Energia Potenziale

Lezione n. 6 (2 ore)

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: carlo.pagani@unimi.it

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: gianluca.colo@mi.infn.it

L’energia

La definizione di energia non è univoca ! Da un punto di vista squisitamente tecnico l’energia è una grandezza fisica scalare associata allo stato o condizione di uno o più corpi.

A patto di definire in modo corretto:

– Il valore da attribuire alla grandezza energia per un dato sistema – Le regole con cui essa si trasferisce

la quantità di energia complessiva del sistema rimane sempre invariata: principio di conservazione dell’energia !

L’unità di misura SI dell’energia è il joule (J),

dal nome del fisico inglese James P. Joule (1818-1889).

Energia cinetica

L’energia associata allo stato di moto di un corpo è l’energia cinetica.

Un corpo di massa m e velocità v (finché v è molto inferiore alla velocità della luce, ovvero v << c ) possiede un’energia cinetica pari a:

Dunque:

Alcuni esempi:

piccione in volo:

locomotiva:

…

protone di LHC:
1 10^-6 J

…

fascio di protoni di LHC:

350 10

J !!

K = ½ m v ²

s J kgm s K

v m kg

m=1,0 ; =2,0 ; =2 ² ₂ = 2

s J kgm s K

h m km v

kg t

m=100 =10⁵ ; =100 / =27,8 ; =3.910^{7 2} ₂ =3.910⁷

] [

]

[

s kg m

J =

Lavoro

L’energia trasferita ad un corpo da una forza oppure da un altro corpo tramite una forza è il lavoro L.

Il lavoro è in effetti un trasferimento di energia, dunque è una grandezza scalare e si misura anch’esso in joule (J).

Intuitivamente il lavoro incarna il familiare concetto di “fatica”, ma attenzione:

– il lavoro è proporzionale sia allo spostamento effettuato sia alla forza impiegata

– Una forza che accresca l’energia del corpo effettua un lavoro positivo, una che lo riduca effettua un lavoro negativo

– la componente della forza che “lavora” è quella che induce direttamente lo spostamento, cioè quella parallela alla spostamento

– senza variazione di energia non vi è lavoro: sostenere un peso fermo non comporta lo svolgimento di lavoro !

Quindi con un espressione di valore generale, nel caso di forza costante applicata ad una massa puntiforme:

Ovvero il lavoro è il prodotto scalare dei vettori forza e spostamento Dunque il lavoro è positivo se la forza è parallela allo spostamento (lavoro motore), ed è negativo se la forza è opposta allo spostamento

(lavoro resistente)

Definizione di lavoro

Possiamo mettere in relazione le formule viste finora per un caso semplice: corpo in moto monodimensionale, senza attrito.

d F L

d F mv

mv

acc unif

moto d

a v

v

ma F

a m F

x

x x

x x

=

=

− +

=

=

=

2 2

2 2

0 0

2 1 2

1

.) .

( 2

;

( )

cos

; L F d

d F

L = ρ⋅ ρ =

Teorema dell’energia cinetica

L’equazione appena ricavata contiene un risultato dal valore ancor più generale, e noto come il teorema dell’energia cinetica:

Ovvero:

=

• Il teorema è valido per un corpo puntiforme (appunto, particella), oppure per un corpo esteso ma rigido.

• Il lavoro totale è la somma algebrica dei lavori svolti singolarmente da ciascuna forza.

L K

K K

L d F K

K mv

mv _x

=

−

=

∆

=

=

−

=

−

0

0 2

2

0

2 1 2

1

Variazione di energia cinetica di una particella

Lavoro totale svolto sulla particella

dK = m/2 d(v

) = mv dv = m(v dt)(dv/dt) = ma dx = F dx = dL

Lavoro nel caso generale

Nel caso più generico ad una particella è applicata una forza non costante, dunque variabile in modulo o direzione.

In questo caso il lavoro è espresso da un integrale di linea.

• Caso monodimensionale:

• Caso bidimensionale:

– I vettori forza e spostamento variano entrambi lungo una traiettoria l

∫ ^⋅

=

F

ds L

A

B l

[ ] _∫

∑

=

∆

−

∆

=

∆

→

∆

f

i

x

x j

x

j j

j

dx x F x

F L

x esimo j

nel F di medio valore

F x

F L

) ( lim

;

) 0 (

Lavoro delle forze gravitazionale ed elastica

Lavoro L_g della forza gravitazionale:

- in salita - in discesa

Lavoro L_e della forza elastica:

– Conosciamo l’espressione della forza di richiamo elastica, la legge di Hooke, quindi applichiamo quanto appena visto:

mgd mgd

L

mgd mgd

L

mgd h

h mg L

mg F

g g g g

=

°

=

−

=

°

=

=

−

=

=

) 0 cos(

) 180 cos(

) cos(

) cos(

)

( _{2 1} φ φ

x

K

m

( ) [ ] ( ) ^{( )}

2 2

2 2 2

12 12

12 12

) (

f i

e

i f x

x x

x x

x e

kx kx

L

x x k x

k dx

kx dx

F

L ^f

i f

i f

i

−

=

−

−

=

−

=

−

=

=

∫ ∫

Potenza

La potenza è legata alla rapidità con cui viene sviluppata una certa quantità di lavoro.

• Potenza media:

• Potenza istantanea:

L’unità SI della potenza è il watt (W):

Attenzione, in questo ambito sono citate spesso anche altre grandezze:

• Cavallo-vapore (CV): 1 CV = 735.5 W

• Wattora (Wh): 1 Wh = (1 W) (3600 s) = 3.6 10³ J Il wattora è una misura di energia!

v dt F

P dL t P L

ρ ρ

⋅

=

=

= ∆

[ ]

s W J

L’energia potenziale

Abbiamo già visto come associare un valore di energia, l’energia cinetica, allo stato di moto di un corpo.

Il suo valore dipende dalla velocità.

Un corpo può però possedere anche altri stati, relativi ad altre forze in gioco e dipendenti da altre grandezze fisiche:

– Pensiamo alla forza gravitazionale: l’energia associata allo stato di separazione di due corpi legati da tale forza è

detta energia potenziale gravitazionale U_g.

• Il suo valore dipende dalla distanza tra i due corpi

– Consideriamo ora la forza elastica: l’energia associata allo stato di separazione di due corpi legati da tale forza è

detta energia potenziale elastica U_e.

• Il suo valore dipende dalla estensione dell’elemento elastico rispetto al suo punto neutro

Definizione di energia potenziale e forze conservative

Dunque:

•per le forze elastica e gravitazionale è possibile associare ad ogni punto dello spazio una funzione scalare detta energia potenziale.

•l’energia potenziale di un corpo in un punto P è definita come l’opposto del lavoro necessario alla forza in esame per portare il corpo stesso da un punto di riferimento a cui si associa energia potenziale nulla, fino al punto P.

P

h_rif rif h_P L

U = −

∆

• Le forze elastica e gravitazionale

appartengono ad una categoria di forze dette conservative.

Se il lavoro compiuto da una forza su un corpo da un punto A ad un punto B è indipendente dalla traiettoria percorsa e dipendente esclusivamente

dai punti A e B, la forza è conservativa.

Forze conservative, e non

La prima conseguenza della stessa definizione di forza conservativa è relativa al comportamento del lavoro svolto lungo un percorso chiuso:

– Il lavoro complessivo netto svolto da una forza conservativa su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è zero.

La forza peso, la forza gravitazionale, la forza elastica e la forza elettrostatica sono tutte forze conservative.

Se nel sistema agiscono solo forze conservative, i problemi relativi al movimento dei corpi sono molto semplificati.

Forze come quelle d’attrito, di resistenza del mezzo e forza magnetostatica sono non conservative.

0

;

; _{,1 ,1}

2 , 1

, = _{ab ab} = − _ba ∆ _aba =

ab L L L L

L

Espressioni dell’energia potenziale

Ora siamo in possesso della relazione necessaria a determinare l’espressione dell’energia potenziale per le forze note:

• Energia potenziale gravitazionale:

• Energia potenziale elastica:

∫

−

=

∆

=

−

f

i

x

x

dx x F U

L ( )

( ) [ ]

( )

U

y mg y

mg dy

mg

U ^f

i f

i

y y y

y

=

∆

=

=

−

−

=

∆

∫

E’ sempre possibile (e necessario) fissare una configurazione di

riferimento per il calcolo del potenziale:

ad essa poniamo U_i = 0 ed y_i = 0 o x_i = 0

( ) [ ]

( )

2 2

2

12

12 12

12 )

( kx x

U

kx kx

x k dx

kx

U ^x_{x f i}

x

x

f i f

i

=

−

=

=

−

−

=

∆

∫

Conservazione dell’energia

L’energia meccanica di un sistema è data dalla somma dell’energia potenziale U e dell’energia cinetica K di tutti i corpi che lo compongono:

Ora, se è verificato che:

– Il sistema si può assumere come isolato, cioè non viene considerata alcuna forza esterna al sistema

– Nel sistema agiscono solo forza conservative

vale il principio di conservazione dell’energia meccanica:

Mentre l’energia cinetica e potenziale, singolarmente, possono variare la loro somma rimane invariata!

Dati due istanti qualsiasi del moto nel sistema in esame, 1 e 2, vale che:

U K E_mecc = +

2 2

2 , 1

1 1

, K U E K U

E_mecc = + = _mecc = +

dK = F dx = dL = -dU ⇒ dK + dU = dE = 0 !

Conservazione dell’energia - 2

Esempio 1: il moto di un pendolo

• “travaso” ciclico dell’energia potenziale U in energia cinetica K!

Esempio 2: la caduta libera

• Trasformazione dell’iniziale energia potenziale in energia cinetica!

Conservazione dell’energia - 3

Abbiamo anticipato che in sistemi conservativi lo studio del moto dei corpi risulta notevolmente semplificato … valutiamo questo esempio:

Conoscendo v₀, y₀ e y, come determinare la velocità v?

Agisce solo la forza di gravità e non vi è attrito.

Applicando “ciecamente” il II principio della dinamica dovremmo conoscere l’espressione esatta della curvatura della slitta !!

La conservazione dell’energia ci offre una semplice via d’uscita:

(

)

g v

v

mgy mv

E mgy mv

E_{mecc mecc}

− +

=

+

=

= +

=

0 2

0

0 2

0 0

, 2

2

12

12 Neppure la massa

del corpo è necessaria alla

soluzione!

Esercizio: conservazione dell’energia

I dati del problema sono:

La liana ha una tensione di rottura T_max , arriverà a rompersi?

Valutiamo Il bilancio delle forze ponendoci nel sistema di riferimento non inerziale solidale con Tarzan:

L’equilibrio sulla liana:

v è sempre tangente all’arco percorso (= perpendicolare alla liana).

Per la conservazione dell’energia meccanica, assumendo U=0 nel punto più basso:

Quindi:

N T

m h

m L

N

P_Tarzan = 688 ; =18 ; = 3.2 ; _max =950

Tarzan

L

h

θ

T

PT P_T sinθ

Fc L

v P m

T _T ^T

2

cos +

= θ

2 1

0

0 2

1 m v E

h P U

E = = _T = = _T P N N

L P h

T _T 2 _T 932 950

max = + = <

Curve di potenziale

Lo studio del grafico della funzione energia potenziale è particolarmente significativo. Assumiamo un caso unidimensionale, vale che:

) ) (

) ( (

) ( )

(

ale differenzi forma

dx in x x dU

F

x x F L

x U

−

=

∆

−

=

−

=

∆

La forza associata ad una funzione di energia potenziale è data graficamente dall’inverso della

pendenza della funzione stessa !

In particolare:

• la condizione di energia cinetica nulla identifica il punto di inversione del moto

• un minimo nella curva di potenziale (derivata prima nulla) identifica un possibile punto di equilibrio del moto

- 3 0 - 2 0 - 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

- 4 - 2 0 2 4 6

A l t e z z a

Energia Potenziale

Curve di potenziale - 2

Potenziale gravitazionale: nessun possibile punto di equilibrio

Potenziale elastico: esiste una condizione di equilibrio

Forza Peso m = 1 kg g = 9.8 m/s²

- 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0

- 4 - 2 0 2 4 6

A l l u n g a m e n t o

Energia Potenziale

Forza Elastica

K = 3.5 N/m ²

2 ) 1

(x kx

U =

mgh h

U ( ) =

Energia potenziale gravitazionale

La forza gravitazionale è conservativa, dunque ammette un potenziale.

Per il calcolo dell’energia potenziale gravitazionale:

– Diversamente dal caso della forza peso, scelgo che la configurazione di riferimento caratterizzata da potenziale nullo U=0 sia quella in cui i due corpi siano separati da una distanza infinita.

– Calcolo il potenziale di un corpo di massa m a distanza R dalla terra (massa M) assumendo che il corpo raggiunga tale punto (punto P) muovendosi dall’infinito sempre in direzione radiale (posso scegliere qualsiasi traiettoria!)

– Faccio uso della definizione stessa di energia potenziale:

– E quindi per la funzione potenziale:

( ) ( ) ( )

R U GMm

R GMm r

dr GMm GMm r

U U

dr r F r

d r F L

U U

U

P

R R

P

R R

P

−

=

−

 =

 

= 

=

−



 



−

 =



 



 ⋅

−

=

−

=

−

=

∆

∞ ∞

∞

∞

∞

∞

∫

∫

∫

1 0

cos

2

ρ θ ρ

(θ = 180°)

( = 0)U_∞

( ) r

r GMm

U = −

Indipendenza del cammino

Essendo il Lavoro dato dal prodotto scalare,

Il risultato è indipendente dal cammino di integrazione

Nei tratti del tipo B-C , D-E e F-G la forza è perpendicolare allo spostamento e il prodotto scalare è nullo.

Nota: siccome il campo gravitazionale è conservativo, esso è descritto da un campo scalare, Potenziale. U = U(r).

La forza gravitazionale si ottiene dal Potenziale attraverso la relazione:

∞

∫

⋅

−

=

0

) ( r d r F

L ρ ρ

2

) ) (

( r

GMm r

GMm dr

d dr

r r dU

F  = −



 



 −

−

=

−

ρ =

Velocità di Fuga

La velocità di fuga è la velocità minima che deve avere un corpo per sfuggire al campo gravitazionale di un oggetto di massa molto più grande: è il caso tipico di un missile che deve sfuggire al campo gravitazionale terrestre per poter esplorare altri pianeti.

Poiché l’energia potenziale del campo gravitazionale è data da:

Per poter sfuggire il missile deve avere un’energia cinetica minima uguale all’energia potenziale che lo trattiene quando è nelle vicinanze del

pianeta: Quindi, detta M la massa del pianeta e R il suo raggio si ha:

R r GMm

U( ) = −

R v GM

R mv GMm

U K

E

fuga totale fufa

2

2

0

12

=

= ⇒

−

= +

=

Energia del moto armonico

Conosciamo le espressioni dell’energia potenziale elastica, una volta applicare all’oscillatore lineare si ottiene che:

– L’energia potenziale:

– L’energia cinetica:

– L’energia meccanica è dunque costante:

( )

(

)

U ² _m² cos² 2

1 2

1

( )

(

)

K ² _m² sin² 2

1 2

1

( ) ( ) ( )

2 1

kxm

t K t

U t

E = + =