La legge di Gauss

La legge di Gauss

Testo di riferimento:

•  “Elementi di Fisica”, Mazzoldi, Nigro, Voci

a.a. 2017-2018

Dal programma

o  Carica elettrica. Struttura elettrica della materia. Forza di Coulomb. Campo

elettrostatico. Linee di forza del campo

Elettrostatico. Moto di una carica in campo elettrostatico. Sistemi di cariche puntiformi.

Esperienza di Millikan. Lavoro elettrico e

Potenziale Elettrostatico: Lavoro della forza elettrica: definizione di tensione e differenza di potenziale. Potenziale elettrostatico. Energia potenziale elettrostatica. Il campo come

gradiente del potenziale. Superfici

equipotenziali. Dipolo elettrico e forza su un dipolo elettrico. Legge di Gauss: Flusso del campo elettrostatico. Teorema di Gauss in

forma integrale. Applicazioni e conseguenze

del Teorema di Gauss.

Flusso del campo elettrico

o  definizione valida per un qualsiasi campo (E,B)

flusso infinitesimo attraverso superfice infinitesima dS=dS u_n

d φ ⁽ E) = ^! !

E ⋅ d !

S = EdS cos θ = E

dS

Flusso del campo elettrico

o  definizione valida per un qualsiasi campo (E,B)

flusso attraverso superfice finita (ed orientata)

φ

⁽ E) = ^! d φ =

∫

∫

^{E ⋅ d ! S = !} ∫

^{E dS cos θ}

Flusso del campo elettrico

o  definizione valida per un qualsiasi campo (E,B)

flusso attraverso superfice (finita) chiusa

•  per convenzione il vettore dS è in tal caso sempre orientata verso l’esterno della

superfice

φ

⁽ E) = ^! !

E ⋅ d !

S

S

"∫

Legge di Gauss

o  Il flusso del campo elettrostatico E attraverso una qualunque

superficie chiusa è uguale alla carica totale contenuta

all’interno della superfice diviso ε

n  nota bene: il campo E è il campo totale presente, dovuto anche a cariche esterne alla superficie chiusa

φ

⁽ E) = ^! !

E ⋅ dS !

u

= 1

ε

^q

!∫

Legge di Gauss

φ

⁽ E) = ^! !

E ⋅ dS !

u

= 1

ε

^q

!∫

o  valida anche per

carica distribuita con continuità

n  in un volume

n  su una superfice

n  su una linea

Parentesi: angolo solido

o  estensione del concetto di angolo dal piano allo spazio

dθ= ds/r = (ds’ cosα)/r dΩ=dS₀/r² = (dS cosα)/r²

radianti steradianti

Parentesi: angolo solido

dΩ=dS₀/r² = (dS cosα)/r²

dS₀ = (AB)Ÿ(CD)=

(rdθ)Ÿ(rsinθ dφ)

dΩ=dS₀/r² = = senθ dθ dφ

Per un angolo solido finito (superfice finita):

Ω = ∫ sin θ ^d θ ^d φ

Parentesi: angolo solido

dΩ=dS₀/r² = senθ dθ dφ

Ω = ∫ sin θ ^d θ ^d φ

Angolo solido di una superficie chiusa (“vista” dall’interno): 4π

Angolo solido di una superficie chiusa (“vista” dall’esterno: 0

dimostrazione per una sfera:

dΩ = sin θ ^d θ ^d φ = 2 π

0

∫

^{sin θ d θ}

Ω( θ

^, θ

) = 2 π ^(cos θ

− cos θ

⁾

Integrando tra θ₁ e θ₂

se θ₁ =0 e θ₂=θ:

Ω( θ ) = 2 π (1− cos θ ⁾

se θ₁ =0 e θ₂=π:

Ω = 4 π

Se deformiamo la sfera, per ogni elementino di superficie infinitesimo, l’angolo solido resta lo stesso

Dimostrazione Legge di Gauss

Procedimento

o  basta considerare una singola carica

puntiforme q e mostrare che il flusso vale:

n  q/ε

se la carica è interna n  0 se la carica è esterna

o  se ho più cariche (esterne od interne) à

principio di sovrapposizione

Dimostrazione Legge di Gauss

Elemento infinitesimo di superficie:

d φ ⁽ E) = ^! q 4 πε

u !

⋅ ! u

dS

r

= q 4 πε

dS cos θ

r

= q 4 πε

dS

r

d φ ⁽ E) = ^! q

4 πε

^dΩ dΩ = dS

cos θ

r

= dS

r

= dS

cos θ

r

= dS

r

Dimostrazione Legge di Gauss

Superficie chiusa:

φ ⁽ E) = ^! q

4 πε

!∫ ^dΩ

Carica interna:

!∫ dΩ ^{= 4 π}

Carica esterna:

!∫ dΩ ^{= 0}

Applicazioni della legge di Gauss

o  Esempio 3.1 (carica distribuita su una

superficie sferica)

Applicazioni della legge di Gauss

o   Esempio 3.2 (carica distribuita in un volume sferico)

Applicazioni della legge di Gauss

o   Esempio 3.3 (carica distribuita in un volume cilindrico)

E = λ 2 πε

1 r

r>R:

V (r) −V (R) = − λ

2 πε

^ln

r

R