• Non ci sono risultati.

Cilindro su piano inclinato ??

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Cilindro su piano inclinato ??"

Copied!
3
0
0

Testo completo

(1)

6.19. CILINDRO SU PIANO INCLINATO??

PROBLEMA 6.19

Cilindro su piano inclinato ??

Il cilindro in figura viene lasciato cadere sul piano inclinato in Figura 6.6 con velocità iniziale v0e velocità angolare iniziale ω0. Tra piano e cilindro si ha attrito con coefficienti statici e dinamici µs, µd. Determinare in quali condizioni dopo un tempo sufficiente il cilindro mantiene un moto di puro rotolamento.

v0 ω0

α

Figura 6.6.: Il cilindro considerato nel problema, con velocità del centro di massa e velocità angolare iniziali arbitrarie.

Soluzione

Scriviamo le equazioni del moto per il cilindro. Per l’accelerazione in direzione parallela al piano abbiamo

M˙v= Fa+Mg sin α e in direzione perpendicolare

0= N−Mg cos α La seconda equazione cardinale da invece

Iω˙ =RFa

Per la forza di attrito si devono distinguere tre casi, a seconda che la velocità del cilindro al punto di contatto sia positiva, negativa o nulla. Questa si scrive anzitutto

vc=v+

474 versione del 22 marzo 2018

(2)

6.19. CILINDRO SU PIANO INCLINATO??

e quindi avremo

M˙v=−µdN+Mg sin α (6.19.1)

Iω˙ =−µdNR (6.19.2)

per vc>0,

M˙v= Fs+Mg sin α (6.19.3)

Iω˙ = FsR (6.19.4)

per vc=0 (con|Fs| <µsN) e

M˙v= µdN+Mg sin α (6.19.5)

Iω˙ = µdNR (6.19.6)

per vc < 0. In ciascun caso N = Mg cos α. Combinando le equazioni precedenti possiamo scrivere delle equazioni per vc:

˙vc =−µda+g sin α vc >0

˙vc = Fs

Na+g sin α vc =0

˙

vc =µda+g sin α vc <0 dove

a= N

 1 M + R2

I



=3g cos α (6.19.7)

Abbiamo diversi possibili scenari, riassunti in Figura 6.7.

Se µd > 13tan α la velocità del punto di contatto diminuisce (linearmente nel tempo) se positiva, e aumenta (sempre linearmente) se negativa. Questo significa che in un tempo finito avremo vc=0, indipendentemente dalle condizioni iniziali. Per consistenza dovrà essere ˙vc=0, cioè

|Fs| = N

3 tan α<µsN che è assicurato dato che µs> µd.

Se µd = 13tan α una velocità del punto di contatto inizialmente positiva rimane co- stante, quindi non si arriva a rotolamento puro se v0+ω0R>0. Invece se la velocità del punto di contatto è inizialmente negativa, cresce linearmente e si arriva a rotolamento puro in un tempo finito.

Infine se µd < 13tan α la velocità del punto di contatto cresce comunque linearmente nel tempo. Quindi se v0+ω0R > 0 non si arriverà mai a rotolamento puro. Se v0+ ω0R ≤ 0 invece si arriverà in un tempo finito ad esso, e la condizione perchè questo continui si scrive ancora

µs> 1 3tan α

ma non è automaticamente assicurata da µs> µd. Se µs < 13tan α la velocità del punto di contatto continuerà ad aumentare.

475 versione del 22 marzo 2018

(3)

6.19. CILINDRO SU PIANO INCLINATO??

vc vc

vc vc

µd> 13tan α µd= 13tan α

µd< 13tan α µs>13tan α µd< 31tan α µs< 13tan α

t t

t t

Figura 6.7.: Evoluzione della velocità del punto di contatto tra cilindro e piano, per diversi possibili valori di µd, e delle condizioni iniziali.

476 versione del 22 marzo 2018

Riferimenti

Documenti correlati

Authorizes Member States that have notified the Secretary-General, acting nationally or through regional organizations or arrangements, and acting in cooperation with

L’approvazione del progetto preliminare del nodo di Verona Est conferma quindi che le stazioni di Brescia e Verona Porta Nuova restano parte integrante della futura rete

3) 10 interconnessioni in cui sono stati posti in opera deviatoi speciali da 1.200 m di raggio (tangente 0,040), tali da consentire di percorrere il ramo deviato alla

- Premere il tasto sinistro SEL , verrà visualizzata la cifra delle DECINE di unità da diminuire. Per variare il valore premere il pulsante

6. Un oggetto di massa m=3Kg parte da fermo e scivola giu lungo un piano inclinato privo di attrito che forma un angolo θ=30°. Dopo essere scivolato per un tratto d, esso

■ Fast Ethernet, Gigabit Ethernet e High Speed Token Ring!. ■ Che fine ha fatto il controllo

Il moto di puro rotolamento pu` o essere descritto alternativamente come un moto di rotazione attorno ad un asse istantaneo passante per il punto P, di velocit` a angolare ω... Forze

I gradi di libert` a, pertanto, si riducono a 3: la posizione (x, y) di un punto del corpo, ad esempio il centro di massa, che coincide con centro C dells sezione circolare, ed

➢ nell’istante in cui il punto P 1 e’ fermo possiamo assumerlo come centro O ossia possiamo pensare che tutto il corpo rigido stia

Quanto tempo impiegherò ad attraversare la galleria autostradale del San Gottardo, lunga circa 16,918 km, se viaggio a 80 km/h?. La velocità del suono nell’aria è di

Considera i seguenti passaggi ai punti di controllo di Bergamo e di Brescia (che tra loro distano 52 km) e identifica quali auto hanno tenuto una velocità superiore al

In effetti l’accelerazione angolare in questo tratto è nulla, essendo nullo il momento delle forze rispetto al polo O (posto sull’asse del cilindro), per cui la velocità angolare

• L’effetto e` schematizzato con l’azione di un momento che si oppone al moto (h è il braccio di N ed e` detto coefficiente di attrito volvente). •

Nel sistema in figura, la massa M della sbarra, la quale è lunga L, è maggiore della massa m della pallina, la quale ha un’apertura che le permette di scivolare sulla corda, con

Una piccola massa m viene tirata da una corda per risalire un piano inclinato, che forma un angolo  rispetto all’orizzontale.. Il coefficiente di attrito dinamico tra

Innanzitutto osserviamo che la funzione proposta, in quanto somma di potenze positive, `e continua sull’in- sieme chiuso e limitato C.. Pertanto, grazie al Teorema di Weierstrass,

Se il piano viene adesso inclinato di un angolo θ rispetto all’orizzontale deter- minare la frequenza della piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile..

Un cilindro di raggio rotola senza strisciare all’interno di una cavità, anche essa cilin- drica, di raggio 2R.. Inizialmente il cilindro si trova nella posizione in

Un cilindro ruota senza strisciare su un piano inclinato di un

Gli assi e la bisettrice del secondo e quarto quadrante dividono il piano in sei zone: per ciascuna è indicato il verso della velocità angolare, della velocità del punto di contatto

Scrivere l’energia della sfera in funzione del momento angolare conservato e della velocità istantanea del punto del cilindro a contatto con il piano2. Utilizzare

Le velocità agli istanti successivi sono rappresentate nei grafici in Figura 3.2, che si ripetono periodicamente.?. MOTO PERIODICO IN UN PIANO A VELOCITÀ

Ogni punto sul cilindro avrà una velocità costituita da un contributo dovuto alla traslazione del centro di massa e di un contributo dovuto alla velocità tangenziale di