4.2. EQUILIBRIO ED ENERGIA POTENZIALE??
PROBLEMA 4.2
Equilibrio ed energia potenziale ??
d
A B
g `, M
k1
k2
Figura 4.2.: La sbarra sospesa.
Una sbarra di lunghezza`e massa M è sospesa al soffitto tramite due molle di lun- ghezza a riposo nulla e costanti elastiche k1, k2. Ciascuna molla è collegata ad un estremo della sbarra, e la distanza tra i punti A, B a cui sono fissate al soffitto vale d (vedere Fi- gura 4.2). Determinare l’angolo che la sbarra forma con la direzione orizzontale nella posizione di equilibrio e la posizione del centro di massa
◦ minimizzando l’energia potenziale
◦ risolvendo le equazioni di equilibrio Soluzione
Utilizziamo come coordinate l’ascissa e l’ordinata x, y del centro di massa della sbarra e l’angolo che la sbarra forma con la direzione orizzontale. Ponendo un sistema di riferimento con origine nel punto medio tra A e B scriviamo l’energia potenziale come
U = Mgy+ k1 2
"
x− `
2cos θ+ d 2
2
+
y− `
2sin θ
2#
+ k2 2
"
x+ `
2cos θ− d2
2
+
y+ `
2sin θ
2#
Determiniamo il minimo:
∂U
∂y = Mg+k1
y− `
2sin θ
+k2
y+ `
2sin θ
=0
∂U
∂x =k1
x− `
2cos θ+ d 2
+k2
x+ `
2cos θ− d2
=0
∂U
∂θ =k1` 2
x− `
2cos θ+d 2
sin θ−
y− `
2sin θ
cos θ
+k2
` 2
−
x+ `
2cos θ− d 2
sin θ+
y+ `
2sin θ
cos θ
=0
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4.2. EQUILIBRIO ED ENERGIA POTENZIALE??
Dalle prime due equazioni otteniamo y = k1−k2
k1+k2
`
2sin θ− Mg k1+k2 x = k1−k2
k1+k2
`
2cos θ−k1−k2
k1+k2 d 2
Notare che se k1 = k2 si ha y = −Mg2k1 e x = 0. Sostituendo nella terza equazione troviamo l’angolo
tan θ = Mg 4d
k2−k1
k1k2
che possiamo utilizzare per calcolare x e y. Possiamo ad esempio riscrivere le relazioni precedenti nella forma
y = k1−k2
k1+k2
` 2
tan θ
√1+tan2θ − Mg k1+k2
x = k1−k2
k1+k2
` 2
tan θ
√1+tan2θ −k1−k2
k1+k2 d 2 e sostituire.
Proviamo a scrivere invece le condizioni di equilibrio. Il diagramma delle forze che agiscono sulla sbarra è in Figura 4.3
d
A B
g `, M
k1
k2
M g k2`2
k1`1 θ1
θ2
θ
P Q
R
S
Figura 4.3.: Diagramma delle forze applicate alla sbarra. Tutti gli angoli sono presi positivi nel verso antiorario.
Scriviamo la somma di tutte le forze orizzontali.
Fx =k2(xB−xS) +k1(xA−xR) Ma se teniamo conto che
xB−xS = d
2 −x− ` 2cos θ xA−xR = −d2 −x+ `
2cos θ
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4.2. EQUILIBRIO ED ENERGIA POTENZIALE??
vediamo che
Fx =−∂U
∂x
Analogamente per la somma di tutte le forze orizzontali abbiamo Fy =k2(yB−yS) +k1(yA−yR)−Mg e dato che
yB−yS = y+ ` 2sin θ yA−yR = y− `
2sin θ vediamo che
Fy =−∂U
∂x
Infine scriviamo la somma dei momenti scegliendo come polo il centro di massa. Abbia- mo
M =−k2(xB−xS)`
2sin θ+k1(xA−xR)` 2sin θ +k2(yB−yS)`
2cos θ−k1(yA−yR)` 2cos θ e vediamo che
M= −∂U
∂θ
Le condizioni di equilibrio si riducono quindi alle condizioni per il minimo del poten- ziale determinate precedentemente.
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