Singola onda quadra

Singola onda quadra

Ad una massa m connessa ad una molla di costante k e lunghezza a riposo l₀`e applicata una forza esterna costante F per un tempo τ . Determinare la legge oraria durante e dopo l’applicazione della forza nell’ipotesi di un tempo τ finito e di un tempo τ che tende a 0 mantenendo costante il prodotto F τ = α (impulso della forza).

Soluzione

Applicando la seconda legge di Newton:

m¨x = −kx + F si ricava

x(t) = A sin ωt + B cos ωt + F/k

dove, al solito, ω² = k/m, mentre i parametri A e B determinati dalle condizioni iniziali.

Se inizialmente l’oscillatore `e fermo nella posizione di equilibrio, si ha:

 0 = B + F/k 0 = Aω

La legge oraria durante l’applicazione della forza F `e:

x1(t) = F

mω²(1 − cos ωt) (1)

Per t > τ la forza esterna si annulla, per cui:

x₂(t) = C sin ωt + D cos ωt

I valori di C e D si ottengono imponendo la continuit`a della soluzione in t = τ : x₁(τ ) = x₂(τ ) e ˙x₁(τ ) = ˙x₂(τ ).

 _F

mω²(1 − cos ωτ ) = C sin ωτ + D cos ωτ

F

mω²ω sin ωτ = Cω cos ωτ − Dω sin ωτ (2)

1

da cui si ricava:

 C = _mω^F2 sin ωτ

D = −_mω^F2(1 − cos ωτ ) Sostituendo:

x2(t) = F

mω²(sin ωτ sin ωt + cos ωτ cos ωt − cos ωt) (3) In alternativa `e possibile scrivere la legge oraria come:

x₂(t) = E sin ω(t − τ ) + F cos ω(t − τ )

In questo caso, le condizioni iniziali, o continuit`a della soluzione in t = τ , si scrive:

 _F

mω²(1 − cos ωτ ) = F

F

mω²ω sin ωτ = Eω (4)

da cui si ottiene immediatamente la legge oraria:

x₂(t) = F

mω²(sin ωτ sin ω(t − τ ) + (1 − cos ωτ ) cos ω(t − τ )) (5) Sviluppando le funzioni trigonometriche, `e semplice verificare l’equivalenza delle soluzioni (3) e (5).

Se τ → 0, con F costante, x2t → 0, come ci si pu`o aspettare per una perturbazione infinitesima. Se invece al tendere di τ a 0, F aumenta in modo da mantenere il prodotto F τ = α costante (forza impulsiva), `e possibile riscrivere la legge oraria (5) sviluppando per ωτ ' 0:

x₂(t) ' F mω²

ωτ

ωτ(ωτ sin ωt + (ωτ )²

2 cos ωt) ' α

mωsin ωt (6) In particolare si nota che ˙x2(0) = α/m, che corrisponde alla relazione fra impulso e quantit`a di moto del sistema.

E’ possibile calcolare l’energia del sistema dopo l’applicazione della forza impulsiva:

E = 1

2mv²+1 2kx²

sostituendo il valore di x2(t) trovato in eq.5 e la sua derivata si ricava:

E = F²

2mω²sin²ωτ = α²

2mω²τ² sin²ωτ

2