Tutorato di Calcolo Scientifico e Metodi Numerici
Corso di Laurea Triennale in Informatica
Esercitazione 2 (19/03/2021)
1. Si considerino i seguenti vettori
v1 =
1
−1 1
, v2 =
1 0 1
, v3 =
0 1
−1
.
Si calcolino il vettore w = 2v1− v2 + 4v3 e i prodotti v1Tv2 e v2v1T. Si dica se v3 `e ortogonale ai vettori v1 e v2 e se `e un vettore normalizzato rispetto alla norma ∞ e alla norma 1. Se ne calcoli infine la norma 2.
SOLUZIONE.
w =
1 2
−3
, v1Tv2 = 2, v2v1T =
1 −1 1
0 0 0
1 −1 1
v3 non `e ortogonale n`e a v1 n`e v2 ed `e normalizzato solo rispetto alla norma ∞. Infine si ha che kv3k2 =√
2.
2. Date le matrici
A =
2 1 1/5
1/3 0 3
−1/2 1 0
5 −2 −1
, B =
−1 6
2 5
3 −4
−5/2 0
, e C =
2i 0 1 − i
2 3 + i 0
−1 + i 1 −1 + 2i
si calcoli il prodotto ATB e l’aggiunta della matrice C.
SOLUZIONE.
ATB =
−46/3 47/3
7 2
83/10 81/5
, C∗ =
−2i 2 −1 − i
0 3 − i 1
1 + i 0 −1 − 2i
3. Assegnate le matrici
L =
2 0 0 5 2 0 1 1 2
, M =
1/2 0 0
a 1/2 0
b c 1/2
con a, b e c numeri reali, calcolare il determinante di L, la matrice A = LLT e il suo determinante. Si determinino i valori dei parametri a, b e c che rendono la matrice M l’inversa di L e determinare inoltre l’inversa di A.
1
SOLUZIONE.
det(L) = 8, det(A) = det(LLT) = 64.
M `e l’inversa di L per a = −54, b = 38 e c = −14.
A−1 = MTM =
125
64 −2332 163
−2332 165 −18
3
16 −18 14
4. Si considerino le seguenti matrici
A =
α 1 0
1 3α 1
0 1 α
, B =
2β −1 β
−1 1 −1
β −1 2β
con α e β sono parametri reali. Determinare i valori di α che rendono invertibile la matrice A e, fissato α = 1, i valori di β che rendono B l’inversa di A. Si calcoli la norma 1, 2 e ∞ del vettore y = Ax, dove x = (2, i, 1 + i)T. Infine, si calcoli la somma y + z con z = (3 − 2i, 1 + 4i, −4 − 3i)T.
SOLUZIONE.
A `e invertibile per tutti gli α 6= 0, ± q2
3. B `e l’inversa di A per β = 1.
y =
2 + i 3 + 4i 1 + 2i
, y + z =
5 − i 4 + 8i
−3 − i
||y||1 = 5 + 2√
5, ||y||2 =√
35, ||y||∞ = 5.
2
