GRAVITAZIONE UNIVERSALE E APPLICAZIONIPer la classe settima della licenza liceale europeaA cura di Raffaele SANTORO

GRAVITAZIONE UNIVERSALE E APPLICAZIONI

Per la classe settima della licenza liceale europea A cura di Raffaele SANTORO

Scuola Europea di Lussemburgo - A.S. 1995-96

INTRODUZIONE ... 2

1 LE LEGGI DI KEPLERO ... 3

2 LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE DI NEWTON ... 3

VERIFICHE:... 4

LA MASSA DELLA TERRA... 5

VARIAZIONE DELL’ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ DELLA TERRA... 5

3 SATELLITI ARTIFICIALI DELLA TERRA... 6

IMPONDERABILITÀ APPARENTE... 7

4 ENERGIA GRAVITAZIONALE E POTENZIALE GRAVITAZIONALE... 7

VELOCITÀ DI FUGA... 8

5 PROBLEMI (RISOLTI O CON RISPOSTA) ... 9

Introduzione

Questi appunti, corrispondenti al capitolo V del programma di Fisica previsto per le classi 6-7 delle Scuole Europee, non hanno alcuna pretesa di sostituirsi ad uno dei tanti ottimi libri di testo in circolazione.

Il taglio particolare della trattazione e la scelta dei problemi proposti e/o risolti danno un’idea del loro scopo principale: guidare gli studenti della classe settima a sostenere l’esame scritto o l’esame orale di Fisica della licenza liceale europea.

Inoltre, i problemi proposti non hanno alcuna pretesa di originalità e provengono in larga parte dall’archivio delle prove preliminari o di licenza liceale europea degli ultimi anni. Altri problemi prendono spunto da alcuni problemi proposti nell’ottimo libro di R. WOLFSON e J. M. PASACHOFF, PHYSICS with Modern Physics for Scientists and Engineers, Harper Collins, Second Edition, 1994.

Proprio per aiutare gli studenti a ripetere la materia, tutti i problemi presentati sono o risolti o hanno un breve suggerimento per la risoluzione o hanno la risposta, numerica o simbolica.

Luxembourg, Novembre 1995

1 Le leggi di Keplero

Keplero, verso la fine del Cinquecento, ha potuto disporre dei risultati delle osservazioni astronomiche di Ticho Brahe circa i diversi pianeti del sistema solare. Dopo un’analisi dettagliata di detti risultati, Keplero enunciò, nel 1619, le seguenti leggi:

I I pianeti ruotano attorno al sole lungo orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi.

Il punto P, dell’orbita del pianeta, si chiama perielio, ed è il punto di minima distanza del pianeta dal Sole.

Il punto A, dell’orbita del pianeta si chiama afelio, ed è il punto di massima distanza del pianeta dal Sole.

II Le aree descritte dalle linee (immaginarie) che uniscono i pianeti al Sole sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle; in particolare, in tempi uguali descrivono aree uguali.

In base a questa legge, avendo le due aree colorate in figura la stessa area (perché descritte in tempi

uguali), ma essendo manifestamente (arco A’B’) >

(arco AB), allora il pianeta ha una velocità maggiore quando percorre l’arco A’B’; in particolare un dato pianeta ha:

velocità massima al perielio, velocità minima all’afelio.

III Il quadrato del periodo di rivoluzione (T) di un pianeta attorno al sole é proporzionale al cubo della sua distanza media (R) dal sole: T² =kR³.

La costante k ha lo stesso valore per tutti i pianeti orbitanti attorno al Sole. In base a questa legge, i pianeti più lontani dal Sole hanno un periodo di rivoluzione attorno al Sole più grande.

2 La legge di gravitazione universale di Newton

Keplero si era limitato a fornire la geometria del moto dei pianeti attorno al Sole. Circa 50 anni dopo, Isaac Newton enunciò la legge dinamica che

costringe i pianeti a muoversi attorno al Sole, ritrovando non solo i risultati di Keplero come casi particolari, ma generalizzando anche la dinamica di un qualunque sistema di corpi forniti di massa, sia che si tratti di corpi posti sulla Terra, sia che si tratti di corpi posti ovunque nell’Universo, unificando in tal modo la meccanica terrestre con la meccanica celeste.

In particolare, Newton mostrò che:

• ogni corpo in moto attorno al Sole con le modalità della seconda legge di Keplero, deve essere sottoposto ad una forza diretta verso il Sole;

• se questa forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza del

corpo dal sole, allora la sua orbita è una conica (circonferenza, ellisse, parabola o iperbole);

• infine, se l’orbita è chiusa (circonferenza o ellisse), allora il suo periodo si calcola con la terza legge di Keplero.

Dunque una forza centrale (cioè diretta verso un corpo ‘fisso’) inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro di attrazione é consistente con tutte e tre le leggi di Keplero, e, quindi, con i dati

sperimentali di Ticho Brahe.

Inoltre Newton propose che lo stesso tipo di forza obbliga:

S

A P

• i corpi a cadere sulla Terra e la Luna a muoversi attorno alla Terra;

• i satelliti di Giove a muoversi attorno a Giove.

Infine, a causa della terza legge della dinamica di Newton, la forza tra il Sole ed i pianeti, o tra una qualunque coppia di corpi è reciproca: così, anche la Terra esercita una forza sul Sole che é uguale ed opposta alla forza che il Sole esercita sulla Terra, solo che, conformemente alla seconda legge della dinamica di Newton, avendo una massa molto più grande della massa della Terra, il Sole subisce un’accelerazione molto più piccola

dell’accelera-zione che subisce la Terra.

Concludendo, si può enunciare la legge di gravitazione universale di Newton: la forza agente fra due corpi aventi masse rispettive m1 e m2, posti a distanza r, è inversamente proporzionale al quadrato di r e direttamente propor-zionale al prodotto dello loro masse:

F G m m

= r

¹₂ ² _{, (1)}

dove la costante di proporzionalità G è una costante universale, il cui valore è lo stesso in tutto l’universo:

G = 6.67×10^-11 N m² kg^-2 .

Verifiche:

a) la legge di Newton è compatibile con la terza legge di Keplero

Si supponga un pianeta, di massa mP che orbita lungo una traiettoria circolare di raggio r (per semplificare i calcoli) con un periodo di rivoluzione attorno al sole uguale a T. Allora la sua forza centripeta, diretta verso il Sole, é proprio data dalla forza di attrazione gravitazionale tra il pianeta e il Sole (la cui massa è mS):

m T R Gm m

P R

P S

4 ²

2 2

π = ⇒ T

Gm R

S 2

2

4 3

= π , dove la costante k

Gm_S

= 4π²

é la costante di proporzionalità della terza legge di Keplero. Detta costante dipende, oltre che da G, solo dalla massa del Sole; per questo il valore di k é lo stesso per tutti i corpi orbitanti attorno al Sole.

b) la legge di Newton é la stessa anche se il centro di attrazione non è il Sole

In base alla (1), l’accelerazione di gravità g0 che ha una qualunque corpo di massa m sulla Terra, è tale che:

mg GmM

0 = R2 ⇒

g G M

0 = R2 (2)

⇒ g R₀ ² =GM , dove M é la massa della Terra e R é il raggio terrestre medio.

Ancora dalla (2) si ha che

G g R

= ⁰M

2

(3) Si considera ora la Luna (massa: mL) orbitante attorno alla Terra con un periodo uguale a T ad una distanza rL dalla Terra. La forza centripeta che obbliga la Luna ad orbitare attorno alla Terra é fornita dalla forza gravitazionale Terra-Luna:

m T r Gm M

L L r

L L

4 ²

2 2

π = ⇒ [sostituendo la (3)] ^{4 4}

2 2

3 0

2

0

2 3

2 2

π π

T r g R

M M g r

L T R

= ⇒ = L ,

e sostituendo alle diverse grandezze fisiche i valori conosciuti alla sua epoca, Newton ha trovato per g0 un valore compatibile con quello allora conosciuto, il che gli permise di concludere che la forza che obbliga la Luna ad orbitare attorno alla Terra é della stessa natura della forza che obbliga i pianeti ad orbitare attorno al Sole.

La massa della Terra

Nel 1798 Cavendish costruì la bilancia di torsione e, con questa, poté determinare il valore esatto di G

misurando la forza agente fra due masse conosciute. A partire dal valore di G, mediante la (3) si può calcolare il valore esatto della massa della Terra (5.98×10²⁴ kg) e, mediante la (1), della Luna e degli altri pianeti del sistema solare.

Variazione dell’accelerazione di gravità della Terra

Sulla superficie della Terra il valore dell’accelerazione di gravità non é costante, ma assume valori diversi dai poli (9.83 m/s²) all’equatore (9.78 m/s²), per due ragioni fondamentali:

• c’è una differenza di circa 21 km tra il raggio equatoriale e quello polare della Terra (responsabile di una variazione di 0.02 m/s² nel valore di g);

• a causa della rotazione della Terra attorno al proprio asse, i corpi posti all’equatore sono sottoposti ad un’accelerazione centrifuga, diretta esternamente alla Terra, di 0.03 m/s².

In prima approssimazione si considera costante il valore di g sulla superficie della Terra e si pone g0 = 9.8 m/s². Esternamente alla Terra, il suo valore è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro della Terra. Infatti un corpo di massa m, posto a distanza r dal centro della Terra, ha, rispetto alla Terra un peso mg dato da:

mg GmM

r g G M

= ₂ ⇒ = r₂ ,

da cui si vede che il valore di g é nullo solo quando la distanza del corpo dal centro della Terra diventa infinito (raggio d’azione infinito del campo gravitazionale). In realtà si considera nullo, quando il suo valore diventa trascurabile e difficilmente misurabile.

Internamente alla Terra, il valore di g aumenta linearmente con la distanza r dal centro della Terra (si omette la dimostrazione), fino ad assumere il suo valore massimo g0, sulla superficie della Terra.

La figura di sotto illustra la dipendenza di g, accelerazione di gravità terrestre, in funzione della distanza r dal centro della Terra.

3 Satelliti artificiali della Terra

Come aveva previsto Newton, lanciando un corpo dalla cima della più alta montagna sulla Terra, il corpo, man mano che la sua velocità orizzontale di lancio aumenta, percorrerà una distanza via via maggiore prima di cadere a Terra. Aumentando sufficientemente questa velocità, il corpo lanciato non toccherà mai Terra e si metterà in orbita attorno ad essa. In realtà il corpo continua a ‘cadere’, in quanto si muove più vicino alla Terra, a causa della gravità, di quanto farebbe se, in assenza di questa, si muovesse in linea retta.

L’accelerazione centripeta, presente a causa del cambiamento continuo della direzione della velocità, viene causata proprio dalla forza di gravità, esattamente come si é già visto per il moto dei pianeti intorno al Sole e della Luna intorno alla Terra.

Oggi si mettono in continuazione dei satelliti in orbita attorno alla Terra, per scopi diversi: telecomunicazioni, prospezioni idrogeologiche, militari.

Indicando con m la massa del satellite e con r la sua distanza dal centro della Terra, la sua velocità costante v è tale che la forza centripeta del satellite é uguale alla forza gravitazionale Terra-satellite, dunque:

mv

r GmM r

2

= 2 ⇒ v GM

= r , (1)

da cui risulta che la velocità del satellite é inversamente proporzionale alla radice quadrata della sua distanza dal centro della Terra: più lontano é il satellite dal centro della Terra, più piccola sarà la sua velocità tangenziale.

L’ultima espressione della velocità consente anche di calcolare il periodo T del satellite in funzione di r. Si ha:

T r

v r r

= 2 = GM π 2

π e, com’era da aspettarsi, il periodo T aumenta con r.

g

R r g0

Centripeta o centrifuga?

Per evitare la confusione che spesso si fa a proposito della forza centripeta e/o della forza centrifuga, bisogna precisare che:

• per un osservatore in un sistema inerziale e non solidale con il corpo in rotazione, quest’ultimo é sottoposto a forza centripeta

• per un osservatore solidale con il corpo in rotazione, quest’ultimo e l’osservatore stesso sono sottoposti a forza centrifuga

• le due forze non sono mai presenti contemporaneamente per uno stesso osservatore.

La tabella a lato (h é l’altezza del satellite rispetto alla superficie della Terra) mostra alcuni valori tipici per la velocità e per il periodo dei satelliti artificiali della Terra, al variare della loro distanza dal centro della Terra.

I satelliti della Terra con orbita equatoriale e con periodo T = 24 ore si dicono satelliti geostazionari, e vengono utilizzati innanzi- tutto per le telecomunicazioni. Come si vede dalla tabella l’altez- za di questi satelliti deve essere compresa tra 30000 e 40000 km al disopra della superficie terrestre.

In effetti, risolvendo l’ultima equazione (con T = 24×3600 s = 86400 s) rispetto ad r, si ottiene il raggio di rivoluzione per un satellite geostazionario:

( )

r GMT

= = × × × × ×

≈ ×

− 2

2 3

11 24 4 2

2

7

4

6 67 10 5 98 10 8 64 10

4 4 22 10

π π

. . .

.

m m ,

che corrisponde ad un’altezza di circa 36000 km sopra l’equatore.

Un insieme di satelliti geostazionari, opportunamente distanziati, riesce a coprire, per le telecomunicazioni, tutta la superficie della Terra.

Imponderabilità apparente

Spesso si vede, in televisione, che uomini ed oggetti presenti in un satellite artificiale della Terra siano

‘volanti’ e si ha l’impressione che siano privi di peso. In realtà, il satellite e tutti i corpi in essi contenuti,

‘cadono’ continuamente verso la Terra e sono sottoposti alla forza centripeta fornita dall’attrazione terrestre che, comunque, subiscono. Questa attrazione, però, per via della legge dell’inverso del quadrato della distanza, é molto più piccola che sulla Terra. Inoltre, se si provasse a pesare una persona, in orbita con la stazione orbitante, mediante una bilancia pesa-persone, il responso della bilancia sarebbe un peso nullo, in quanto sia la bilancia che la persona sono sottoposti alla stessa accelerazione centripeta diretta verso il centro della Terra. In realtà sia la persona, che la bilancia, che l’intera astronave hanno un peso rispetto alla Terra.

L’unico punto in cui è nullo il peso reale di un’astronave e di tutti i corpi ivi contenuti é un punto che si trova sulla congiungente Terra-Luna, tale che il peso di un dato oggetto rispetto alla Terra é uguale al peso

dell’oggetto rispetto alla Luna: solo che, vettorialmente, la loro somma è nulla!

4 Energia gravitazionale e potenziale gravitazionale

Per allontanare un corpo di massa m dalla superficie terrestre bisogna eseguire un lavoro per vincere la forza attrattiva tra il corpo e la Terra. Se inizialmente il corpo si trova in P1, ad una distanza r1 dal centro della Terra ed alla fine in P2, ad una distanza é r2, il lavoro richiesto é dato da:

L Fdr GmM

r dr GmM

r GmM

r r

r r

r r

r r

= = = −





 =  −

 



∫ ∫

1 2

1 2

1 2

2

1 2

1 1 1

;

se r₁ <r₂, il lavoro L é positivo ed aumenta l’energia potenziale del corpo rispetto alla Terra.

Da notare che il lavoro calcolato sopra è indipendente dal cammino percorso ed è lo stesso anche se i due punti considerati non sono allineati con il centro della Terra: basta dividere il cammino da P1 a P2 in tratti che sono allineati con il centro della Terra e paralleli alla superficie della Terra. Per questi ultimi tratti il lavoro è sempre nullo in quanto la forza peso é perpendicolare allo spostamento; resta non nullo solo il lavoro per i tratti allineati con il centro della Terra e dunque il calcolo precedente conserva la sua generalità. I campi di forza per cui il lavoro compiuto non dipende dal cammino percorso si chiamano campi conservativi.

h (km) r (km) v (km/s) T (ore)

100 6470 7,85 1,44

600 6970 7,56 1,61

1100 7470 7,31 1,78

1600 7970 7,07 1,97

10000 16370 4,94 5,79

20000 26370 3,89 11,83

30000 36370 3,31 19,17

40000 46370 2,93 27,59

Se si introduce la funzione:

W r GmM

( )= − r ,

che esprime l’energia potenziale gravitazionale, rispetto alla Terra, di un corpo di massa m posta ad una distanza r dal centro della Terra, l’espressione precedente del lavoro si scrive:

( ) ( )

L=W r₂ −W r₁ ,

in modo che si può calcolare il lavoro da eseguire come differenza tra energia potenziale finale ed energia potenziale iniziale del corpo.

Dall’espressione di W r( ) risulta che l’energia potenziale di un corpo aumenta all’aumentare di r e diventa nulla quando r diventa infinito: W( )∞ =0 . Questo é anche il valore massimo di W; quindi, per distanze finite, l’energia potenziale gravitazionale di un corpo é sempre negativa.

L’energia totale di un corpo (ad esempio il satellite del paragrafo precedente) é uguale alla somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale:

E E W mv GmM

r GmM

r GmM

r GmM

r W

tot = c + = 1 − = − = − = −

2

1 2

1 2

1 2

2

Il risultato precedente é molto importante ed estremamente semplice: l’energia totale di un corpo orbitante nel campo gravitazionale della Terra (o di qualunque altro corpo celeste) é uguale alla metà della sua energia potenziale cambiata di segno!

Spesso si introduce, in analogia con quanto si fa per il campo elettrostatico (formalmente simile a quello gravitazionale), una nuova grandezza fisica che corrisponde all’energia potenziale riferita all’unità di massa:

U r W r( )

m G M

( ) = = − r

Questa nuova grandezza si chiama potenziale gravitazionale, indipendente, come si vede, dalla massa m del corpo che si pone in un determinato punto dello spazio che circonda la Terra (o di qualunque altro corpo dota- to di massa): infatti IL POTENZIALE GRAVITAZIANALE DELLA TERRA IN UN DETERMINATO PUNTO DIPENDE SOLO DALLA MASSA DELLA TERRA E DALLA DISTANZA DEL PUNTO DAL CENTRO DELLA TERRA. L’espressione del lavoro, vista prima, si può così esprimere in funzione del potenziale gravitazionale:

( ) ( )

[ ]

L =m U r2 −U r1 . Velocità di fuga

Si sa per esperienza che, lanciando un corpo verso l’alto con una determinata velocità, il corpo salirà per una certa altezza prima di ricadere a Terra. Questa altezza sarà tanto più grande quanto più grande sarà la sua velocità di lancio. Esiste una velocità di non ritorno del corpo? Cioè tale che il corpo, una volta lanciato dalla Terra riesca a fuggire dal campo gravitazionale terrestre fino a distanza infinita. La risposta alla domanda é affermativa e la velocità minima per cui la circostanza si verifica si chiama velocità di fuga.

Dalla (1) del paragrafo precedente si ha: 1 2

1 2 mv2 GmM

= r

In effetti, perché il corpo possa arrivare all’infinito, deve avere un’energia cinetica tale che la sua energia totale sia uguale a zero (energia minima per arrivare all’infinito con energia cinetica residua nulla e con energia potenziale nulla). Dunque, indicando con vf la velocità di fuga del corpo, deve essere:

1

2mv² GmM 0

f + − R

 

 = ⇒ v GM

f = 2 R .

Sostituendo i valori di G e di M, si trova vf ≈ 11.2 km/s. Su altri pianeti o corpi celesti la velocità di fuga ha valori diversi in quanto cambiano M e R.

Se il corpo é già in orbita attorno alla Terra ad una distanza r dal suo centro, ancora la sua energia totale deve essere almeno uguale a zero; dunque:

1

2mv² GmM 0

f r

' + −

 

 = ⇒ v GM

f r

' = 2

.

5 Problemi (risolti o con risposta)

1

Un astronauta a passeggio sulla Luna é sottoposto contemporaneamente alla forza gravitazionale della Terra ed alla forza gravitazionale della Luna. Confrontare le due forze a partire dai seguenti dati:

Massa della Terra: M = 5.98×10²⁴ kg Massa della Luna: ML = 7.35×10²² kg Distanza Terra-Luna: d = 3.85×10⁸ m Raggio lunare: RL = 1.74×10⁶ m Soluzione:

Si calcola direttamente il rapporto tra le due forze:

( )

( ) ( )

( )

F F

GmM r

G mM

d r

d r r

M M

L T

L L

L

L L

= L

−

= −

= − ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ≈

2

2

2

2

2 12

12

22 24

385 174 10

1 74 10

7 35 10

5 98 10 596 .

.

.

. ,

il che autorizza, praticamente, a trascurare la forza gravitazionale della Terra sull’astronauta.

2

Con i dati del problema precedente determinare a quale distanza dal centro della Terra un corpo di massa m, posto sulla congiungente Terra-Luna, non é sottoposto ad alcuna forza.

[Suggerimento: Indicare con x la distanza richiesta, allora d - x é la distanza del punto richiesto dal centro della Luna ... . Si trova x = 0.9 d ≈ 3.45×10⁸ m]

3

Durante la missione Apollo, un’astronauta restò sul modulo di comando in orbita attorno alla Luna ad un’altezza h = 130 km, mentre gli altri astronauti della missione esploravano la superficie della Luna. Il modulo passava metà del suo tempo dietro la faccia nascosta della Luna e, durante questo tempo, interrom-peva completamente le comunicazioni con la base a Terra e con gli altri astronauti sulla Luna.

Calcolare la durata di questo intervallo di tempo.

Soluzione:

Il tempo richiesto é uguale alla metà del periodo di rivoluzione T del modulo attorno alla Luna.

Indicando con m la massa del modulo, prendendo i dati mancanti dal problema precedente e ponendo r = RL + h = (1.74+0.13)×10⁶ m = 1.87×10⁶ m, si ha:

( )

m T r GmM

r T r

GM

L

L

4 2 2 187 10

6 67 10 7 35 10

2

2 2

3 6 3

11 22

π = ⇒ = π = π ×

× .₋ × × ≈

. . s = 7257 s 2 ore

Dunque il modulo orbitante attorno alla Luna resta dietro la faccia nascosta della Luna per circa 1 ora.

4

Determinare il periodo del telescopio spaziale Hubble, orbitante attorno alla Terra ad un’altezza di 610 Km. Risposta: T = 5801 s ≈1 ora 37 minuti.

5

Determinare la distanza dal centro del Sole di un satellite eliostazionario. Sono dati:

Massa del Sole: MS = 1.99×10³⁰ kg

Raggio medio solare: RS = 6.96×10⁸ m

Periodo di rotazione del Sole (all’equatore) attorno al proprio asse: T = 27 giorni Risposta: 2.62×10¹⁰ m (1≈7% della distanza Terra-Sole)

6

Dimostrare che l’energia potenziale di un corpo vicino alla superficie terrestre é dato da mg0h, dove m é la massa del corpo ed h la sua altezza rispetto alla superficie terrestre.

Soluzione:

Sia r2 = r1 + h e sia anche r1 ≈ r2 ≈ R (raggio terrestre). Si ha:

( ) ( )

E U r U r GmM

r GmM

r GmM

r r GmM r r

r r m G M

R h mg h

p = − = − − −

 

 =  −

 

 = −

≈  

 =

2 1

2 1 1 2

2 1

1 2

2 0

1 1

.

7

La velocità del pianeta Mercurio varia, sulla sua orbita ellittica, da 38.8 km/s all’afelio a 59.0 km/s al perielio. Se, all’afelio, il pianeta si trova a 6.99×10¹⁰ m dal Sole, quale sarà la sua distanza dal Sole al perielio?

[Suggerimento: imporre l’uguaglianza dell’energia meccanica totale di Mercurio rispetto al Sole, nelle due posizioni ...; si troverà una distanza al perielio uguale a 4.60×10¹⁰ m]

8

Un satellite di massa mS = 8500 kg descrive un’orbita circolare attorno alla Terra ad un’altezza h = 1200 km.

a) Calcolare il periodo di rivoluzione del satellite.

b) Calcolare l’energia necessaria a portare il satellite sulla sua orbita.

c) Calcolare l’altezza che deve avere il satellite perché il suo periodo raddoppi.

d) Calcolare la forza che la Terra esercita su una biglia di massa m = 100 g ad un’altezza h = 1200 km sulla sua superficie.

e) Se un’astronauta lascia la biglia libera, questa sembra non muoversi. L’astronauta conclude che la biglia non ha né peso né accelerazione. Cosa si può dire a questo proposito?

Dati numerici:

Costante gravitazionale G = 6.67⋅10^-11 Nm²kg^-2 Massa della Terra mT = 5.98⋅10²⁴ kg Raggio della Terra RT = 6.37⋅10⁶ m Soluzione:

a) Con un’orbita circolare, la forza centripeta necessaria è fornita dalla forza di attrazione gravitazionale tra il satellite e la Terra. Se M e R sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra, m la massa del satellite, h la sua altezza sulla superficie della Terra e T il suo periodo, si ha:

m T R h G mM

R h T R h

GM

4 2

2

2 2

π 3

π

( )

( )

( )

+ = + ⇒ = +

, e, numericamente:

( )

T≈ ⋅ + ⋅ ^{m s}

⋅ ₋ ⋅ ⋅ ≈ ≈

6 28 6 37 10 12 10

6 67 10 5 98 10 49 12

6 6 3

11 24

. . .

. . s 5552 s 1^h .

b) L’energia da fornire al satellite è uguale all’energia totale del satellite nella sua orbita meno l’energia totale del satellite sulla Terra (trascurando gli attriti con l’atmosfera e il calore disperso dai motori):

( )

E G Mm

R h mv G Mm

R h G Mm

R h G Mm

R h

orb = −

+ + = −

+ +

+ = −

+ 1

2

1

2 2

2

∆E E E G Mm

R h G Mm

R mv G Mm

R h G Mm R

GMm R R h GMm R h

R R h

orb terra st

= − = −

+ − − +

 

 ≈ − + + =

− +



 

 +

2

1

2 2

1 1

2

2 2

2

( ) ( )

( )

= =

( + ) Numericamente:

∆E ≈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ ⋅

6 67 10− 5 98 10 4 8 5 10 8 77 10

2 6 37 10 7 57 10 10

11 2 3

6

6 6

. . . . 11

. . J 3.083 J .

c) T R h

= GM+ 2

3

π ( )

e T R h

1 GM

1 3

=2 +

π ( )

, quindi:

( )

( ) ( )

2 ^{1 1} 4

3

3 1

= = + 3

+ ⇒ = + −

T T

R h

R h h R h R .

Numericamente: h1 ≈5647km . d) Si ha:

( )

F ≈ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ≈

6 67 10− 0 1 5 98 10 7 57 10

11

24 6 2

. . .

.

N 0.696 N .

e) La biglia ha certamente un peso, uguale alla forza di attrazione gravitazionale esercitata dalla Terra e calcolata in precedenza. La forza peso è la forza che obbliga la biglia a seguire una traiettoria

circolare attorno alla Terra, cosa che fa pure l’astronauta. Quindi la biglia sembra ferma rispetto all’astronauta.

9

Il telescopio spaziale Hubble ha una massa di 11 tonnellate ed ha bisogno di essere manovrato da un’astronauta. La navicella si trova nella sua orbita a 584 km sopra la superficie della Terra, ed il telescopio è a circa 10 metri da essa. Si può supporre che la metà del combustibile della navicella sia stata consumata e che la sua massa, in queste condizioni, sia di 50 tonnellate.

a) Calcolare l’attrazione gravitazionale tra telescopio e navicella spaziale (per il calcolo si può supporre che siano entrambe delle sfere uniformi).

b) Calcolare il periodo di rotazione della navicella e la sua velocità orbitale, supponendo che l’orbita sia circolare.

c) Calcolare la forza costante necessaria per riportare il telescopio sulla navicella, facendogli percorrere la distanza di 10 metri in un tempo di 3 minuti (supporre che la navicella resti ferma).

d) Se si applica semplicemente una forza attrattiva tra la navicella e il telescopio come quella calcolata sopra, cosa dovrebbe succedere in effetti durante i tre minuti? Si richiede una descrizione qualitativa, senza calcoli dettagliati.

e) Discutere le affermazioni che seguono, dicendo se si è d’accordo, o se si hanno delle riserve e perché:

i) L’energia totale della navicella in orbita é maggiore della sua energia totale nella base di lancio prima della partenza da Terra.

ii) La navicella non dovrebbe conservare metà del suo combustibile per il viaggio di ritorno, dovrebbe bastarne molto meno.

iii) Gli astronauti sono veramente senza peso quando sono in orbita?

Si trascura l’energia cinetica del satellite a Terra!

Soluzione:

a) Si ha: F =6 67 10⋅ ⁻ 5 10⋅ ⋅ ⋅11 10 ≈ × ⁻

10 3 7 10

11

4 4

2

. . 4

.

N N.

b) Con un’orbita circolare, la forza centripeta necessaria è fornita dalla forza di attrazione gravitazionale tra la navicella e la Terra. Se M e R sono rispettivamente la massa e il raggio della Terra, m la massa della navicella, h la sua altezza sulla superficie della Terra e T il suo periodo, si ha:

m T R h G mM

R h T R h

GM

4 2

2

2 2

π 3

π

( )

( )

( )

+ = + ⇒ = +

, e, numericamente:

( )

T ≈ ⋅ + ⋅ ^{m s}

⋅ ₋ ⋅ ⋅ ≈ ≈

6 28 6 37 10 0 584 10

6 67 10 5 98 10 36 9

6 6 3

11 24

. . .

. . s 5769 s 1^h .

Inoltre: ^{v= 2}_T^{π (R+h) ⇒ ≈v} ₅₇₆₉^{6 28.}

(

^{6 37 10. ⋅ 6 +0 584 10. ⋅ 6}

)

^{m / s≈}7.57 km / s .

c) Trattandosi di un moto uniformemente accelerato, la cui accelerazione é data da (d indica la distanza del telescopio dalla navicella): a = 2d/t², per la forza necessaria a portare il telescopio sulla navicella nel tempo t, si ha:

F ma md

= = 2t

2 , da cui, numericamente:

( )

F ≈ ⋅ ⋅

⋅ ≈

20 11 10 18 10

4 2 2

. .

N 6.8 N .

d) Sarebbe catastrofico per il telescopio (e per la navicella) in quanto il telescopio arriverebbe con una velocità notevole (circa 0.22 m/s) per la massa del telescopio che danneggerebbe le apparecchiature elettroniche delicatissime. Dunque l’operazione, in realtà, dovrebbe durare molto di più (con una forza minore) per ridurre la velocità finale del telescopio ed il rischio dell’operazione.

e) i) Certamente l’energia meccanica (cinetica + potenziale) totale della navicella in orbita è maggiore della sola energia potenziale meccanica della navicella prima della partenza da Terra. Ma questa energia supplementare è stata fornita al satellite dal consumo di una certa quantità di combustibile, la cui combustione non solo ha fornito energia meccanica supplementare al satellite in orbita ma é anche servita a scaldare i motori e a produrre calore nell’atmosfera. Dunque l’energia totale (meccanica + chimica) della navicella è maggiore a Terra che in orbita.

ii) Si! In effetti è sufficiente meno combustibile, perché, durante la fase di ritorno, da una parte c’è la forza gravitazionale attrattiva che serve a far scendere la navicella senza consumare combustibile, dall’altra l’atmosfera serve anche a frenare la stessa navicella. In compenso, la variazione, di segno opposto, della energia meccanica totale è la stessa che durante la fase di salita.

iii) No! La forza peso esiste ancora, anche se molto ridotta rispetto a quella esistente sulla superficie terrestre, ed è quella necessaria a fornire la forza centripeta all’orbita circolare del sistema navicella + astronauti. D’altra parte, se il sistema fosse senza peso il suo moto sarebbe rettilineo e uniforme!

10

Un pianeta senza atmosfera, di forma sferica e diametro uguale a 20 000 km, ruota su se stesso con un periodo di rotazione uguale a 20 ore. Se si getta un oggetto verso l’alto con una velocità verticale uguale a 30 m/s, l’oggetto impiega 5 secondi per ritornare al punto di partenza.

a) Calcolare la massa totale e la densità dl pianeta.

b) Calcolare la forza d’attrazione del pianeta su una massa di 1 kg.

c) Quali sono le caratteristiche delle orbite pianeto-stazionarie? Quale utilità hanno dette orbite?

d) Calcolare la distanza tra la superficie del pianeta e l’orbita pianeto-stazionaria.

e) Calcolare l’energia che bisogna fornire ad un satellite per metterlo su un’orbita pianeto-stazionaria, a partire dalla superficie del pianeta considerata a riposo, se la massa del satellite é uguale a 2 000 kg.

f) Calcolare la velocità di fuga dal pianeta.[Si ricorda che la velocità di fuga é la velocità iniziale minima che bisogna fornire ad un corpo, a partire dalla superficie del pianeta, considerato fermo, per sottrarlo alla attrazione gravitazionale del pianeta stesso.]

Soluzione:

a) Sia g G M

= R₂ la gravità sulla superficie del pianeta (dove R è il raggio del pianeta ed M la sua massa). Si può supporre che g sia costante in prossimità della superficie del pianeta (come vicino alla superficie della Terra).Essendo il tempo di salita dell’oggetto uguale al suo tempo di discesa (dunque entrambi uguale a 2.5 s), si ha:

G M R

v

t M vR

2 G t

2

= ∆ ⇒ =

∆

∆

∆ , Numericamente: _{M =} ^×

( )

× ₋ × ≈ ×

30 10

6 67 10 2 5

7 2

. 11 . kg 1.8 10 kg²⁵ (e g = 12 m/s²).

essendo ∆v =(30 - 0) m/s = 30 m/s la variazione di velocità dell’oggetto lanciato e ∆t = 2.5 s l’inter- vallo di tempo durante il quale avviene tale variazione di velocità.

La densità d del pianeta è data da:

d M

R

= ≈ ×

× ≈ ×

4 3

18 10 4

3 10

4 30 10

3

25

21

3

π π

. kg / m³ . kg / m³.

b) F =mg=12 N

c) Le orbite geostazionarie devono essere delle orbite equatoriali tali che il periodo di rotazione di satelliti orbitanti su queste orbite sia uguale al periodo di rotazione del pianeta attorno al proprio asse:

in tal modo, i satelliti sono apparentemente immobili rispetto al pianeta.

Il vantaggio principale dei satelliti orbitanti su queste orbite è quello di consentire la trasmissione di onde elettromagnetiche (in particolare: segnali radio, TV, ecc.) tra due punti del pianeta abbastanza distanti tra di loro.

d) Imponendo che la forza centripeta del satellite è uguale alla forza gravitazionale tra pianeta e satellite, si ha:

( )

G Mm

r m

T r r GMT

s r

2 s

2 2

2 2 3

11 25 2

2

4 8

4

6 67 10 18 10 20 3600

4 2 51 10

= ⇒ = ⇒ = × × × × ×

≈ ×

π −

π π

. .

. m

,

dove r è la distanza richiesta, T il periodo di rotazione del pianeta (e del satellite pianeto-stazionario) e ms è la massa del pianeta.

e) L’energia da fornire al satellite é uguale alla differenza tra l’energia totale del satellite sulla sua orbita e l’energia potenziale del satellite sul pianeta (si trascura l’energia cinetica del satellite sul pianeta, energia dovuta alla rotazione del pianeta attorno al proprio asse):

∆E G Mm

r G Mm

R GMm

R r

s s

= − − − s

 

 =  −

 

2  ⇒

1 1

2

∆E ≈ × × × × × − × ×

 

 ≈ ×

6 67 10− 18 10 2 10 1

10

1 2 2 51 10

11 25 3

7 8

. .

. J 2.35 10 J¹¹

f) La velocità di fuga vf del satellite dal pianeta è tale che l’energia totale del satellite sul pianeta è almeno uguale all’energia totale del satellite all’infinito (tale energia all’infinito è uguale a zero):

1

2 ₂ 0 2

m v G Mm

R v GM

s R

s

f + − f

 

 ≥ ⇒ ≥ ⇒

v_f ≥ × × × × m / s 15.5 km / s

≈ 2 6 67 10− 18 10

10

11 7

7

. .

.

11

Nel luglio 1993, il pianeta Giove é stato urtato dalla cometa SHOEMAKER-LEVY 9. La massa della cometa é stata stimata uguale a 5×10⁷ kg.

All’apogeo, il 14 luglio 1993, la distanza della cometa dalla superficie di Giove era uguale a 5×10¹⁰ m.

a) Mostrare che la velocità della cometa, per restare in un’orbita circolare attorno a Giove ad una distanza di 5×10⁷ km dalla sua superficie, avrebbe dovuto essere uguale a 1.59 km/s.

b) Siccome la cometa non era in un’orbita circolare, la sua velocità non era uguale a 1.59 km/s. Spiegare se la velocità era minore o maggiore di 1.59 km/s.

c) Calcolare l’energia potenziale della cometa il 14 luglio 1993.

d) Calcolare la velocità con cui la cometa ha urtato Giove (prendere uguale a 0 la velocità della cometa il 14 luglio 1993).

e) Volendo sapere se l’orbita di Giove attorno al Sole dopo l’urto é cambiata, si dovrebbe calcolare la velocità di Giove sulla sua orbita prima dell’urto.

i) Calcolare questa velocità.

ii) Quale legge fisica bisognerebbe usare per calcolare la variazione della velocità di Giove a causa dell’urto?

iii) Mostrare, senza calcoli, che la variazione di velocità é praticamente nulla (supporre che l’urto sia centrale e totalmente anelastico e che le velocità della cometa e di Giove abbiano la stessa

direzione).

Sono dati:

Costante di gravitazione universale: G = 6.67×10^-11 Nm²kg^-2

Massa di Giove: M = 1.9×10²⁷ kg

Raggio di Giove: R = 7.14×10⁷ m

Distanza Terra-Sole: d1 = 1.496×10¹¹ m Soluzione:

a) Imponendo l’uguaglianza della forza centripeta della cometa e della forza gravitazionale che Giove esercita sulla cometa, si ha:

( )

m v

R h G Mm

R h v GM

R h

C

C 2

+ = 2

+ ⇒ =

+ ⇒

v= × × ×

× ⁻ + × ≈

6 67 10 1 9 10

7 14 10 5 10

11 27

7 10

. .

. m / s 1.59 km / s

b) All’apogeo, in base alla seconda legge di Keplero (quella delle aree), la velocità è minima e, quindi, inferiore alla velocità calcolata in a), che può essere considerata come se fosse la velocità media della cometa attorno a Giove.

c) E G Mm

R h E

p

C

= − p

+ ⇒ = − × × × × ×

× + × ≈ − ×

6 67 10− 1 9 10 5 10

7 14 10 5 10 10

11

27 7

7 10

. . 14

. J 1.26 J

d) Con l’approssimazione suggerita nel testo del problema, l’energia cinetica della cometa su Giove é uguale alla variazione dell’energia potenziale della cometa che passa dalla sua orbita alla superficie di

Giove

Orbita di

Scoperta della cometa

Apogeo - 14 Luglio 1993

Urto con Giove 16-22 Luglio

1993 Orbita della cometa

SHOEMAKER -

Giove:

1 2

1 1

2 1 1

2 6 67 10 19 10 1

7 14 10

1 5 10

2

11 27

7 10

m v GMm

R h R v GM

R R h

v

C ' C '

' . .

.

= −  + −

 

 ⇒ = −

+

 

 ⇒

= × × × × ×

× −

×

 

 ≈

− m / s 59.5 km / s

e) i) Per la terza legge di Keplero (quella dei periodi), indicando con T’, il periodo di rotazione di giove attorno al Sole, si ha:

T d

T

d T T d

d v d

T

d Td

d d d

d T

d d

v

G

G

' '

'

. .

. .

2

2 3

2

1 3

2 3

1 3

2 2

2 1

2 1

1 1

2

11 11

11

2 2 2

2 1 496 10 365 25 24 3600

1 496 10 7 783 10

= ⇒ = ⇒ = = = ⇒

= × ×

× × × ×

× ≈

π π π

π m / s 13 km / s

ii) Il principio della conservazione della quantità di moto, supponendo che sia isolato il sistema Giove-cometa.

iii) La variazione della velocità di Giove dipende dal rapporto tra la massa della cometa e la massa di Giove. Orbene tale rapporto é estremamente piccolo (circa 2.5×10^-20!) e la velocità di Giove praticamente non cambia:

Mv m v M m v v Mv m v

M m

v m

M v m

M

G C C G G v

G C

C

G C

C

− = + ⇒ = − G

+ = −

+ ≈

' ( ) ' ' ' '

1

.

12

Un buco nero é un corpo celeste talmente denso che la velocità di fuga ad esso relativa supera la velocità della luce (c = 3.00×10⁸ m/s): in tal modo, neanche la luce riesce a sfuggirvi. Sebbene una trattazione teorica completa dei buchi neri richieda la teoria della relatività generale, l’ordine di

grandezza del raggio di un buco nero avente una data massa può essere calcolato usando la meccanica classica di Newton.

a) Mostrare che il raggio R di un buco nero di massa M è uguale a 2

2

GM c .

b) Utilizzando la formula precedente, calcolare il raggio di un buco nero la cui massa é uguale alla massa i) della Terra (M = 5.98×10²⁴ kg);

ii) del Sole (M = 1.99×10³⁰ kg)

c) Se la massa di un neutrone è 1.67×10^-27 kg ed il suo raggio é 1.2×10^-15 m, confrontare la densità dei neutroni con quella del Sole-buco nero.

Risposta: b) i) 8.8 mm; ii) 2.9 km.

c) Il Sole-buco nero ha una densità circa 78 maggiore del neutrone! In effetti, si può dimostrare che il Sole, come stella di neutroni, avrebbe un raggio di circa 13 km.

13

Licenza liceale europea 1986 (Problema I)

A. Si considera un satellite di comunicazioni geostazionario.

a) Caratterizzare, rispetto alla Terra supposta sferica e omogenea, il piano dell’orbita circolare del satellite.

b) A quale altezza h1 si muove il satellite?

c) Qual é la sua velocità lineare v1?

B. Si effettua una correzione di traiettoria: il satellite risulta allora collocato su un’orbita circolare, all’altezza h2, inferiore alla precedente. Su questa traiettoria il satellite si sposta più rapidamente.

a) Spiegare l’aumento di velocità lineare.

b) Il satellite passa dall’orbita circolare di raggio R1 = 4.2248×10⁴ km a quella di raggio R2 = 4.2235×10⁴ km. La massa del satellite é di 200 kg.

i) Calcolare la variazione di energia totale del satellite, nel campo gravitazionale terrestre, conseguente al cambiamento di orbita.

ii) Calcolare la variazione ∆v della velocità del satellite.

Dati:

Costante di gravitazione: G = 6.6720×10^-11 m³ kg^-1 s^-2 Massa della Terra: M = 5.9770×10²⁴ kg

Raggio della Terra: R = 6.3780×10³ km Giornata siderale: 86164 s

Risposta: A. a) Moto nel piano equatoriale. b) h1 = 35794 km. c) 3.075 km/s B. b) i) - 2.9039×10⁶ J ; ii) 0.5 km/s.

14

Licenza liceale europea 1987 (Problema I)

a) All’istante t0 = 0 e con velocità iniziale v0 = 4.00 m/s, un corpo viene lanciato in direzione verticale verso l’alto, a partire dalla superficie di un certo pianeta. Questo pianeta si suppone sferico e omogeneo, di raggio R e di massa M. Il corpo ricade al punto di partenza all’istante t1 = 5.00 s.

Supponendo che il campo gravitazionale sia costante nella regione del moto considerato, calcolare l’intensità g0 del campo gravitazionale alla superficie del pianeta.

b) Dalla superficie del pianeta predetto, un corpo viene lanciato in modo da farne un satellite in moto su un’orbita circolare di raggio r.

i) Mediante la legge di gravitazione universale mostrare che l’intensità del campo gravitazionale g in un punto generico dell’orbita del satellite è data dalla formula

g g R

= ₀ r

2 2 .

ii) Stabilire, in funzione di R, r e g0, l’espressione del valore v della velocità del satellite e quella del valore T del periodo.

Dedurre la costanza del rapporto T r

2 3 .

iii) Nell’ipotesi costituita da T = 7.73×10³ s, r = 1.95×10³ km e dal risultato del quesito a), determinare il raggio R e la massa M del pianeta.

c) Determinare, infine, la velocità minima con la quale il corpo deve essere lanciato perché possa sfuggire all’attrazione del pianeta considerato.

Si dà: costante di gravitazione universale: G = 6.67×10^-11 N m² kg^-2 Risposta: a) g0 = 1.6 m/s.

b) iii) R = 1.75×10⁶ m, M = 7.35×10²² kg (il ‘pianeta’ é la Luna).

c) v0 = 2365 m/s

15

Licenza liceale europea 1991 (Problema I)

Nella risoluzione di questo problema ai potrà assimilare la Terra ad una sfera omogenea di raggio rT e di massa mT e si potrà inoltre trascurare la resistenza dell’aria.

a. Un corpo di massa m deve essere spostato nel campo di gravitazione terrestre da un punto P1 a un punto P2 situati rispettivamente a distanza r1 e r2 dal centro della Terra.

i) Mostrare che il lavoro effettuato durante questo spostamento è

W Gmm

r r

=  −

 



T

1 1

1 2

.

ii) Un satellite di massa m = 1000 kg deve essere spostato dalla superficie della Terra fino all’infinito.

Calcolare il lavoro necessario per questo spostamento.

b. A partire dalla superficie della Terra, un corpo C é lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale di modulo v0.

i) Mostrare che la massima altezza raggiunta hmax é data da h r v g r v

max = −

T T

0 2

0 0

2 2 , dove g0 é l’intensità della gravità sulla superficie della Terra.

ii) Il corpo C é lanciato con v0 = 6.00 km/s. Calcolare l’altezza massima raggiunta dal corpo C.

c. Un satellite si muove su una traiettoria circolare intorno alla Terra., all’altezza h = 1.00×10⁴ km.

Calcolare:

i) la sua velocità v;

ii) il suo periodo T.

Sono dati:

Costante di Gravitazione: G = 6.67×10^-11 m³ kg^-1 s^-2 Massa della Terra: mT = 5.98×10²⁴ kg Raggio della Terra: rT = 6.37×10³ km Intensità della gravità: g0 = 9.81 m s^-2 Risposta: a. ii) 6.26×10¹⁰ J;

b. ii) hmax = 2.58×10³ km;

c. i) v = 6.94×10³ m/s, ii) T = 5h 47 min.

16

Licenza liceale europea 1992 (Problema I)

a) Alcuni pianeti gravitano intorno ad un corpo celeste C di massa MC. Si considerano due di questi pianeti, P1 e P2 di masse rispettive m1 e m2; essi descrivono intorno al corpo C orbite circolari di raggi rispettivi r1 e r2, con periodi rispettivi T1 e T2.

Mostrare, a partire dalla legge di gravitazione universale o legge di Newton, che:

r T

r T

1 3

1 2

2 3

2

= 2 .

b) Un veicolo spaziale, la cui massa è m = 5.00×10³ kg e la cui velocità iniziale può considerarsi nulla, si dirige verso il corpo C di massa MC = 12.0×10²⁵ kg e di raggio RC = 5.00×10⁷ m. Si suppone che questo veicolo, che percorre una distanza molto grande, sia soggetto solo alla gravitazione del corpo C.

Calcolare:

i) l’intensità g0 del campo gravitazionale alla superficie di C;

ii) il modulo della velocità del veicolo spaziale quando questo arriva sulla superficie di C; confrontarlo con il modulo della velocità di fuga

r1

r2

P2

P1

∆ vr₁ vr₂

C1

C2

.O Giove

c) Ci si propone di realizzare, sulla superficie di uno dei pianeti dove l’intensità del campo gravitazionale é g0’ = 2.30 m/s², la seguente esperienza.

Un estremo di un filo inestensibile, di massa trascurabile, é fissato ad un punto P, mentre all’altro estremo é agganciata una sfera di piombo S, di massa mS = 5.00 kg e di centro O. Inizialmente il filo é teso, PO = 1.00 m, la sfera S si trova sulla verticale al di sopra di P e viene lanciata con una velocità iniziale orizzontale di modulo vS = 5.00 m/s. S descrive allora una semicirconferenza e viene ad urtare frontalmente una sfera S’ a riposo, di centro di massa Q e di massa mS’ = 10.0 kg.

Se l’urto é perfettamente anelastico, a quale altezza h al di sopra di Q risale l’insieme delle due masse appaiate?

Data: costante di gravitazione universale G = 6.67×10^-11 m³ kg^-1 s^-2. Risposta: b) i) 3.20 m/s², ii) 1.79×10⁴ m/s (é la velocità di fuga);

c) 82.6 cm.

17

Licenza liceale europea 1995 (Problema I)

Nella trattazione di questo problema, si consideri Giove come una sfera omogenea e si trascuri ogni attrazione diversa da quella di Giove stesso.

Due sonde spaziali, S1 e S2, di centri rispettivi C1 e C2, di massa m = 100 kg ciascuna, sono lanciate dalla Terra verso Giove, la cui massa é M. S1 deve essere collocata su un’orbita circolare intorno a Giove, mentre S2 deve essere deviata verso Saturno (il pianeta successivo) dall’attrazione gravitazionale di Giove.

In un certo istante del loro percorso, C1 e C2 occupano le posizioni indicate dalla figura.

Rispetto a Giove, C1 e C2 possiedono la stessa velocità r r

v₁ =v₂, direzione perpendicolare alla retta ∆ passante per C1, C2 e per il centro O di Giove.

Le distanze di C1 e C2 da O sono rispettivamente d1 = 8,52×10⁷ m e d2 = 2,50× 10⁸ m.

Le sonde non utilizzano più alcun mezzo di propulsione.

a. S1 descrive una traiettoria circolare di raggio d1. Mostrare che:

i) il modulo della velocità r

v₁ é v1 = 3,86×10⁴ m.s^-1; ii) il suo periodo di rivoluzione T1 é dato da: T d

1 G M

1 3

=2

π ⋅ .

b. Determinare l’espressione letterale dell’energia meccanica totale del sistema “Giove-sonda S1”.

Dedurne l’energia supplementare che si dovrebbe fornire a S1 affinché la sua orbita sia stazionaria (periodo di rivoluzione di S1 uguale al periodo di rotazione di Giove intorno al proprio asse).

c. i) Mostrare che S2 non é catturata da Giove.

ii) In un altro istante, C2 si trova alla distanza d₂^'= 5,00×10⁸ m dal centro O di Giove. Calcolare il valore del modulo v₂^' della sua velocità r

v₂^'.

Sono dati:

Massa di Giove: M = 1,90×10²⁷ kg;

Periodo di rotazione di Giove : T = 3,54×10⁴ s;

Costante di gravitazione universale: G = 6,67×10^-11 N.m².kg^-2. Risposta: a. i) 3.86×10⁴ m/s;

b. 3.45×10¹⁰ J;

c. ii) 3.13×10⁴ m/s

18

Nella trattazione di questo problema il Sole ed i pianeti potranno essere considerati come sfere

omogenee. Si ricorda che due corpi, di masse rispettive m1 e m2, i cui centri di massa hanno distanza d, esercitano l’uno sull’altro una forza attrattiva, diretta secondo la congiungente i centri, la cui intensità é:

F Gm m

= d¹₂² dove G é la costante di gravitazione universale.

a. Si considera il sistema Sole-Terra e si trascura l’influenza di tutti gli altri pianeti.

i) Sulla superficie della Terra, di massa M e di raggio R, il peso di un oggetto di massa m é praticamente dovuto solo all’attrazione newtoniana della Terra.

Scrivere l’espressione letterale dell’intensità del campo gravitazionale sulla superficie della Terra in funzione di G, M e R.

ii) La Terra descrive intorno al Sole, di massa k.M con k = costante, un’orbita praticamente circolare di raggio r.

1. Scrivere, in funzione di r, k, R e g0, l’espressione letterale della velocità angolare ω del moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole.

2. Calcolare il periodo T di questo moto di rivoluzione.

iii) Il punto di equigravità E del sistema Sole Terra si trova sulla retta definita dai due centri, ad una distanza x dal centro della Terra. Si ricorda che E é il punto in cui i campi gravitazionali del Sole e della Terra si annullano.

1. Scrivere l’espressione letterale di x in funzione di r e di k.

2. Calcolare il valore di x.

b. Anche il pianeta Nettuno descrive intorno alla Terra un’orbita praticamente circolare, di raggio rN e con un periodo TN.

i) Scrivere l’equazione che lega il periodo di rivoluzione T della Terra, il periodo di rivoluzione TN di Nettuno e le distanze r e rN.

ii) Calcolare il valore di rN, sapendo che TN = 6.02×10⁴ giorni terrestri.

Sono dati:

Raggio della Terra: R = 6.40×10⁴ km

Intensità del campo gravitazionale alla superficie della Terra: g0 = 9.80×10⁴ m.s^-2

k: k = 3.33×10⁴

Distanza della Terra dal Sole: r = 1.50×10⁸ km.

Risposta: a. i) g G M

0 = R2 ,

ii) 1. ω = R r

kg r

0 , 2. T = 3.16×10⁷ s = 365 giorni,.

iii) 1. x r k

k

k r

= + = −

− 1

1

1 2. x = 2.59×10⁵ km.

b. i) T T

r r

N N

2 2

3

= 3 (terza legge di Keplero) ii) rN = 4.51×10⁹ km.

19

Dimostrare che la velocità di fuga dal Sole per un corpo che si trova ad una distanza uguale alla distanza Sole-Terra é uguale a 2 volte la velocità orbitale della Terra attorno al Sole, supponendo l’orbita della Terra circolare.

20

Due satelliti della Terra, A e B, aventi la stessa massa m, ruotano su un’orbita circolare di raggio r, con versi di rotazione opposti. I due satemmiti sono, quindi in rotta di collisione.

a) Calcolare in funzione di G, M (massa della Terra), m e r l’energia meccanica totale del sistema satelliti-Terra prima dell’urto.

b) Si suppone un urto completamente anelastico fra i due satelliti: dopo l’urto, i due satelliti formano un unico corpo di massa 2m. Calcolare l’energia meccanica totale subito dopo l’urto.

c) Descrivere il moto di quello che resta dei due satelliti dopo l’urto.

Risposta: ... c) il relitto cade verticalmente sulla Terra.

21

Si vuole che un satellite si muova nel piano equatoriale della Terra, nelle immediate vicinanze della sua superficie. Trascurando la resistenza dell’aria, calcolare il rapporto tra l’energia spesa per mettere il satellite in rotazione nello stesso verso di rotazione della Terra e l’energia spesa nel caso in cui il verso di rotazione del satellite sia opposto a quello della Terra.

Risposta: 0.787 circa.