Tutorato di Calcolo Scientifico e Metodi Numerici
Corso di Laurea Triennale in Informatica
Esercitazione 4 (09/04/2021)
1. Si consideri la matrice
Q =
1 0 0
0 β β
0 β −β
.
Si determini al variare del parametro β lo spettro e il raggio spettrale. Si calcolino i valori di β che rendono Q ortogonale. Fissato uno di tali valori, si determini l’indice di condizionamento di Q con indice 1, 2 e ∞ e si risolva (nel modo pi`u conveniente) il sistema Qx = b con b = [1, 0, 1]T.
SOLUZIONE.
σ(Q) = {1, ±√ 2|β|}
ρ(Q) =
(1 se −
√2
2 ≤ β ≤
√2
√ 2
2|β| altrimenti Q `e ortogonale per β = ±
√ 2
2 , k1(Q) = k∞(Q) = 2 e k2(Q) = 1.
2. Si consideri il vettore v =0,√13,√23T
e si calcoli la sua norma 1, 2 e ∞. Si considerino poi le matrici
A = I − 2vvT, B = 1 7
7 0 0 0 5 β 0 β −1
.
Si determini il valore di β che rende B l’inversa di A. Si calcolino spettro, raggio spettrale e numero di condizionamento in norma 2 di A. Si determini, nel modo pi`u conveniente, quali sono gli autovalori di B e B2 se a β si assegna il valore trovato.
SOLUZIONE.
kvk1 =√
3, kvk2 = r5
3, kvk∞ = 2 3
√ 3 A e B sono una l’inversa dell’altra per β = −4.
σ(A) = n
1, 1, −7 3
o
, ρ(A) = 7
3, σ(B) = n
1, 1, −3 7
o
, σ(B2) = n
1, 1, 9 49
o .
3. Si considerino le matrici
L =
1 0 0 α α 0 1 0 1
, A =
2 −2 3
1 1 1
−1 1 1
, B =
0 1/2 −1/2
−1/5 1/2 1/10
1/5 0 2/5
,
dove β `e un parametro reale. Si dica, quali sono gli autovalori di L. Si verifichi che B
`e l’ inversa di A e si calcoli l’indice di condizionamento in norma 1 e ∞ di A. Infine, 1
nel caso α = 1/2 si risolva nel modo pi`u conveniente il sistema lineare L2x = b, dove b = [1, 1, 1]T.
SOLUZIONE.
σ(L) = {1, α, 1}, k1(A) = 5, k∞(A) = 7. La soluzione del sistema `e x = [1, 1, −1]T.
4. Utilizzando l’algoritmo di Gauss senza pivoting risolvere il sistema Ax = b con
A =
1 0 1/2
0 1/2 1/3 1/2 1/3 1
e b =
1 0
−1
.
SOLUZIONE.
x = [1/19, 36/19, −54/19]T.
5. Utilizzando l’algoritmo di Gauss con pivoting si risolva il sistema
x1+ x2+ 2x3 = 1/2 2x2+ x4 = 0
2x1+ x3+ x4 = −1/2 x1+ 2x2+ 2x4 =
SOLUZIONE.
x = [−1/2, 0, 1/2, 0]T.
2
