione la 2 a); - distribuzione corrispondente ad una distribuzione di accelerazioni
proporzionale alla forma del modo di vibrare, applicabile solo se il modo di vibrare fondamentale nella direzione considerata ha una partecipazione di massa non inferiore al 75%;
- distribuzione corrispondente alla distribuzione dei tagli di piano calcolati in un’analisi dinamica lineare, applicabile solo se il pe-riodo fondamentale della struttura è superiore aTC.
Gruppo 2 - Distribuzioni secondarie:
a) distribuzione uniforme di forze, da intendersi come derivata da una distribuzione uniforme di accelerazioni lungo l’altezza della costruzione;
b) distribuzione adattiva, che cambia al crescere dello spostamen-to del punspostamen-to di controllo in funzione della plasticizzazione della struttura.
L’analisi richiede che al sistema strutturale reale venga associato un sistema strutturale equivalente ad un grado di libertà.
Per il caso studio, essendo ad un solo livello, le distribuzioni di forze dei due gruppi degenerano in una sola, quindi è stata effettuata una sola analisi Push-Over per di-rezione di carico.
4.2.1
Capacity Spectrum Method (CSM)
Due elementi fondamentali per la progettazione performance-based sono la doman-da e la capacità. La domandoman-da corrisponde alla rappresentazione dello spostamento
del terreno causato dal terremoto; la capacità è una rappresentazione dell’abilità del-l’edificio di resistere alla domanda sismica.
Lo sviluppo della curva di capacità di un edificio è estremamente utile per capire le prestazioni di un edificio esistente anche in termini di sequenza delle plasticizza-zioni locali, però, per poter giudicare meglio la struttura occorre determinare il più probabile spostamento massimo per lo specifico moto del terreno.
Il CSM si basa sulla ricerca di un punto dello spettro di capacità che sia di interse-zione con un appropriato spettro di domanda sismica ridotto per via degli effetti non lineari.
La domanda di spostamento con questo metodo si trova in un punto sullo spettro di capacità chiamato performance point. Questo performance point rappresenta la condizione per cui la capacità sismica della struttura è pari alla domanda sismica imposta alla struttura dallo specifico terremoto.
Per l’utilizzo del CSM si è fatto riferimento alle indicazioni americane ATC40. Nelle quali si trovano tre diverse procedure per la determinazione del performance point dette procedura A, B e C; per il caso studio si è scelto di utilizzare la procedura A che corrisponde ad un’applicazione più immediata dei principi del CSM.
L’applicazione del CSM richiede che, sia lo spettro di risposta, che la curva di capa-cità siano tracciati nel dominio accelerazione spettrale - spostamento spettrale. Gli spettri tracciati in questo formato sono detti Acceleration-Displacement Response Spectra (in breve ADRS).
Ogni punto dello spettro di risposta è associato ad una specifica accelerazione spet-trale Sa, velocità spettrale Sv, spostamento spettraleSd e periodoT . Per
converti-re uno spettro dal classico formato accelerazione spettrale-periodo a quello ADRS occorre determinare il valore Sdi per ciascun punto della curva (Ti; Sai) tramite
l’equazione:
Sdi=
T2 i
4π2Saig
Per convertire la curva di capacità in spettro di capacità, invece, occorre fare una conversione punto per punto. Ciascun punto (Fb; dc) viene riportato ad un punto
(Sdi; Sai) tramite le seguenti equazioni:
Sdi = dc FP1× φ1,c Sai = Fb W α1
dove α1 e FP1 sono, rispettivamente, il coefficiente di massa modale e fattore di
partecipazione per il primo modo di vibrare della struttura e φ1,c è l’ampiezza del
Una volta riportati i due grafici nello stesso diagramma si sceglie un performan-ce point di prova (dpi; api), come punto di partenza si è scelto di utilizzare quello
ricavato con il principio di egual spostamento.
A questo punto si è costruita una rappresentazione bilineare della curva di capacità. Innanzitutto si è disegnato il primo tratto con la stessa pendenza del tratto iniziale della curva di capacità (tratto elastico); il secondo tratto dovrà passare per il punto (dpi; api) e dovrà avere inclinazione tale da intersecare il primo tratto in un punto
(dy; ay) e da eguagliare le due aree A1 eA2 di figura 4.13. Lo scopo nell’eguagliare
Figura 4.13: Rappresentazione bilineare per il Capacity Spectrum Method
le aree è quello di fare in modo che le due curve abbiano la stessa energia associata. A questo punto occorre calcolare i fattori di riduzione spettrale. La dissipazione di energia sismica che si ha quando una struttura viene portata nel campo inelastico può essere vista come la combinazione di una parte viscosa ed una isteretica. La dissipazione isteretica è messa in relazione all’area interna ai cicli che si formano quando il taglio massimo alla base è disegnato in funzione dello spostamentodc. La
dissipazione isteretica può essere rappresentata con la sua equivalente viscosa tra-mite equazioni presenti in letteratura.
La dissipazione viscosa equivalenteβeqassociata allo spostamento massimodpi, può
quindi essere stimata con la seguente equazione:
βeq= β0+ 0.05
dove:
β0 = dissipazione isteretica rappresentata come dissipazione viscosa,
Il termineβ0 può essere calcolato come segue (Chopra 1995): β0 = 1 4π ED ES0 dove:
ED = energia dissipata dalla struttura in un ciclo,
ES0 = massima energia di deformazione associata allo stesso ciclo.
La rappresentazione grafica dei due termini appena descritti è illustrata in figura 4.14.
Si può facilmente ricavare cheED = 4(aydpi− dyapi), mentre ES0= apidpi
2 .
Figura 4.14: Derivazione del coefficiente di riduzione spettraleκ
Esprimendoβ0in termini percentuali si ottiene
β0 =
63.7(aydpi− dyapi)
apidpi
di conseguenzaβeq diventa
βeq = β0+ 5 =
63.7(aydpi− dyapi)
apidpi
+ 5
C’è da considerare però che il ciclo di isteresi ideale rappresentato in figura 4.14 tende a sovrastimare il valore della dissipazione perché i cicli di isteresi reali sono in realtà imperfetti, ovvero hanno area minore o sono schiacciati. Per tenere conto di
ciò si riduce il termineβ0 di un fattoreκ:
βeq = κβ0+ 5 =
63.7κ(aydpi− dyapi)
apidpi
+ 5
ovvero il fattoreκ è una misura di quanto il ciclo di isteresi ideale rappresenta bene la realtà. Esso dipende dal comportamento strutturale che, a sua volta, dipende dalla qualità del sistema resistente e dalla durata del terremoto. Si considerano 3 tipi di
Shaking duration new building Average existing building
Poor existing building
Short Type A Type B Type C
Long Type B Type C Type C
Tabella 4.2: Tipi di comportamento strutturale
comportamento strutturale (A, B e C), facendo riferimento alla tabella 4.2 possiamo vedere che, per il caso in esame, occorrerà considerare un comportamento di tipo B, se si considera un terremoto di breve durata, e di tipo C se si considera un terremoto di lunga durata. La durata del terremoto dipende da quanto il sito sia vicino alla faglia, i terremoti in prossimità della faglia tendono ad essere brevi e di maggiore intensità, mentre quelli più lontani sono più lunghi, ma meno intensi. Se si riesce a stabilire quanto il sito disti dalla faglia è possibile svolgere una sola analisi, per l’edificio oggetto di studio si è scelto di svolgere l’analisi per entrambi i casi.
Una volta stabilito il tipo di comportamento strutturale è possibile ricavare i valori di κ corrispondenti tramite la tabella 4.3. Ricavata la dissipazione viscosa equivalente è possibile stimare i fattori di riduzione spettrale che servono a calcolare, dallo spettro di risposta ridotto del 5%, gli spettri maggiormente ridotti. Le equazioni per i fattori di riduzioneSRAedSRV sono dati dalle seguenti espressioni:
SRA= 3.21 − 0.68 ln(βef f) 2.12 SRV = 2.31 − 0.41 ln(βef f) 1.65
Il fattore di riduzione SRA viene utilizzato per ridurre lo spettro in accelerazione
costante mentreSRV per ridurre quello in velocità costante.
A questo punto si controlla se lo spettro di domanda interseca lo spettro di capacità nel punto(dpi; api) o, comunque, se lo spostamento di a cui si intersecano sia entro
Structural behavior type β0 [%] κ Type A ≤ 16.25 1.0 > 16.25 1.13 −0.51(aydpl−dyapl) apldpl Type B ≤ 25 0.67 > 25 0.845 − 0.446(aydpl−dyapl) apldpl
Type C any value 0.33
Tabella 4.3: Valori del fattoreκ
una tolleranza accettabile rispetto adpi(ovvero si abbia0.95 · dpi ≤ di ≤ 1.05 · dpi).
Se lo spettro di domanda non interseca lo spettro di capacità entro una tolleranza accettabile allora si deve scegliere un nuovo punto (dpi; api) e ripetere tutto il
pro-cesso. Per scegliere il nuovo punto di prova si può prendere il punto di intersezione di trovato poco sopra.
Se lo spettro di domanda interseca lo spettro di capacità entro una tolleranza accet-tabile, allora il punto(dpi; api) corrisponde al performance point (dp; ap) cercato e dp
rappresenta la massima domanda di spostamento strutturale che ci si possa aspettare.
Per la struttura in esame sono quindi state svolte due analisi Push Over, una per ciascuna direzione principale dell’edificio. I risultati sono riportati nelle figure 4.15 e 4.16, le curve sono messe a confronto con il 100% dello spettro di normativa con una riduzione viscosa del 5%.
Tramite il CSM si sono quindi ricavati i performance point della struttura in elevato che sono riportati nelle figure 4.17 e 4.18, per quanto riguarda i terremoti di breve durata, e nelle 4.19 e 4.20, per quanto riguarda invece quelli di lunga durata.
Si sono potute quindi ricavare la duttilità (µ = du
dy) e il fattore di struttura
(q = du
dy
Vu
Vy) per tutte le direzioni ed entrambe le durate di terremoto, i risultati
sono riportati in tabella 4.4. Si può notare che i fattori di struttura così ottenuti sono quindi al minimo il doppio di quello utilizzato in precedenza per la verifica della sicurezza tramite analisi modale (q = 1.5).
Figura 4.15: Curva Push Over in direzionex
Figura 4.17: Performance point in direzionex per un terremoto di breve durata
Figura 4.19: Performance point in direzionex per un terremoto di lunga durata
direzione durata dp[mm] ap [%g] µ q dc[mm]
x breve 127.62 0.074 3.63 3.84 128
lunga 138.16 0.074 4.00 4.31 138
y breve 90.75 0.099 2.56 3.07 90
lunga 111.82 0.100 3.02 3.49 111
Tabella 4.4: Duttilità, fattore di struttura e spostamento ottenuti tramite l’analisi Push Over
duttilità. Se si va però a vedere in quale punto della curva Push Over si ha la rottura del terreno e/o delle fondazioni si scopre che questo avviene immediatamente tra il primo e il secondo step. È quindi evidente che il caso studio ha una forte carenza strutturale in fondazione ed è qui che si dovrà intervenire per poter migliorare si-smicamente l’edificio.
Si consigliano comunque delle indagini più approfondite per conoscere le effettive caratteristiche del terreno del lotto in esame (nel presente lavoro, come già detto, si è fatto riferimento a quelle del lotto adiacente) con la possibilità di limitare così anche gli interventi.
