1.1 La Serie geometrica

1 Lezione n.1 : Serie di Potenze

1.1 La Serie geometrica

Consideriamo serie geometrica di ragione x

1 + x + x

+ · · · + x

+ · · · =

∞

X

k=0

x

Ridotta n-sima

s

= 1 + x + x

+ · · · + x

.

Se x = 1 si ha

s

= 1 + 1 + · · · + 1 = n.

Sia x 6= 1. Si ha

1 + x + x

+ · · · + x

= 1 − x

1 − x Se |x| < 1 allora lim

x

= 0 e pertanto

n→∞

lim s

= lim

n→∞

1 − x

1 − x = 1

1 − x . Se x > 1, poich` e lim

x

= +∞ si ha

n→∞

lim s

= lim

n→∞

x

− 1 x − 1 = 1

x − 1 · lim

n→∞

x

− 1

x − 1 = +∞

Sia ora x = −1,

s

= 1 − (−1)

2 =

 0 , n = 2p 1 , n = 2p + 1 Pertanto la successione (s

)

non ` e regolare.

Sia infine x < −1. Possiamo scrivere x = −|x|, e quindi s

= 1 − (−|x|)

1 + |x| = 1 − (−1)

|x|

1 + |x|

=



 



 



1 − |x|

1 + |x| , n = 2p 1 + |x|

1 + |x| , n = 2p − 1 Ne segue che S

→ −∞ e S

→ +∞ e pertanto 6 ∃ lim

s

Allora

∞

X

k=0

x

= lim

n→∞

s

=



 

 

+∞ x ≥ 1

1

1 − x x ∈ (−1, 1)

6 ∃ x ≤ −1

1.2 Definizione e prime propriet` a

La Serie geometrica costituisce un caso particolare di serie di potenze

∞

X

n=0

a

(x − x

)

quando a

= 1 n = 0, 1, . . . . e x

= 0.

In generale i coefficienti a

costituiscono una successione di numeri reali.

Con una traslazione y = x − x

possiamo ricondurci al caso x

= 0 Infatti supponiamo di dover studiare l’insieme di convergenza della serie

∞

X

n=0

(x − 1)

Si pone y = x − 1 e si studia

∞

X

n=0

y

, che sappiamo essere convergente per |y| < 1.

|y| < 1 ⇐⇒ |x − 1| < 1 ⇐⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇐⇒ 0 < x < 2

Concentriamo la nostra analisi sul ruolo dei coefficienti a

. Osserviamo di aver incontrato gi` a le serie di potenze con nello studio delle serie numeriche (oltre le serie geometriche).

Facciamo alcuni esempi

∞

X

n=1

1 n x

.

Per il criterio del rapporto per le serie numeriche la serie converge (assolutamente) per

|x| < 1. Il caso |x| = 1 deve essere studiato separatamente per x = 1 la serie diverge (serie armonica), per x = −1 la serie converge (Criterio di Leibniz) pertanto l’insieme dove la serie converge ` e dato da (−1, 1) ∪ {−1}.

∞

X

n=1

1 n

x

.

Per il criterio del rapporto per le serie numeriche la serie converge (assolutamente) per

|x| < 1. |x| = 1 deve essere studiato separatamente per x = 1 la serie converge, per x = −1 la serie converge (Criterio di Leibniz) pertanto l’insieme dove la serie converge ` e dato da (−1, 1) ∪ {−1, 1}.

∞

X

n=1

1 n! x

.

Per il criterio del rapporto per le serie numeriche la serie converge (assolutamente) per

ogni x reale.

∞

X

n=1

n

x

.

Per il criterio del rapporto per le serie numeriche la serie converge solo per x = 0.

∞

X

n=1

3

x

.

Per il criterio del rapporto per le serie numeriche la serie converge (assolutamente) per |x| <

.

|x| =

deve essere studiato separatamente per x =

la serie diverge, per x = −

la serie ` e indeterminata.

Vediamo negli esempi che l’insieme di convergenza ` e un intervallo, l’analisi nei punti di estremo dell’intervallo varia da caso a caso. Indichiamo con E l’insieme dei punti x in cui la serie converge e definiamo raggio di convergenza della serie

r = sup E

Osserviamo che questa definizione ` e estendibile al caso complesso. Sia z ∈ C. Ripartendo dalla serie geometrica e ricordando che

|z| = p

(<z)

+ (=z)

` e il modulo di z.

abbiamo che la serie

∞

X

n=0

z

converge se |z| < 1. Nel piano complesso (<z, =z) l’insieme p(<z)

+ (=z)

< 1 individua il cerchio di centro 0 e raggio 1 privato della circonferenza. Il raggio di convergenza (in questo caso si ha perfetta corrispondenza con l’immagine grafica) ` e 1.

Dimostriamo ora che l’intuizione maturata sulla struttura dell’insieme di convergenza corrisponde a un risultato matematico.

Proposizione 1. Se la serie

∞

X

n=0

a

x

converge in un punto x

allora converge (assolutamente) in ogni punto x tale che |x| < |x

|.

Dimostrazione. Sappiamo che la serie

∞

X

n=0

a

x

converge. Assumiamo x

6= 0. Ne segue dalla condizione necessaria di convergenza

n→+∞

lim a

x

= 0, ne segue che esiste N ∈ N tale che per n > N

|a

x

| < 1.

Allora per n > N

|a

x

| = |a

x

|    

x

x

= |a

x

|    

x x

n

Quindi tenuto conto che |a

x

| < 1

∞

X

n=N +1

a

x

≤

∞

X

n=N +1

x x

n

L’ultima serie converge se |x| < |x

|.

2 Serie di Potenze ed equazione di Bessel di ordine zero

Illustriamo il Metodo di Frobenius per illustrare come determinare la soluzione dell’equazione di Bessel di ordine 0.

xy

(x) + y

(x) + xy(x) = 0, x > 0 Ricordiamo le equazioni di Bessel di ordine n

x

y

(x) + xy

(x) + (x

− n

)y(x) = 0, x > 0 Aggiungiamo la condizione in x = 0, y(0) = 1,

y

(x) = −xy

(x) − xy(x), y

(0) = 0 Ricapitolando vogliamo risolvere

( xy

(x) + y

(x) + xy(x) = 0, x > 0, y(0) = 1, y

(0) = 0

Assumiamo che la soluzione sia esprimibile in serie di potenze y(x) =

∞

X

n=0

a

x

, dalla condizione y(0) = 1 si ricava a

= 1. Dunque

y(x) =

∞

X

n=0

a

x

= 1 + a

x + a

x

+ a

x

+ · · · + · · · = 1 +

∞

X

n=1

a

x

= 1 +

∞

X

m=0

a

x

Calcoliamo i singoli termini

xy(x) =

∞

X

n=0

a

x

y

(x) = a

+

∞

X

n=0

(n + 2)a

x

y

(x) =

∞

X

n=0

(n + 2)(n + 1)a

x

xy

(x) =

∞

X

n=0

(n + 2)(n + 1)a

x

Sostituendo

∞

X

n=0

(n + 2)(n + 1)a

x

+ a

+

∞

X

n=0

(n + 2)a

x

+

∞

X

n=0

a

x

= 0 Riordinando

a

+

∞

X

n=0



a

+ (n + 2)

a



x

= 0.

Ricaviamo a

= 1, a

= 0.

a

+ (n + 2)

a

= 0 a

= − 1 (n + 2)

a

Se n ` e dispari a

= 0, se n ` e pari allora n = 2k k ∈ N

a

= − 1

2

(k + 1)

a

a

= − 1

2

a

= − 1 2

a

= − 1

2

1

2

a

= 1 2

1 2

1 2

= 1

2

1 2

a

= − 1

2

1

3

a

= − 1 2

1 3

1 2

1

2

= − 1 2

1 (3!)

. . .

. . . . . . ( a

= 0,

a

= (−1)

1 (n!)²

, Otteniamo

y(x) =

∞

X

n=0

(−1)

1 2

1

(n!)

x

=

∞

X

n=0

(−1)

1 (n!)

x

2

=

∞

X

n=0

(−1)

1 (n!)

 x 2



funzione di Bessel di ordine 0.

3 Lezione n.2 : Serie di Potenze

3.1 Criteri per la determinazione del raggio di convergenza Teorema 3.1. (Criterio di Cauchy) Se esiste il limite (anche +∞)

n→+∞

lim

p|a

| = l , allora

r = 1 l

Teorema 3.2. (Criterio di D’Alembert) Sia a

6= 0, per ogni n. Se esiste il limite (anche +∞)

n→+∞

lim    

a

a

= l , allora

r = 1 l . Se l = +∞ allora r = 0, se l = 0 allora r = +∞

Esercizio 3.3. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze

∞

X

n=0

n  x 3



.

Risulta

X

n=0

n  x 3



=

∞

X

n=0

n  1 3



x

Calcoliamo

a

a

=

(n + 1)



1 3



n



1 3



= 1

3 (1 + 1 n ).

Ne segue l =

e r = 3

Ricapitolando: data la serie di potenze, P

n=0

a

x

determiniamo il raggio di convergenza r (i criteri non fanno intervenire x). Allora la serie converge assolutamente per |x| < r, non converge per |x| > r, in generale nulla si pu` o dire per |x| = r.

Ricapitolando

Teorema 3.4. Data la serie di potenze si verifica sempre uno dei seguenti casi

• la serie converge per x = 0

• la serie converge per ogni x reale

• la serie converge per |x| < r e non converge per |x| > r

4 Serie di Potenze: Integrale e Derivata

4.1 Derivazione termine a termine Sia P

n=0

a

x

una serie di potenze con raggio di convergenza r > 0 e con somma f (x) =

∞

X

n=0

a

x

|x| < r.

La serie derivata

X

n=1

na

x

ha lo stesso raggio di convergenza della serie P

n=0

a

x

(applicare il criterio di D’Alembert), la somma f (x) ` e derivabile e vale

f

(x) =

∞

X

n=1

na

x

|x| < r.

Vediamo un’applicazione del risultato.

1 1 + x =

+∞

X

n=0

(−1)

x

|x| < 1

1 (1 + x)

=

+∞

X

n=1

(−1)

nx

|x| < 1

4.2 Integrazione termine a termine Sia P

n=0

a

x

una serie di potenze con raggio di convergenza r > 0 e con somma f (x) =

∞

X

n=0

a

x

|x| < r.

Si ha

Z

f (s)ds =

+∞

X

n=0

a

x

n + 1 |x| < r Utilizziamo questo risultato.

1 1 + x

=

+∞

X

n=0

(−1)

x

|x| < 1,

Integrando

arctan x =

+∞

X

n=0

(−1)

1

2n + 1 x

|x| < 1

Possiamo utilizzare il risultato per integrare per serie alcune funzioni non integrabili elementarmente. Per a > 0 calcoliamo

Z

sin x x d x =

Z

+∞

X

n=0

(−1)

1

(2n + 1)! x

dx =

+∞

X

n=0

(−1)

1

(2n + 1)! a

. Introduciamo la funzione degli errori introdotta da Gauss

erf(x) = 2

√ π Z

0

e

dt = 2

√ π Z

0 +∞

X

n=0

(−1)

1

n! t

dx = 2

√ π

+∞

X

n=0

(−1)

1

n!(2n + 1) x

.

5 Lezione n.3: Serie di Taylor

Data una funzione f ∈ C

(x

− r, x

+ r) la serie

+∞

X

n=0

f

(x

)

n! (x − x

)

si dice serie di Taylor relativa al punto x

. Se vale

f (x) =

+∞

X

n=0

f

(x

)

n! (x − x

)

|x − x

| < r, la funzione f si dice sviluppabile in serie di Taylor per x: |x − x

| < r.

Il seguente esempio mostra che che esistono funzioni f ∈ C

(−r, r) che non sono uguali alla serie di Taylor.

Esempio 5.1.

f (x) =

( e

x 6= 0

0 x = 0

La funzione presenta derivate tutte nulle in x

= 0, e quindi la serie di Taylor ad essa relativa vale 0 e non coincide con la funzione.

Funzioni analitiche (in senso reale).

Definizione 5.2. Una funzione f : I → R (I intervallo con (x

− r, x

+ r) ⊂ I) si dice analitica in senso reale se ` e sviluppabile in serie di Taylor in un intorno (x

− r, x

+ r) di x

. f si dice analitica in I se ` e analitica in ogni punto di I.

Ci occupiamo di condizioni di sviluppabilit` a di una funzione in serie di Taylor.

Definizione 5.3. Se f ` e derivabile n + 1 volte, il resto dato dalla formula di Taylor r(x

, n, x) = r

(x

, x) = f (x) −

n

X

k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

Sappiamo (resto di Peano) che

r(x

, n, x) = o((x − x

)

) x → x

. Ci occupiamo di condizioni per cui

r(x

, n, x) → 0 n → +∞

5.1 Resto Integrale e di Lagrange Deduciamo ora altre espressioni del resto

Teorema 5.4. Se f ` e derivabile n + 1 volte, il resto si pu` o esprimere r

(x

, x) =

Z

f

(t)

n! (x − t)

dt

Dimostrazione. La dimostrazione del risultato segue il principio di induzione. Per n = 0 il risultato segue da

f (x) − f (x

) = Z

x0

f

(t)dt.

Assumiamo vera l’affermazione al passo n − 1. Il resto al passo n − 1 si esprime

r

(x

, x) = f (x) −

n−1

X

k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

. Si ha

r

(x

, x) = Z

x0

f

(t)

(n − 1)! (x − t)

dt = Z

x0

f

(t) (n − 1)!



− (x − t)

n



dt =

−  (x − t)

n! f

(t)



+ Z

x0

f

(t) (x − t)

n! dt

= (x − x

)

n! f

(x

) + Z

x0

f

(t) (x − t)

n! dt In conclusione

r(x

, n − 1, x) = f (x) −

n−1

X

k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

= (x − x

)

n! f

(x

) + Z

x0

f

(t) (x − t)

n! dt, e quindi

r

(x

, x) = f (x) −

n

X

k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

= f (x) −

n−1

X

k=0

f

(x

)

k! (x − x

)

− (x − x

)

n! f

(x

) = Z

x0

f

(t) (x − t)

n! dt.

Dalla formula del resto integrale si deduce la formula del resto di Lagrange.

Teorema 5.5. Se f ` e derivabile n + 1 volte in un intervallo I e x, x

sono punti di I, esiste un punto ξ compreso tra x e x

tale che

r

(x

, x) = f

(ξ) (x − x

)

(n + 1)! ,

Dimostrazione.

r

(x

, x) = Z

x0

f

(t) (x − t)

n! dt =

Assumiamo x > x

. In [x

, x] applichiamo il teorema della media integrale m ≤ f

(t) ≤ M,

essendo

m = min

[x0,x]

f

(t) M = max

[x0,x]

f

(t).

Abbiamo

m (x − x

)

(n + 1)! ≤

Z

f

(t) (x − t)

n! dt ≤ M (x − x

)

(n + 1)!

Ossia

m ≤  (x − x

)

(n + 1)!



Z

f

(t) (x − t)

n! dt ≤ M Dal teorema dei valori intermedi applicato a f

, si ha che esiste ξ per cui

f

(ξ) =  (x − x

)

(n + 1)!



Z

f

(t) (x − t)

n! dt, da cui la tesi.

5.2 Condizioni di convergenza

Teorema 5.6. Se la funzione f ` e derivabile infinite volte in un intervallo (a, b) e se esistono due numeri reali L e M tali che

|f

(x)| ≤ M L

∀x ∈ (a, b) ∀n,

allora per ogni x

∈ (a, b) la funzione ` e sviluppabile in serie di Taylor centrata in x

.

Esempi di funzioni analitiche in R: e

, sin x, cos x. La dimostrazione segue dall’espressione del resto di Lagrange.

6 Seconda settimana di lezione

6.1 Esercizi:La formula del Binomio e la Formula di Eulero Le formula di Eulero: per x ∈ R, i unit`a immaginaria.

cos x = e

+ e

2 sin x = e

− e

2i Ricordiamo la

Formula di triplicazione

cos 3x + i sin 3x = (e

)

= (cos x + i sin x)

=

= cos

x − i sin

x + 3i cos

x sin x − 3 sin

x cos x.

Uguagliando la parte reale e la parte immaginaria dei due numeri cos(3x) = cos

x − 3 sin

x cos x sin(3x) = − sin

x + 3 cos

x sin x Pi` u in generale si ha

Proposizione 2. Si ha cos(nx) =

n

X

k=0

n k



cos (n − k)π

2 cos

x sin

x, n ∈ N Dimostrazione.

cos(nx) =  e

+ e

2



=  (e

)

+ (e

)

2



= (cos x + i sin x)

+ (cos x − i sin x)

2 =

n

X

k=0

n k

 cos

x(i sin x)

+ cos

x(−i sin x)

2 =

n

X

k=0

n k

 (i)

+ (−i)

2 cos

x sin

x =

n

X

k=0

n k

 (e

)

+ (e

)

2 cos

x sin

x =

n

X

k=0

n k

 (e

) + (e

)

2 cos

x sin

x =

n

X

k=0

n k



cos (n − k)π

2 cos

x sin

x

Esercizio 6.1. Dalla formula di Eulero, x ∈ R, i unit`a immaginaria i

= −1.

sin x = e

− e

2i , ricavare

sin(nx) =

n

X

k=0

n k



sin (n − k)π

2 cos

x sin

x, n ∈ N Le funzioni sin x e cos x sono funzioni periodiche di periodo 2π

Proposizione 3. Si ha

n

X

k=0

sin(kx) = − cos(n +

)x + cos

2 sin(

)

e

X

k=0

cos(kx) = sin(n +

)x 2 sin(

) + 1

2

7 Polinomi trigonometrici

Un polinomio trigonometrico ` e una combinazione lineare finita di funzioni sin(nx) e cos(nx) e per alcuni valori di interi positivi. E’ una funzione periodica di periodo 2π.

s

(x) = a

/2 +

n

X

k=1

a

cos(kx) + b

sin(kx)

8 Funzioni periodiche

Una funzione f : R → R si dice periodica di periodo T > 0 se f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ R Il pi` u piccolo numero T (se esiste) si dice periodo minimo.

E’ interessante osservare l’invariata per traslazione dell’integrale di una funzione periodica Z

0

f (x + y)dx = Z

0

f (x)dx

Cominciamo con l’osservare la seguente propriet` a. Per ogni numero reale a Z

a

f (x)dx = Z

0

f (x)dx Infatti

Z

f (x)dx = Z

0

f (x)dx + Z

a

f (x)dx

Z

f (x)dx = Z

0

f (x)dx − Z

0

f (x)dx = Z

0

f (x)dx − Z

0

f (x + T )dx = Z

0

f (x + T )dx = Z

T

f (x)dx Ne consegue

Z

f (x)dx = Z

0

f (x)dx.

In pi` u

Z

f (x + y)dx = Z

y

f (t)dt = Z

0

f (x)dx

9 Serie di Fourier

Supponiamo che la successione di somme parziali s

(x) converga per ogni x ∈ R. Otteniamo la serie trigonometrica di coefficienti a

, a

, b

.

a

/2 +

∞

X

k=1

a

cos(kx) + b

sin(kx)

Data una funzione f periodica di periodo 2π ci chiediamo se essa sia sviluppabile in una serie trigonometrica ossia se si possono determinare i coefficienti a

a

b

in modo che la serie converga ed abbia come somma f (x).

9.1 Ortonormalit` a

Per n = 1, 2, . . . ; m = 1, 2, . . . risulta Z

−π

sin(mx) sin(nx)dx =

( 0 m 6= n

π m = n

Z

−π

cos(mx) cos(nx)dx =

( 0 m 6= n π m = n 6= 0 Z

−π

cos(mx) sin(nx)dx = 0 1

π Z

−π

sin(mx) sin(nx)dx = δ

; 1 π

Z

−π

cos(mx) cos(nx)dx = δ

δ

` e il simbolo di Kronecker

δ

=

( 0 m 6= n

1 m = n

Identit` a di Weber per n, m ∈ N sin(mx) sin(nx) = 1

2 (cos((n − m)x) − cos((n + m)x)
sin(nx) cos(mx) = 1

2 (sin((n − m)x) + sin((n + m)x)
cos(nx) cos(mx) = 1

2 (cos((n − m)x) + cos((n + m)x)
Moltiplicando f (x) per cos(mx) e sin(mx) ed integrando tra −π, π si ottiene

a

= 1 π

Z

−π

f (x) cos(mx)dx

b

= 1 π

Z

−π

f (x) sin(mx)dx

Le costanti sopra definite si chiamano coefficienti di Fourier di f (x). La serie, una volta

specificati i coefficienti, si chiama Serie di Fourier di f (x).

Funzioni pari:

b

= 0 a

= 2 π

Z

f (x) cos(mx)dx Funzioni dispari:

a

= 0 b

= 2 π

Z

f (x) sin(mx)dx

9.2 Esempio

f (x) =

( 0 − π < x ≤ 0 1 0 < x ≤ π

prolungata per periodicit` a I coefficienti di Fourier sono a

= 1, a

= 0 b

=

La serie di Fourier ` e data da

1 2 + 2

π

∞

X

k=0

sin(2k + 1)x 2k + 1 Esercizio 1 Data la funzione

f (x) = |x|x,

per x ∈ [−π, π) e prolungata per periodicit` a in R determinare le serie di Fourier.

La funzione ` e dispari, pertanto a

= 0, a

= 0, ∀k ∈ N . b

= 1

π

 Z

−π

−x

sin kxdx + Z

0

x

sin kxdx



=

= 1 π



− Z

π

−x

sin k(−x)dx + Z

0

x

sin kxdx



=

= 1 π

 Z

x

sin kxdx + Z

0

x

sin kxdx



= 2 π

Z

x

sin kxdx

 .

Risulta: Z

x

sin kxdx = − Z

x

1

k (cos kx)

dx =

− 1

k x

(cos kx) + 2 k

Z

x cos kxdx = Z

0

x

sin kxdx = − 1

k x

(cos kx)|

+ 2 k

Z

x cos kxdx =

= − 1

k π

(−1)

+ 2 k

Z

x(sin kx)

dx =

= − 1

k π

(−1)

+ 2

k

(−1)

− 2 k

Quindi incata S

la serie di Fourier relativa a f , si ha

S

= 2 π

+∞

X

k=1



− 1

k π

(−1)

+ 2

k

(−1)

− 2 k

 sin kx.

Esercizio 2 Sia c un parametro reale positivo e f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando per periodicit´ a su R la funzione

x ∈ (−π, π] → e

Determinare la serie di Fourier di f .

Se c >

, risulta f (x) = e

, pertanto la serie vale:

sinh cπ πc + 2

π sinh cπ

+∞

X

k=1

(−1)

k

+ c

(c cos kx − k sin kx).

Se c ≤

, risulta f (x) = e

, dunque la serie vale:

sinh 1 + 2 π sinh 1

+∞

X

k=1

(−1)

k

+ (1/π

) ( 1

π cos kx − k sin kx).

Esercizio 3 Sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando per periodicit´ a su R la funzione

f (x) =

 0, −π < x ≤ 0

−3x, 0 < x ≤ π . Determinare la serie di Fourier di f .

La serie di Fourier ` e data da a

2 +

+∞

X

k=1

[a

cos(kx) + b

sen(kx)] ,

dove:

a

= 1 π

Z

−π

f (x)dx,

a

= 1 π

Z

−π

f (x)cos(kx)dx, k = 1, 2, ...

b

= 1 π

Z

−π

f (x)sen(kx)dx, k = 0, 1, 2, ...

Calcoliamo i coefficienti di Fourier della f . a

= − 1

π Z

0

3xdx = − 3

2 π;

a

= − 3 π

Z

xcos(kx)dx = − 3 π

 (−1)

− 1 k



;

b

= − 3 π

Z

xsin(kx)dx = − 3

k (−1)

= 3 k (−1)

. la serie di Fourier richiesta ` e:

− 3π 4 + 6

π

∞

X

k=0

cos(2k + 1)x (2k + 1)

+ 3

∞

X

k=1

(−1)

sin(kx)

k .

Esercizio 4 Sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando per periodicit` a su R la funzione

f (x) = max {2, 2 − x} , x ∈ (−π, π].

Determinare la serie di Fourier di f . La serie di Fourier ` e data da

a

2 +

+∞

X

k=1

[a

cos(kx) + b

sen(kx)] ,

dove:

a

= 1 π

Z

−π

f (x)dx,

a

= 1 π

Z

−π

f (x)cos(kx)dx, k = 1, 2, ...

b

= 1 π

Z

−π

f (x)sen(kx)dx, k = 0, 1, 2, ...

Osserviamo che:

f (x) =

 2 − x, x ∈ (−π, 0) 2, x ∈ [0, π] . Dunque:

a

= 1 π

Z

−π

(2 − x)dx + 1 π

Z

0

2dx = π 2 + 4.

a

= 1 π

Z

−π

(2 − x)cos(kx)dx + Z

0

2cos(kx)dx =

= 1

πk

[(−1)

− 1].

b

= 1 π

Z

−π

(2 − x)sen(kx)dx + 1 π

Z

0

2sen(kx)dx = 1 k (−1)

. La serie di Fourier richiesta ` e:

1 2

 π 2 + 4

 +

+∞

X

k=1

 1

πk

[(−1)

− 1] cos(kx) + 1

k (−1)

sen(kx)



.

Ricordiamo: se f ` e pari allora b

= 0, ∀k; se f ` e dispari allora a

= 0, ∀k; inoltre per la 2π periodicit` a della funzione f vale

Z

−π−a

f (x)dx = Z

−π

f (x)dx, per ogni a numero reale.

9.3 Disuguaglianza di Bessel Consideriamo

a

2 +

+∞

X

k=1

[a

cos(kx) + b

sen(kx)] , dove:

a

= 1 π

Z

−π

f (x)dx,

a

= 1 π

Z

−π

f (x)cos(kx)dx, k = 1, 2, ...

b

= 1 π

Z

−π

f (x)sen(kx)dx, k = 0, 1, 2, ...

Teorema 9.1. Sia f : [−π, π] limitata e integrabile a

2 +

+∞

X

k=1

a

+ b

≤ 1 π

Z

−π

f

(x)dx

Dimostrare la disuguaglianza.

Dalla disuguaglianza di Bessel segue

k→+∞

lim a

= 0, lim

k→+∞

b

= 0, ossia

lim

k→+∞

Z

−π

f (x)cos(kx)dx = lim

k→+∞

Z

−π

f (x)sen(kx)dx = 0.

9.4 Nucleo di Dirichlet

d

= 1 2 +

n

X

k=1

cos(kx) Si ha

d

= 1 2 +

n

X

k=1

cos(kx) = sin((n +

)x) 2 sin(

))

Infatti sommiamo da 1 a n i due membri dell’identit` a trigonometrica sin((k + 1

2 )x) − sin((k − 1

2 )x) = 2 sin( x

2 ) cos(kx)

n

X

k=1

(sin((k + 1

2 )x) − sin((k − 1

2 )x)) = sin((n + 1

2 )x) − sin( x 2 ) Inoltre

1 π

Z

d

(t)dt = 1 π

Z

−π

d

(t)dt = 1 2 . Segue da d

(t) =

+ P

k=1

cos(kt) ed effettuando l’integrazione.

9.5 Formula di Dirichlet

Teorema 9.2. Sia f periodica di periodo 2π integrabile in [−π, π]. La somma parziale s

(x) della serie di Fourier di f si pu` o esprimere in termini del nucleo di Dirichlet (integrale di convoluzione)

s

(x) = 1 π

Z

−π

f (x + t)d

(t)dt, ove

d

(x) = sin(n +

)x 2 sin(

)

La dimostrazione ` e basata sul seguente calcolo. Per definizione di s

(x) s

(x) = 1

π Z

−π

f (y)[ 1 2 +

n

X

k=1

(cos(kx) cos(ky) + sin(kx) sin(ky))dy] =

1 π

Z

−π

f (y)[ 1 2 +

n

X

k=1

(cos(k(x − y))]dy = 1 π

Z

−π−x

f (x + t)[ 1 2 +

n

X

k=1

(cos(kt)]dt = 1

π Z

−π

f (x + t) sin((n +

)t) 2 sin(

) dt 9.6 Teorema di Convergenza Puntuale

Definizione 9.3. Data una funzione f : [a, b] → R diciamo che f `e regolare a tratti in [a, b] se esistono un numero finito di punti x

, i = 0, 1, 2, . . . , N con a

= x

= x

< x

<

x

· · · < x

= b tali che f ` e derivabile con derivata continua in ogni intervallo (x

, x

), e la restrizione di f

a (x

, x

) ` e prolungabile con continuit` a in [x

, x

]. Se la funzione f ` e definita su R, allora diciamo f `e regolare a tratti in R se `e regolare a tratti in ogni intervallo [a,b] contenuto in R.

Convergenza Puntuale Per ogni x reale la successione s

(x) converge a f (x). ovvero perogni x ∈ R e per ogni  > 0 esiste un indice N (x.) the che

|s

(x) − f (x)| <  ∀N > N (x, )

Teorema 9.4. Sia f una funzione periodica regolare a tratti su R. Per ogni x reale la serie di Fourier converge alla media aritmetica tra il limite destro e il limite sinistro:

1 2



f (x

) + f (x

)



,

e a f (x) nei punti di continuit` a.

Dobbiamo considerare s

(x) − 1

2



f (x

) + f (x

)



= 1 π [

Z

(f (x + t) − f (x

)) sin(n +

)t 2 sin(

) dt+

Z

−π

(f (x + t) − f (x

)) sin(n +

)x 2 sin(

) dt, Poniamo

F (t) =



 

 

 

 

 

 

 

 

f (x+t)−f (x+)

2 sin(₂^t)

0 < t ≤ π

0 t = 0

f (x+t)−f (x−)

2 sin(₂^t)

−π < t ≤ 0

Ne segue dalle ipotesi su f che esiste il limite per t → 0

e per t → 0

di F. Infatti

t→0

lim

F (t) = f

(x) lim

t→0⁻

F (t) = f

(x) F ` e continua a tratti in [−π, π], dunque integrabile e limitata. Inoltre

s

(x) − 1 2



f (x

) + f (x

)



= 1 π

Z

−π

F (t)sin((n + 1 2 )t)dt.

Del resto

1 π

Z

−π

F (t)sin((n + 1

2 )t)dt = 1

π Z

−π

F (t) cos t

2 sin(nt)dt + 1 π

Z

−π

F (t) sin t

2 cos(nt)dt Dalla disuguaglianza di Bessel si deduce che

Z

−π

F (t) sin t

2 cos(nt)dt → 0 per n → +∞.

Z

−π

F (t) cos t

2 sin(nt)dt → 0 per n → +∞.

In conclusione

Z

−π

F (t)sin((n + 1

2 )t)dt → 0,

per n → +∞.

9.7 Esercizio

Sia f la funzione periodica di periodo 2π ottenuta prolungando per periodicit´ a su R la funzione f (x) =

 0, −π < x ≤ 0

−3x, 0 < x ≤ π .

− 3π 4 + 6

π

∞

X

k=0

cos(2k + 1)x (2k + 1)

+ 3

∞

X

k=1

(−1)

sin(kx)

k .

Poich` e f ` e continua in tutti i punti di R distinti da π +2kπ, k ∈ Z, dal teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourier la serie converge ad f in tali punti. Notiamo che, se x = π, la serie si riduce a :

− 3π 4 − 6

π

∞

X

k=0

1 (2k + 1)

. Poich´ e

∞

X

k=0

1

(2k + 1)

= 1 8 π

, questa somma vale:

f (π

) + f (π

)

2 = − 3π

2 .

10 Terza settimana: Serie di Fourier in forma complessa

Data

a

/2 +

∞

X

k=1

a

cos(kx) + b

sin(kx) =

∞

X

k=−∞

γ

e

∞

X

k=−∞

γ

e

= γ

+

∞

X

k=1

(γ

cos(kx) + iγ

sin(kx)) + γ

cos(−kx) + iγ

sin(−kx)) =

γ

+

∞

X

k=1

(γ

+ γ

) cos(kx) + i(γ

− γ

) sin(kx) γ

= a

/2

γ

+ γ

= a

i(γ

− γ

) = b

e

γ

+ γ

= a

γ

− γ

= −ib

Sommando

γ

= 1

2 (a

− ib

)

Sottraendo

γ

= 1

2 (a

+ ib

) E’ utile scrivere la serie di Fourier nella forma

∞

X

k=−∞

γ

e

Risulta per n 6= m 1 2π

Z

−π

e

e

dx = 1 2π

Z

−π

e

dx = 1 2π

e

i(n − m) |

= 0.

In conclusione

1 2π

Z

−π

e

e

dx = δ

γ

= 1 2π

Z

−π

f (x)e

dx

10.1 Serie di Fourier per funzioni periodiche di periodo T 6= 2π.

Sia f periodica di periodo T 6= 2π. Consideriamo ˜ f (τ ) = f (

), allora ˜ f ` e periodica di periodo 2π.

La serie di Fourier di ˜ f ` e data da a

/2 +

∞

X

k=1

a

cos(kτ ) + b

sin(kτ )

La serie di Fourier di f risulta (t :=

) a

/2 +

∞

X

k=1

a

cos( 2kπ

T t) + b

sin( 2kπ T t) i cui coefficienti sono

a

= 1 π

Z

−π

f (τ ) cos(kτ )dτ = ˜ 2 T

Z

−T /2

f (t) cos( 2kπ T t)dt k = 0, 1 . . .

b

= 1 π

Z

−π

f (τ ) sin(kτ )dτ = ˜ 2 T

Z

−T /2

f (t) sin( 2kπ T t)dt k = 1 . . .

10.2 Topologia in R

, punti interni, esterni, e di frontiera. Insiemi aperti, chiusi, chiusura di un insieme, domini. Funzioni di due variabili, nozione di limite

Argomenti di teoria *vedere libro*

10.3 Esercizio.

Calcolare l’insieme di definizione delle funzioni

f (x, y) = ln(2 − x

+ y

) f (x, y) = ln(x

+ y

) f (x, y) = ln(1 − x

) + ln(1 − y

)

f (x, y) = 1 x

+ y

f (x, y) = 1

x

+ y

− 4 f (x, y) =

q sin p

x

+ y

10.4 Esercizio.

Verificare

lim

(x,y)→(0,0)

y

p x

+ y

= 0 10.5 Esercizio.

Esempio di funzione che non ammette limite per (x, y) → (0, 0) anche se lim

(x,y)→(0,0)

f (x, mx) = 0 f (x, y) = xy

x

+ y

Si ha

f (x, mx) = x(mx)

x

+ (mx)

= mx 1 + m

x

, quindi

lim

(x,y=mx)→(0,0)

f (x, mx) = 0.

Mentre

f (y

, y) = y

y

+ y

= y

2y

= 1

2 , quindi

lim

(x=y²,y)→(0,0)

f (y

, y) = 1

2 .

10.6 Continuit` a, Derivate parziali, Derivabilit` a 10.7 Esercizio.

Calcolare f

f

ove definite

f (x, y) = x + y f (x, y) = xy

f (x, y) = x y f (x, y) = p

(x

+ y

) f (x, y) = p

(x

+ 4) f (x, y) = sin (xy) f (x, y) = arctg (xy)

f (x, y) = ln (xy) f (x, y) = ln (x + y)

f (x, y) = π

10.8 Esercizio.

Calcolare la matrice hessiana

f (x, y) = e

cos y

Una funzione si dice armonica in un aperto A di R

se ammette derivate seconde f

f

che verificano l’equazione di Laplace

f

+ f

= 0 Argomenti di teoria *vedere libro*

10.9 Esercizi

Verificare che le le seguenti funzioni sono armoniche f (x, y) = x

− y

f (x, y) = e

cos y f (x, y) = ln(x

+ y

)

11 Quarta settimana

Teorema di Schwarz con dimostrazione (vedere libro)

Differenziabilit` a (vedere libro). Esempio di una funzione che ammette derivate parziali in (0, 0) ma non ` e continua in (0, 0). La differenziabilit` a implica la continuit` a

Notazione f ∈ C

(A): f ` e dotata di derivate parziali prime continue.