Esercizio
Stabilire se il campo di forze
ˆ ˆ ˆ
( 2 ) ( )
F = − y + x i − x − z j + yk
assumendo che essa sia nulla nell’origine .
sia conservativo e nel caso calcolarne la funzione energia potenziale
la prima parte di questo esercizio e’ gia’ stata svolta in precedenza
0
= F
dunque il campo di forze assegnato e’ conservativo e’ risultato chepercio’ esistera’ una funzione scalare
ricavare il campo di forza come gradiente della funzione scalare stessa
per cui sara’ possibile
dipendente solamente dalla posizione e tale
per determinarne l’espressione si puo’ calcolare l’integrale di linea lungo
partendo dall’origine
(0,0,0)
P(x0,y0,z0)
y O
x
z
un percorso qualsiasi in particolare lungo un cammino rettilineo a tratti
di coordinate
(x
0, y
0, z
0)
per esempio :
ad arrivare ad un generico punto
P
fino
ˆ ˆ ˆ ˆ [ ( y 2 ) x i ( x z j ) yk )] dyj
= − + − − +
1
ˆ
dl = dyj dL
1= F dl
1=
( x z dy j j ) ˆ ˆ
= − − = − ( x z dy − )
0, ,0 0, ,0
1 1
0,0,0 0,0,0
( ) ( )
O O
y y
L = F dl = − x − z dy = − x − z y
Oma lungo tutto il cammino da (0,0,0) a (0,y0,0) si ha che x = 0 e z = 0 primo tratto :
lungo il cammino da (0,0,0) a (0,y0,0)
x0
O
x
y
(x0, y0)
y0 z0
z
dl1
P(x0,y0,z0)
quindi
quindi
L
1= 0
2
ˆ dl = dxi
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ( y 2 ) x i ( x z j ) yk ) dxi
= − + − − +
2 2
dL = F dl
( y 2 ) x dx i i ˆ ˆ
= − + = − ( y + 2 ) x dx
, ,0 , ,0 , ,0
2 2
2 2
0, ,0 0, ,0 0, ,0
O O O O O O
O O O
x y x y x y
O O
y y y
L = F dl = − y dx − dx = − yx − x 2
ydx xdx
= − −
ma y = y0 e z = 0 lungo questo cammino
L
2= − y x
0 O− x
O2x0
O
x
y
(x0,y0)
y0 z0
P(x0,y0,z0)
z
dl2
secondo tratto :
lungo il cammino da (0,y0,0) a (x0, y0,0) quindi
percio’
3
ˆ dl = dzk
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ( y 2 ) x i ( x z j ) yk ) dzk
= − + − − +
3 3
dL = F dl =
ydz k k ˆ ˆ
= = ydz
, , , ,
3 3
, ,0 , ,0
O O O O O O
O O O O
x y z x y z
O
x y x y
L = F dl = y dz = yz
3 O O
L = y z
lungo tutto questo cammino
x = x
0 ey = y
0 quindix0
O
x
y
(x0,y0)
y0 z0
P(x0,y0,z0)
z
dl3
terzo tratto :
lungo il cammino da (x0,y0,0) a (x0, y0, z0)
quindi
ma
x
0y
0 ez
0 sono punti qualsiasidunque la relazione tra lavoro e potenziale
(
2)
L = − x + xy − yz
si ha
U x y z ( , , ) = ( x
2+ xy − yz )
( , , ) U x y z
e poiche’
(0, 0, 0) 0
U =
se le forze in gioco sono conservative il lavoro puo’ anche essere scritto come :
A B A B
L
→= − = U U − U
(0, 0, 0) (
2)
U x xy yz
= + + −
B A A B
U = U − L
→quindi
1 2 3
L
Tot= L + L + L = − 0 y x
O O− x
O2+ y z
O Oin questo particolare caso sara’
(0, 0, 0) [ ( ( U x
2xy yz ))]
= − − + − =
ˆ ˆ ˆ
( 2 ) ( )
F = − y + x i − x − z j + yk
F = − U
ossia calcoliamo le derivate parziali di
U(x,y,z,t)
( , , , )
x
U x y z t
F x
= −
( , , , )
y
U x y z t
F y
= −
( , , , )
z
U x y z t
F z
= −
( , , ) (
2)
U x y z = x + xy − yz
ed in effetti se si ha
per verificare che il risultato sia corretto, dato che
