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Scritto d’esame — 21 giugno 2002

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Scritto d’esame — 21 giugno 2002

1. L’equazione

x 3

3 + y 3 + xy = 0

definisce una sola funzione implicita in un intorno del punto x = − p2/3.

3

Dire se il punto x = − p2/3 `e di minimo o di massimo o nessuno dei due.

3

(Verificare in particolare che il punto (− p2/3, −

3

p4/9) soddisfa l’equazione).

3

2. Data la forma differenziale ω definita in R 2 \ {(0, 0)} dall’espressione

ω(x, y) = 1 1 + x 2 + y 2

e x

2

px 2 + y 2 dx + y

px 2 + y 2 dy

! ,

calcolare

h→+∞ lim Z

γ(h)

ω,

dove γ(h) `e il segmento che congiunge il punto (0, 1) al punto (0, h).

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