Tutorato di Calcolo Scientifico e Metodi Numerici

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Tutorato di Calcolo Scientifico e Metodi Numerici

Corso di Laurea Triennale in Informatica

Esercitazione 6 (23/04/2021)

1. Si consideri il seguente sistema lineare







2x₁+ αx₂+ x₃ = 1 αx₁ + 2x₂ = 1 x₁+ 2x₃ = 1

dove α è un parametro reale. Stabilire per quali valori del parametro la matrice dei coefficienti del sistema è invertibile, per quali è definita positiva e per quali il metodo di Jacobi applicato al sistema converge. Posto poi α = 1, si calcolino le prime due iterate del metodo di Gauss-Seidel a partite da un vettore x⁽⁰⁾ non nullo. Senza fare calcoli e motivando opportunamente la risposta, si dica se nel caso α = ¹₂ il metodo di Gauss-Seidel converge.

SOLUZIONE.

A `e invertibile per α 6= ±1 ed `e definita positiva per −√

3 < α <√

3. Il metodo di Jacobi converge per −√

3 < α < √

3. Prendendo, ad esempio, come x⁽⁰⁾ = (1, 0, 0)^T, le prime due iterate del metodo di Gauss-Seidel sono

x⁽¹⁾ = (1/2, 1/4, 1/4)^T, x⁽²⁾ = (1/4, 3/8, 3/8)^T. Per α = ¹₂, il metodo di Gauss-Seidel converge perch`e...

2. Assegnato il sistema lineare Ax = b dipendente da un parametro β ∈ R, con

A =





−1 0 β

0 β 0

β 0 −1



, b =



 1 0 1





dire per quali valori del parametro il sistema ammette una sola soluzione e per quali il metodo iterativo di Gauss-Seidel risulta convergente se applicato al sistema Ax = b.

Fissato β = ¹₂, calcolare le prime due iterazioni del metodo di Jacobi a partire dal vettore iniziale x⁽⁰⁾ = b.

SOLUZIONE.

Il sistema Ax = b ammette un’unica soluzione per β 6= 0, ±1. Il metodo di Gauss-Seidel risulta convergente per −1 < β < 1. Posto β = ¹₂, le prime due iterate del metodo di Jacobi sono

x⁽¹⁾ = −(1/2, 0, 1/2)^T, x⁽²⁾ = −(5/4, 0, 5/4)^T .

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3. Sia β un parametro reale e si consideri la seguente matrice

A =





β 0 1

0 −3 0

β 2 −5



.

Si dica per quali valori di β il metodo iterativo di Jacobi e il metodo iterativo di Gauss- Seidel risultano essere convergenti se applicati al sistema Ax = b con b = (1, 1, 1)^T. Fissato β = ¹₂ si calcolino le prime due iterate del metodo di Jacobi e fissato β = 1 si calcolino le prime due iterate del metodo di Gauss-Seidel a partire dal vettore iniziale x⁽⁰⁾ = (0, 0, 0)^T.

SOLUZIONE.

I metodi di Gauss-Seidel e Jacobi convergono entrambi per ogni valore di β 6= 0.

Le iterate del metodo di Jacobi sono:

x⁽¹⁾ = (2, −1/3, −1/5)^T, x⁽²⁾ = (12/5, −1/5, −2/15)^T, quelle di Gauss-Seidel sono

x⁽¹⁾ = (1, −1/3, −2/15)^T, x⁽²⁾ = (17/15, −1/3, −8/75)^T,

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