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Equilibrio ed energia potenziale ??

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Academic year: 2021

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4.2. EQUILIBRIO ED ENERGIA POTENZIALE??

PROBLEMA 4.2

Equilibrio ed energia potenziale ??

d

A B

g `, M

k1

k2

Figura 4.2.: La sbarra sospesa.

Una sbarra di lunghezza`e massa M è sospesa al soffitto tramite due molle di lun- ghezza a riposo nulla e costanti elastiche k1, k2. Ciascuna molla è collegata ad un estremo della sbarra, e la distanza tra i punti A, B a cui sono fissate al soffitto vale d (vedere Fi- gura 4.2). Determinare l’angolo che la sbarra forma con la direzione orizzontale nella posizione di equilibrio e la posizione del centro di massa

◦ minimizzando l’energia potenziale

◦ risolvendo le equazioni di equilibrio Soluzione

Utilizziamo come coordinate l’ascissa e l’ordinata x, y del centro di massa della sbarra e l’angolo che la sbarra forma con la direzione orizzontale. Ponendo un sistema di riferimento con origine nel punto medio tra A e B scriviamo l’energia potenziale come

U = Mgy+ k1 2

"

x− `

2cos θ+ d 2

2

+

 y− `

2sin θ

2#

+ k2 2

"

x+ `

2cos θd2

2

+

 y+ `

2sin θ

2#

Determiniamo il minimo:

∂U

∂y = Mg+k1

 y− `

2sin θ

 +k2

 y+ `

2sin θ



=0

∂U

∂x =k1

 x− `

2cos θ+ d 2

 +k2

 x+ `

2cos θd2



=0

∂U

∂θ =k1` 2



x− `

2cos θ+d 2



sin θ

 y− `

2sin θ

 cos θ



+k2

` 2



 x+ `

2cos θd 2



sin θ+

 y+ `

2sin θ

 cos θ



=0

72 versione del 22 marzo 2018

(2)

4.2. EQUILIBRIO ED ENERGIA POTENZIALE??

Dalle prime due equazioni otteniamo y = k1k2

k1+k2

`

2sin θMg k1+k2 x = k1k2

k1+k2

`

2cos θk1k2

k1+k2 d 2

Notare che se k1 = k2 si ha y = −Mg2k1 e x = 0. Sostituendo nella terza equazione troviamo l’angolo

tan θ = Mg 4d

k2k1

k1k2

che possiamo utilizzare per calcolare x e y. Possiamo ad esempio riscrivere le relazioni precedenti nella forma

y = k1k2

k1+k2

` 2

tan θ

√1+tan2θMg k1+k2

x = k1k2

k1+k2

` 2

tan θ

√1+tan2θk1k2

k1+k2 d 2 e sostituire.

Proviamo a scrivere invece le condizioni di equilibrio. Il diagramma delle forze che agiscono sulla sbarra è in Figura 4.3

d

A B

g `, M

k1

k2

M g k2`2

k1`1 θ1

θ2

θ

P Q

R

S

Figura 4.3.: Diagramma delle forze applicate alla sbarra. Tutti gli angoli sono presi positivi nel verso antiorario.

Scriviamo la somma di tutte le forze orizzontali.

Fx =k2(xBxS) +k1(xAxR) Ma se teniamo conto che

xBxS = d

2 −x− ` 2cos θ xAxR = −d2x+ `

2cos θ

73 versione del 22 marzo 2018

(3)

4.2. EQUILIBRIO ED ENERGIA POTENZIALE??

vediamo che

Fx =−∂U

∂x

Analogamente per la somma di tutte le forze orizzontali abbiamo Fy =k2(yByS) +k1(yAyR)−Mg e dato che

yByS = y+ ` 2sin θ yAyR = y− `

2sin θ vediamo che

Fy =−∂U

∂x

Infine scriviamo la somma dei momenti scegliendo come polo il centro di massa. Abbia- mo

M =−k2(xBxS)`

2sin θ+k1(xAxR)` 2sin θ +k2(yByS)`

2cos θk1(yAyR)` 2cos θ e vediamo che

M= −∂U

∂θ

Le condizioni di equilibrio si riducono quindi alle condizioni per il minimo del poten- ziale determinate precedentemente.

74 versione del 22 marzo 2018

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