UNIVERSIT `A DEGLI STUDI DI FERRARA FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

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UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI FERRARA

FACOLT `A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea Triennale in Matematica Indirizzo Matematica Pura

IDEALI PRIMI E LOCALIZZAZIONE

Relatore:

Chiar.mo Prof.

Josef Eschgf ¨aller

Laureanda:

Ilaria Fiorella Paglia

Anno Accademico 2010-2011

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Indice

Introduzione 3

1. Notazioni 5

2. Ideali primi in un anello non commutativo 6

3. Anelli noetheriani 18

4. Il teorema della base di Hilbert 25

5. Ideali primari 29

6. Ideali primi minimali 33

7. Localizzazione 35

8. Localizzazione di moduli 45

9. Localizzazione in un ideale primo 49

10. Decomposizione primaria 51

Bibliografia 59

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Introduzione

Questa tesi presenta alcuni dei pi `u importanti risultati della teoria degli anelli, riguardanti in modo particolare gli ideali primi e la localizzazione rispetto ad un sottomonoide puro di un anello.

Nella prima parte della tesi la teoria viene svolta nel contesto degli anelli non necessariamente commutativi, mentre nella seconda parte sono trattate, nell’ambito dell’algebra commutativa la teoria della localizzazione e la decomposizione primaria.

Nel primo capitolo sono raccolte alcune notazioni che sono utilizzate in tutto l’elaborato.

Il secondo capitolo introduce il concetto di ideale primo e di anello primo. Elenchiamo alcune caratteristiche dell’anello dei quaternioniH e del suo sottoanelloHZ. Usiamo il lemma di Brauer, il quale afferma che, dato un ideale sinistro minimaleI con I² 6= 0, esiste un elemento idempotentee tale che I = Re, per dimostrare che un dominio non contiene ideali sinistri minimali e quindi non tutti gli anelli contengono ideali minimali. Il capitolo prosegue definendo l’insiemeSpec A degli ideali primi, gli ideali primi minimali, completamente primi e semiprimi. Vediamo anche alcune applicazioni sull’anelloRⁿ_n delle matrici a n righe e n colonne, a coefficienti nell’anello non commutativo R.

Nell’ultima parte del capitolo definiamo il radicale di un ideale e rela- tive propriet `a utili nell’ultimo capitolo sulla decomposizione primaria.

Nel terzo capitolo ci occupiamo di moduli e anelli noetheriani. Tra gli esempi vediamo il caso diHZ e condizioni per la noetherianit à di un ∇-anello. Un altro fondamentale esempio è costituito dall’anello dei polinomiA[x] a coefficienti in un anello noetheriano commutativo A. Infatti il teorema della base di Hilbert afferma che, se A è un anello noetheriano commutativo, allora ancheA[x] è noetheriano. Di questo teorema diamo, nel quarto capitolo, diverse dimostrazioni: la prima seguendo Gabelli, la seconda seguendo Fieseler-Kaup e l’ultima (la pi ù breve) fornita da Heidrun Sarges.

Nel quinto capitolo sono centrali i risultati riguardanti gli ideali primari, P -primari, i radicali di ideali e gli ideali della forma I : F . In questo capitolo vediamo anche la definizione di anello locale (cioè con- tenente un unico ideale massimale m) e un paio di esempi. Inoltre costruiamo due anelli particolari in cui il radicale di un ideale è primo, ma l’ideale stesso non è primario.

Dopo la definizione di sottomonoide puro di un anello commutativo, nel sesto capitolo dimostriamo la relazione tra questi e gli ideali primi:

infatti gli ideali primi minimali coincidono con i complementari dei sottomonoidi puri massimali.

La localizzazione di un anelloA rispetto ad un sottomonoide puro S appare nel settimo capitolo. Per costruire questo anello commutativo S⁻¹A definiamo una relazione di equivalenza ∼ sull’insieme A × S e su di esso le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Inoltre

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verifichiamo che gli elementi di S sono invertibili in S⁻¹A. Dato un anello commutativo integroA costruiamo un omomorfismo tra la sua localizzazioneS⁻¹A e il suo campo dei quozienti K(A), sottolineando l’identificazione diS⁻¹A con il sottoanello na

s | a ∈ A, s ∈ So

diK(A).

Analogamente, datoS := {fⁿ | n ∈ N}, dove f ∈ A non `e nilpotente, il sottoanello

a

fⁿ | a ∈ A, n ∈ N

coincide con il sottoanelloA

1 f

di K(A).

Nella seconda parte del capitolo studiamo, per un ideale I di A, l’ideale generalizzatoS⁻¹I di S⁻¹A; esso `e proprio se e solo se I∩S = ∅.

Importante `e anche la contrazione di un ideale generalizzato diA, sia in relazione alla localizzazione che alla decomposizione primaria. Tut- to questo ci permette di costruire una biiezione canonica tra l’insieme degli ideali generalizzati S-saturi di A e l’insieme degli ideali generalizzati diS⁻¹A. Infine osserviamo che la localizzazione di un anello noetheriano `e ancora noetheriana.

Un altro caso particolare lo incontriamo nel capitolo 8 dove, similmente al capitolo precedente, costruiamo la localizzazione di moduli M . Dimostriamo in particolare che l’operazione M 7−→ S⁻¹M `e un funtore esatto.

Come visto nel capitolo 6, un sottomonoide puro è il complementare di un ideale primo, pertanto risulta immediato definire la localizza- zioneAP di un ideale primoP . Dimostriamo che l’anello cos`ı trovato è locale e il suo unico ideale massimale èP A_P. Inoltre il campoA_P/P A_P

`e isomorfo aK(A/P ).

Se un idealeI di A `e decomponibile, allora ammette anche una decomposizione primaria minimale. Vediamo nel decimo e ultimo capitolo che questa `e unica, e che, per ideali in anelli noetheriani, esiste sempre. Definiamo l’insiemeAss A/I degli ideali primi associati ad I dove

Ass A/I := {P ∈ Spec A | esiste a ∈ A conP = √

I : a} e verifichiamo che, nel caso di anelli noetheriani, essi coincidono con gli ideali primi della forma I : a. Consideriamo la localizzazione di un insieme finito di ideali generalizzati ∆ fatta rispetto ad un sottomonoide puro S, e la applichiamo al caso in cui∆ sia proprio la decomposizione primaria minimale di un ideale I. Infatti, dato ∆1 := {Q ∈ ∆ | √

Q∩ S = ∅}, si ha cheS⁻¹∆₁ (rispettivamente∆₁) `e una decomposizione primaria minimale diS⁻¹I (rispettivamente S^∗S⁻¹I). Alla fine vediamo che per un anello noetherianoA e un ideale I di A l’insieme Ass A/I coincide con l’insieme degli ideali primi P che sono della forma P = I : a per un elementoa∈ A.

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1. Notazioni

Osservazione 1.1. Usiamo il termine anello per denotare un anello (associativo)6= 0, dotato di un elemento neutro della moltiplicazione.

Quest’ultimo viene denotato con 1, oppure, quando bisogna indicare l’anelloR stesso, con 1R.

Similmente un omomorfismo di anelliϕ : R→ S deve soddisfare la condizioneϕ(1R) = 1S.

SeR è un anello, un R-modulo è un R-modulo sinistro M unitale, cioè tale che1_R· v = v per ogni v ∈ M.

Talvolta considereremo ancheR-moduli destri, anch’essi unitali.

Definizione 1.2. Un ideale bilaterale, sinistro o destro di un anelloR

`e per definizione6= R. Se vogliamo includere anche R stesso, parliamo di ideale (bilaterale, sinistro o destro) generalizzato.

Il termine ideale senza specificazione della lateralit `a indica un ideale bilaterale.

Si noti che0 `e sempre un ideale perch`e R6= 0.

Osservazione 1.3. SianoR un anello e M un R-modulo. Allora R e M sono anche gruppi abeliani, quindiZ-moduli, perci`o per ogni n ∈ M e per ogniv∈ M sono definiti gli elementi n1R∈ R e nv ∈ M e si ha

nv = v + v + . . . + v

| {z }

n

= (1R+ 1R+ . . . + 1R)v

| {z }

n

= (n1R)v

Definizione 1.4. Per un insiemeX ed n, m∈ N + 1 usiamo le seguenti notazioni:

Xⁿ:= insieme dei vettori colonna di lunghezza n formati da elementi diX;

Xm := insieme dei vettori riga di lunghezza m formati da elementi diX;

X_mⁿ := insieme delle matrici di m righe e n colonne formate da elementi diX.

Definizione 1.5. Sia R un gruppo abeliano (ad esempio un anello o un modulo su un anello) edX un insieme. Allora denotiamo con R^X l’insieme delle applicazioni u : X −→ R tale che sia finito l’insieme {x ∈ X | u(x) 6= 0}.

Definizione 1.6. Per un omomorfismo ϕ di gruppi (e quindi anche di anelli o moduli) denotiamo conKer ϕ il nucleo, con Im ϕ l’immagine diϕ.

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2. Ideali primi in un anello non commutativo

Situazione 2.1. SiaR un anello.

Definizione 2.2. Un ideale primo diR `e un ideale P di R tale che se I e J sono ideali di R con IJ ⊂ P , allora I ⊂ P oppure J ⊂ P.

Definizione 2.3. L’anelloR si dice primo se 0 `e un ideale primo di R.

Osservazione 2.4. L’anello R `e primo se e solo se presi ideali I e J diR, tali che IJ = 0, allora I = 0 oppure J = 0.

Lemma 2.5. SiaP un ideale di R. Allora sono equivalenti:

(1)P `e primo.

(2) L’anelloR/P `e primo.

(3) SeI e J sono ideali sinistri di R con IJ ⊂ P , allora I ⊂ P oppure J ⊂ P.

(4) SeI e J sono ideali destri di R con IJ ⊂ P , allora I ⊂ P oppure J ⊂ P.

(5) Sea, b∈ R sono tali che aRb ⊂ P, allora a ∈ P oppure b ∈ P.

Dimostrazione. (1)=⇒ (2): P sia primo ed U,V ideali di R/P tali che U V = 0. Allora esistono ideali I e J di R con P ⊂ I e P ⊂ J tali che I/P = U , J/P = V.

Si ha inoltre 0 = U V = IJ/P e ci`o significa IJ ⊂ P. Per ipotesi ad esempioI ⊂ P e allora U = I/P = 0.

(2) =⇒ (1): Siano I e J ideali di R tali che IJ ⊂ P . Poniamo U :=

(I + P )/P e V := (J + P )/P. Allora U e V sono ideali di R/P tali che U V = 0.

Per ipotesi si ha ad esempioU = 0. Ci`o implica I ⊂ I + P ⊂ P.

(1) =⇒ (3): Siano I e J ideali sinistri tali che IJ ⊂ P . Allora IR e JR sono ideali di R e si ha IRJR⊂ IJR ⊂ P R = P, cosicch´e l’ipotesi implica che ad esempioIR⊂ P e quindi anche I ⊂ P.

(1)=⇒ (4): Nello stesso modo.

(3)=⇒ (5): Siano a, b ∈ R tali che aRb ⊂ P . Allora Ra e Rb sono ideali sinistri diR tali che RaRb⊂ RP = P . Per ipotesi ad esempio Ra ⊂ P e quindi anchea∈ P.

(4)=⇒ (5): Nello stesso modo.

(5) =⇒ (1): Siano I e J ideali di P con IJ ⊂ P. Assumiamo, per assurdo, cheI 6⊂ P e J 6⊂ P. Allora esistono a ∈ I \ P e b ∈ J \ P. Per`o aRb⊂ aRRb ⊂ IJ ⊂ P in contrasto con l’ipotesi.

Proposizione 2.6. Ogni ideale (bilaterale, sinistro, destro) diR `e con- tenuto in un ideale (bilaterale, sinistro, destro) massimale.

Dimostrazione. Ci`o `e una conseguenza facile del lemma di Zorn.

Corollario 2.7.R contiene un ideale massimale.

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Dimostrazione.0 `e un ideale di R ed `e contenuto in un ideale massimale per la proposizione 2.6.

Proposizione 2.8. Ogni ideale massimale diR `e primo.

Dimostrazione. SiaM un ideale massimale di R e siano I e J ideali diR tali che IJ ⊂ M. Assumiamo che I 6⊂ M. Allora I +M = R cosicch´e

J = RJ = (I + M )J ⊂ IJ + MJ ⊂ M + M = M Corollario 2.9.R contiene un ideale primo.

Nota 2.10. Come nell’analisi complessa si scrive x + iy per (x, y) = xδ1 + yδ2 ∈ R², identificando quindiR con R × 0 ed 1 con δ1,i con δ2, cos`ı nell’algebra dei quaternioni che introdurremo adesso si scrive x + iy + jz + kt per (x, y, z, t) = xδ1+ yδ2+ zδ3+ tδ4∈ R4.

Otteniamo un’applicazione bilineare R4 × R4 −→ R4 se definiamo i prodotti degli elementi della base standard secondo la seguente tabella:

· 1 i j k

1 1 i j k

i i −1 k −j

j j −k −1 i

k k j −i −1

Il prodotto di due elementi qualsiasi di R4 si ottiene per estensione lineare. Si ha cos`ı ad esempio:

(2 + 3i + 4j + 5k)(6 + 7i + 8j + 9k) = 12 + 14i + 16j + 18k + 18i +21i²+ 24ij + 27ik + 24j + 28ji + 32j²+ 36jk + 30k + 35ki + 40kj +45k²= 12 + 14i + 16j + 18k + 18i− 21 + 24k − 27j + 24j − 28k

−32 + 36i + 30k + 35j − 40i − 45 = (12 − 21 − 32 − 45) + (14 + 18 + 36

−40)i+(16−27+24+35)j +(18+24−28+30)k = −86+28i+48j +44k Si dimostra facilmente cheR4 con questa moltiplicazione è un anello (e in pi ù una R-algebra) che si chiama l’anello dei quaternioni. Que- sto anello è stato inventato da William Rowan Hamilton (1805-1865) e in suo onore viene spesso denotato, come faremo anche noi, con la letteraH.

Tramite l’algebra dei quaternioni si pu`o descrivere la cinematica dello spazio R³; per un’esposizione pi `u dettagliata di questo aspetto geometrico rimandiamo al libro di Kuipers; cfr. anche Pottmann/Wallner, pagg. 522-546.

Algebre di quaternioni possono essere definite anche con regole leg- germente pi `u generali e su altri campi; cfr. Pierce, pagg. 13-20.

Proposizione 2.11.Centro(H) = R

Dimostrazione. Siap = a + bi + cj + dk∈ Centro(H) con a, b, c, d ∈ R.

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Allora in particolarepi = ip. Per`o

pi = ai− b + cji + dki = ai − b − ck + dj ip = ia− b + cij + dik = ai − b + ck − dj per cuic = 0 = d e quindi p = a + ib. Inoltre pj = jp. Per`o

pj = aj + bij = aj + bk jp = ja + bji = aj− bk e vediamo che ancheb = 0, per cui p∈ R.

Definizione 2.12.

(1)R si chiama un dominio, se per a, b∈ R \ 0 si ha sempre ab 6= 0.

Un dominio commutativo `e detto anche dominio integro.

(2) Un elemento a di R si dice invertibile, se esiste un elemento a⁻¹∈ R tale che a · a⁻¹= a⁻¹· a = 1^R. Si vede facilmente che a⁻¹, quando esiste, `e univocamente determinato.

Denotiamo conR^∗l’insieme degli elementi invertibili diR.

Si dimostra facilmente che(R^∗,·) `e un gruppo.

(3) R si chiama un anello con divisione (in inglese division ring oppure skew field, in italiano talvolta anche corpo), se ogni elemento 6= 0 di R `e invertibile, se cio`e R^∗ = R\ 0.

E chiaro che ogni sottoanello di un anello con divisione `e un dominio.` Osservazione 2.13. Ogni dominio `e un anello primo.

Osservazione 2.14. Perp = a + bi + cj + dk∈ H con a, b, c, d ∈ R poniamop := a¯ − bi − cj − dk. Allora:

(1) p¯p = ¯pp = a²+ b²+ c²+ d² =kpk². In particolare vediamo chep¯p∈ R.

(2) Quindip¯p6= 0 per p 6= 0.

In tal caso perciò è ben definito il numero reale 1 p¯p. (3) Siap6= 0. Allora p è invertibile e si ha

p⁻¹ = p¯

p¯p = a− bi − cj − dk a²+ b²+ c²+ d² Dimostrazione. (1) Infatti

p¯p = (a + bi + cj + dk)(a− bi − cj − dk)

= a²− abi − acj − adk + bai − b²i²− bcij − bdik + caj

− cbji − c²j²− cdjk + dak − dbki − dckj − d²k²

= a²+ b²+ c²+ d²− bc(ij + ji) − bd(ik + ki) − cd(jk + kj)

= a²+ b²+ c²+ d². (2) e (3) Chiari.

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Corollario 2.15.H `e un anello con divisione.

Definizione 2.16. SiaHZ:=Z + Zi + Zj + Zk.

E chiaro che` HZ `e un sottoanello diH e quindi un dominio.

Lemma 2.17.H^∗_Z={±1, ±i, ±j, ±k}.

Dimostrazione. (1) Gli elementi indicati sono detti invertibili, infatti i⁻¹ =−i, j⁻¹=−j, k⁻¹ =−k, come segue dalle relazioni i² = j²= k²=

−1.

(2) Sia p := a + bi + cj + dk con a, b, c, d ∈ Z e p 6= 0, p⁻¹ ∈ HZ. Dalla formula nel punto (3) dell’oss. 2.14 segue che a² + b² + c² + d² dividea, b, c, d e ciò è evidentemente possibile solo se esattamente uno dei quattro numeria, b, c, d è 6= 0; questo numero deve inoltre essere uguale a±1.

Corollario 2.18.HZnon `e un anello con divisione.

Definizione 2.19. Un ideale (bilaterale, sinistro, destro) minimale di R `e un ideale (bilaterale, sinistro, destro) minimale tra gli ideali (bilaterali, sinistri, destri) diversi dallo0 di R.

Osservazione 2.20.Z non possiede ideali minimali.

Quindi anche in un anello commutativo in generale non esistono ideali minimali.

Definizione 2.21. (1) SiaM un R-modulo. Per un sottoinsieme X⊂ M poniamo

X^⊥:={a ∈ R | aX = 0}

(2) SiaN un R-modulo. Per un sottoinsieme Y ⊂ N poniamo Y_⊥:={a ∈ R | Y a = 0}

Lemma 2.22 (lemma di Brauer). SiaI un ideale sinistro minimale diR con I² 6= 0. Allora esiste un elemento idempotente e ∈ I tale che I = Re.

Dimostrazione. L’ipotesiI² 6= 0 implica che esiste un elemento a ∈ I tale che Ia 6= 0. Ia è un ideale sinistro di R contenuto in I, per cui Ia = I a causa della minimalit à di I. Ciò implica che esiste e∈ I con a = ea. Da ciò segue e²− e ∈ I ∩ a^⊥.

L’insiemeI ∩ a^⊥ è un ideale sinistro di R che è contenuto in I, ma non coincide conI perché e /∈ a^⊥(altrimenti si avrebbea = ea = 0). Ma I è minimale, quindi I∩ a^⊥ = 0 e ciò implica e²= e. Infine 06= Re ⊂ I, per cuiRe≡ I.

Osservazione 2.23.R sia un dominio. Allora gli unici elementi idem- potenti diR sono 0 ed 1.

Dimostrazione. Sia e ∈ R idempotente. Allora e(e − 1) = 0, per cui e = 1 oppure e = 0, poich´e siamo in un dominio.

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Proposizione 2.24. R sia un dominio. Allora R non possiede ideali sinistri minimali.

Dimostrazione. Ci`o segue dal lemma 2.22 e dall’oss. 2.23.

Corollario 2.25.HZnon possiede un ideale sinistro minimale.

Definizione 2.26. Un ideale primo minimale diR `e un ideale primo diR che non contiene nessun altro ideale primo.

Definizione 2.27. Poniamo

Spec R := insieme degli ideali primi di R Max R := insieme degli ideali massimali di R Per un sottoinsiemeX ⊂ R sia inoltre

Spec R : X :={P ∈ Spec R | X ⊂ P }

Proposizione 2.28. Ogni ideale primoP di R contiene un ideale pri- mo minimale.

Dimostrazione. Consideriamo l’insieme Spec R, ordinato per inclusione. Dal cor. 2.7 sappiamo che Spec R 6= ∅. Sia C una catena non vuota inSpec R e Q := T

T∈C

T . Allora Q `e un ideale di R contenuto in P . Dobbiamo dimostrare cheQ `e primo. Siano a, b∈ R tali che aRb ⊂ Q.

Assumiamo, per assurdo, che a, b /∈ Q. Allora esistono S, T ∈ C con a /∈ S e b /∈ T . Siccome C è una catena, abbiamo ad esempio S ⊂ T . Alloraa, b /∈ S, mentre aRb ⊂ Q ⊂ S. Ma ciò non è possibile, perché S

`e primo.

Il lemma di Zorn implica l’enunciato.

Definizione 2.29. Un idealeP di R si dice completamente primo, se R/P `e un dominio, cio`e se ab∈ P implica a ∈ P oppure b ∈ P .

E evidente dalle definizioni che un ideale completamente primo è` primo e che, quando R è commutativo, un ideale primo è completamente primo.

Lemma 2.30. Sianoϕ : R→ eR un omomorfismo di anelli e J un ideale di eR. Allora:

(1)ϕ⁻¹(J) `e un ideale di R.

(2) SeJ è primo e ϕ è suriettivo, allora anche ϕ⁻¹(J) è primo.

(3) SeJ `e completamente primo, allora ϕ⁻¹(J) `e completamente primo.

Dimostrazione. (1) Sianoa, b∈ ϕ⁻¹(J) ed r∈ R. Allora ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)∈ J + J = J ϕ(ra) = ϕ(r)ϕ(a)∈ eRJ = J

ϕ(ar) = ϕ(a)ϕ(r)∈ J eR = J

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(2) Sianoϕ suriettivo e J primo. Siano a, b∈ R tali che aRb⊂ ϕ⁻¹(J), cio`e ϕ(aRb)⊂ J. Ci`o implica

ϕ(a) eRϕ(b) = ϕ(a)ϕ(R)ϕ(b) = ϕ(aRb)⊂ J

Alloraϕ(a)∈ J oppure ϕ(b) ∈ J, cio`e a ∈ ϕ⁻¹(J) oppure b∈ ϕ⁻¹(J).

(3) SiaJ un ideale completamente primo. Siano a, b∈ R tali che ab∈ ϕ⁻¹(J), cioè ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab)∈ J. Ciò implica che ϕ(a) ∈ J oppure ϕ(b)∈ J, cioè a ∈ ϕ⁻¹(J) oppure b∈ ϕ⁻¹(J).

Lemma 2.31. Sianoϕ : R→ eR un omomorfismo suriettivo di anelli e P un ideale di R. Allora:

(1)ϕ(P ) `e un ideale generalizzato di eR.

(2) SeKer ϕ⊂ P , allora ϕ(P ) `e un ideale di eR.

(3) SeKer ϕ⊂ P e P `e primo, allora anche ϕ(P ) `e primo.

Dimostrazione. (1) `E chiaro cheϕ(P ) `e un sottogruppo additivo di eR.

Siano u ∈ ϕ(P ) e t ∈ eR. Allora esistono p ∈ P ed a ∈ R tali che u = ϕ(p) e ϕ(a) = t. Siccome P `e un ideale di R, si ha ap ∈ P . Perci`o tu = ϕ(a)ϕ(p) = ϕ(ap)∈ ϕ(P ) e similmente ut ∈ ϕ(P ).

(2) Assumiamo, per assurdo, che1_R_e ∈ ϕ(P ). Allora esiste a ∈ P tale cheϕ(a) = 1_R_e. Siccome ancheϕ(1R) = 1_R_e, allora1R− a ∈ Ker ϕ ⊂ P e ci`o implica1R∈ P , una contraddizione.

(3) Sianou, v∈ eR\ ϕ(P ). Per ipotesi esistono s, t ∈ R tali che

ϕ(s) = u e ϕ(t) = v. Necessariamente s, t /∈ P , perci`o, essendo P primo, esistea∈ R tale che sat /∈ P .

E sufficiente dimostrare che` uϕ(a)v = ϕ(sat) /∈ ϕ(P ).

Assumiamo, per assurdo, che esista p ∈ P tale che ϕ(sat) = ϕ(p).

Allorap− sat ∈ Ker ϕ ⊂ P e quindi sat ∈ P , una contraddizione.

Corollario 2.32. SiaI un ideale di R.

(1) SeP `e un ideale primo di R tale che P ⊃ I, allora P/I `e un ideale primo diR/I.

(2) SeQ `e un ideale primo di R/I, allora esiste un unico ideale primo P di R con P ⊃ I e tale che Q = P/I. Esplicitamente si ha

P ={a ∈ R | I + a ∈ Q}.

Corollario 2.33. SiaI un ideale di R. Allora esiste una biiezione na- turale

Spec R/I ←→ Spec R : I

Q7−→ {a ∈ R | I + a ∈ Q}

P/I ←−[ P

Corollario 2.34. SiaI un ideale di R. Allora ogni elemento di Spec R : I contiene un elemento minimale di Spec R : I.

Dimostrazione. Ci`o segue dalla prop. 2.28, utilizzando il cor. 2.33.

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Lemma 2.35. Ogni insieme non vuoto di ideali diR possieda un ele- mento massimale. Allora esistono ideali primiP1, . . . , Pn diR tali che P1P2. . . Pn= 0.

Dimostrazione. Assumiamo, per assurdo, che l’enunciato non sia vero. Allora l’insiemeA degli ideali di R, che non contengono un prodotto finito di ideali primi, contiene l’ideale0 e quindi non `e vuoto. Per ipotesi esiste un elemento massimaleE diA.

Allora però anche l’anelloR/E è un controesempio e possiamo sosti- tuire R con R/E, avendo adesso per la massimalit à di E la seguente situazione:

(1) Un prodotto finito di ideali primi diR non `e mai 0.

(2) In particolare0 non `e primo.

(3) Ogni ideale6= 0 di R contiene un prodotto finito di ideali primi.

Per il punto (2) esistono idealiI, J 6= 0 tali che IJ = 0. Per il punto (3) esistono ideali primiP1, . . . , Pm, Q1, . . . , Qn tali cheP1. . . Pm ⊂ I e Q1. . . Qn⊂ J. Ma allora 0 = IJ ⊃ P¹. . . PmQ1. . . Qnin contrasto con il punto (1).

Corollario 2.36. Se inR esistono ideali primi P₁, . . . , P_m tali che P1. . . Pm = 0, allora R contiene al massimo m ideali primi minimali.

Dimostrazione. SiaQ un ideale primo minimale di R. Allora

P1. . . Pm = 0 ⊂ Q implica che ad esempio Q ⊃ P¹ perch´e Q `e primo.

Allora Q = P₁ per la minimalit `a di Q. Vediamo cos`ı che ogni ideale primo minimale diR appartiene all’insieme{P1, . . . , Pm}.

Proposizione 2.37.R sia noetheriano a sinistra o a destra. Allora:

(1) Esistono ideali primiP₁, . . . , P_m diR tali che P₁P₂. . . P_m= 0.

(2)R contiene solo un numero finito di ideali primi minimali.

Dimostrazione. (1) Segue dal lemma 2.35.

(2) Segue dal punto (1), utilizzando il cor. 2.36.

Definizione 2.38. Un idealeH di R si dice semiprimo, se H `e interse- zione (anche infinita) di ideali primi.

L’anelloR si dice semiprimo, se 0 `e intersezione di ideali primi di R.

Osservazione 2.39. Un idealeH di R `e semiprimo se e solo se R/H `e semiprimo.

Dimostrazione. Ci`o segue dal cor. 2.33.

Osservazione 2.40. Gli ideali semiprimi di Z sono esattamente gli idealimZ, dove m = 0 oppure m ∈ N+1 `e un numero libero da quadrati (cio`e tale chep² ∤ m per ogni primo p).

Osservazione 2.41. SianoI, J, P ideali di R tali che IJ ⊂ P . Allora:

(1)(I + P )(J + P )⊂ P .

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(2) SeI 6⊂ P e J 6⊂ P , allora I + P e J + P sono ideali di R.

Dimostrazione. (1)(I + P )(J + P ) = IJ + P J + IP + P² ⊂ P .

(2) Sia ad esempioI +P = R. Allora dal punto (1) si ha che J +P ⊂ P e quindi ancheJ ⊂ P , una contraddizione.

Definizione 2.42. Un m-sistema inR `e un sottoinsieme S ⊂ R con la propriet `a che per ognis, t∈ S esiste x ∈ R tale che sxt ∈ S.

Osservazione 2.43. Un idealeP di R `e primo se e solo se R\ P `e un m-sistema.

Dimostrazione. Ci`o segue dal punto (5) del lemma 2.5.

Lemma 2.44.S sia un m-sistema in R tale che 0 /∈ S. Sia D l’insieme degli idealiJ di R tali che J ⊂ R \ S. Allora:

(1) Ogni elemento diD `e contenuto in un elemento massimale di D.

(2) Ogni elemento massimale diD `e un ideale primo.

Dimostrazione. (1) Per ipotesi0∈ D, per cui D 6= ∅. Sia C una catena non vuota diD. Considero P := S

T∈C

T e vedo che P ∈ D.

Per ogniT ∈ C si ha che T ⊂ R \ S, da cui segue che anche P ⊂ R \ S.

InoltreP è un ideale di R poiché è unione di ideali di R.

(2) Siano P un elemento massimale diD e I, J ideali di R tali che IJ ⊂ P . Assumiamo, per assurdo, che I 6⊂ P e J 6⊂ P . Per l’oss. 2.41 I + P e J + P sono ideali di R con (I + P )(J + P )⊂ P . Allora P $ I + P eP $ J + P , cosicch´e dalla massimalit`a di P in D segue che esistono s ∈ S ∩ (I + P ) e t ∈ S ∩ (J + P ). Segue che esiste x ∈ R tale che sxt∈ S. D’altra parte sxt ∈ (I + P )R(J + P ) = (I + P )(J + P ) ⊂ P , una contraddizione.

Definizione 2.45. Pera ∈ R sia S(a) l’insieme degli m-sistemi in R che contengonoa.

Osservazione 2.46. Siaa∈ R. Allora {aⁿ| n ∈ N} ∈ S(a).

Definizione 2.47. Per un idealeI di R sia

√I :={a ∈ R | S ∩ I 6= ∅ per ogni S ∈ S(a)}

Teorema 2.48. SiaI un ideale di R. Allora√

I `e l’intersezione di tutti gli ideali primi diR che contengono I.

Dimostrazione. (1) Sianoa∈ √

I e P ∈ Spec R : I. Assumiamo, per assurdo, che a 6∈ P , ovvero a ∈ R \ P =: S. Per l’oss. 2.43 S ∈ S(a), cosicch´e l’ipotesia∈√

I implica S∩ I 6= ∅. Ma I ⊂ P implica che anche S∩ P 6= ∅, una contraddizione.

(2) Siaa6∈√

I. Ci`o significa che esiste un S ∈ S(a) tale che I ⊂ R \ S.

Allora per il lemma 2.44 esiste un ideale primoP ∈ Spec R : I, tale che P ⊂ R \ S, da cui segue che a 6∈ P .

(15)

Corollario 2.49. SiaI un ideale di R. Allora√

I `e il pi `u piccolo ideale semiprimo diR che contiene I.

Corollario 2.50. Un idealeH di R `e semiprimo se e solo se H =√

H.

Un ideale semiprimo `e quindi uguale all’intersezione di tutti gli idea- li primi che lo contengono.

Definizione 2.51. Un n-sistema inR `e un sottoinsieme T ⊂ R con la propriet `a che per ognit∈ T esiste x ∈ R tale che txt ∈ T .

Definizione 2.52. Pert, x∈ R poniamo t[x] := txt.

Lemma 2.53. Sianot, x₁, x₂, . . .∈ R. Allora S :={t, t[x¹], t[x1][x2], t[x1][x2][x3], . . .}

`e un m-sistema.

Dimostrazione. Poniamos₀ := t ed s_i:= t[x₁] . . . [x_i] per i > 0 e consi- deriamosi, sj ∈ S.

Peri = j allora sixi+1si= si+1∈ S.

Peri > j esiste y ∈ R tale che si= s_j[y]. Allora sixi+1sjysj = sixi+1si = si+1∈ S.

Peri < j si conclude allo stesso modo.

Lemma 2.54. (1) Ogni m-sistema `e un n-sistema.

(2)T sia un n-sistema in R. Allora per ogni t∈ T esiste un m-sistema S in R tale che t∈ S ⊂ T .

Dimostrazione. (1) Chiaro.

(2) Per ipotesi esistex1 ∈ R tale che t[x1] ∈ T , quindi esiste anche x2 ∈ R tale che t[x¹][x2]∈ T e cos`ı via.

SiaS := {t, t[x1], t[x1][x2], t[x1][x2][x3], . . .}. `E chiaro che t ∈ S ⊂ T . Per il lemma 2.53S `e un m-sistema.

Proposizione 2.55. Per un idealeH di R sono equivalenti:

(1)H `e semiprimo.

(2) Per ognia∈ R l’inclusione aRa ⊂ H implica a ∈ H.

(3)R\ H `e un n-sistema.

Dimostrazione. (1)=⇒ (2): Se H `e semiprimo, allora H = T

P∈Spec R:H

P.

Siaa∈ R tale che aRa ⊂ H. Per il punto (5) del lemma 2.5 allora a ∈ P per ogniP ∈ Spec R : H, ovvero a ∈ H.

(2)⇐⇒ (3): Chiaro.

(3)=⇒ (1): R \ H sia un n-sistema. Dimostriamo che√

H⊂ H.

Siaa ∈ √

H. Assumiamo, per assurdo, che a 6∈ H. Per il lemma 2.54 esiste un m-sistemaS di R tale che a∈ S ⊂ R \ H e quindi S ∩ H = ∅.

Ma ciò non è possibile perchéa∈√ H.

(16)

Proposizione 2.56. Per un idealeH di R sono equivalenti:

(1)H `e semiprimo.

(2) SeI `e un ideale sinistro o destro di R con I²⊂ H, allora I ⊂ H.

(3) SeI `e un ideale di R con I² ⊂ H, allora I ⊂ H.

Dimostrazione. (1)=⇒ (2): Sia I un ideale sinistro o destro di R tale che I² ⊂ H. Se H è semiprimo allora H è l’intersezione di tutti gli ideali primi che lo contengono. PerciòI ⊂ P per ogni P ∈ Spec R : H e pertantoI ⊂ H.

(2)=⇒ (3): Chiaro.

(3)=⇒ (1): Dimostriamo che H soddisfa il punto (2) della prop. 2.55.

Siaa∈ R tale che aRa ⊂ H. Allora RaRRaR = RaRaR ⊂ RHR = H e quindi, per ipotesi,RaR ⊂ H, perché RaR è un ideale. Ciò implica a∈ H.

Definizione 2.57.√

0 si chiama il radicale di Baer-McCoy di R.

Per il teorema 2.48√

0 `e un ideale semiprimo e coincide con l’intersezione di tutti gli ideali primi diR.

Osservazione 2.58. SiaI un ideale di R. Allora per ogni a∈√

I esiste n∈ N tale che aⁿ∈ I.

Dimostrazione. Siaa ∈√

I. Per l’oss. 2.46 S := {aⁿ | n ∈ N} ∈ S(a) per cuiS∩ I 6= ∅. Da ci`o segue l’enunciato.

Corollario 2.59. Ogni elemento di√

0 `e nilpotente.

Definizione 2.60. Un ideale (sinistro, destro, bilatero) I di R si dice nilpotente, se esisten∈ N tale che Iⁿ= 0.

Lemma 2.61. SianoH un ideale semiprimo ed I un ideale sinistro o destro diR tale che Iⁿ⊂ H per qualche n ∈ N. Allora I ⊂ H.

Dimostrazione. Quandon = 1, `e chiaro.

Lo dimostriamo per n > 1. Assumiamo che l’enunciato valga per n− 1. Si noti che per n ≥ 2 si ha che 2n − 2 ≥ n. Allora

(Iⁿ⁻¹)²= I²ⁿ⁻² ⊂ Iⁿ⊂ H

D’altra parte H `e semiprimo, quindi dal punto (2) della prop. 2.56 segue che Iⁿ⁻¹ ⊂ H, pertanto usando l’ipotesi di induzione segue la tesi.

Corollario 2.62. √

0 contiene ogni ideale sinistro o destro nilpotente diR.

Dimostrazione. Ci`o segue dal lemma 2.61, perch´e √

0 `e semiprimo per il cor. 2.49.

Proposizione 2.63. R sia noetheriano a sinistra o a destra. Allora l’ideale√

0 `e nilpotente.

(17)

Dimostrazione. Dal punto (1) della prop. 2.37 segue che esistono ideali primiP1, . . . , Pm diR tali che P1. . . Pm = 0. In particolare

√0⊂ Pi per ognii∈ {1, . . . , m}, allora√

0^m ⊂ P1. . . Pm= 0.

Osservazione 2.64. Sono equivalenti:

(1)R `e semiprimo.

(2)√ 0 = 0.

(3)R non possiede un ideale sinistro nilpotente6= 0.

(4)R non possiede un ideale nilpotente6= 0.

Dimostrazione. (1)⇐⇒ (2): Segue direttamente dal cor. 2.50.

(2)=⇒ (3): Segue direttamente dal cor. 2.62.

(3)=⇒ (4): Chiaro.

(4)=⇒ (1): Sia I un ideale di R con I² = 0. L’ipotesi implica I = 0 e quindi `e soddisfatta la condizione (3) nella prop. 2.56.

Definizione 2.65. L’anelloR si dice ridotto, se non contiene elementi nilpotenti6= 0.

Osservazione 2.66. Un anello ridotto `e semiprimo.

Dimostrazione. Per il cor. 2.59√

0 = 0. L’anello `e quindi semiprimo per l’oss. 2.64.

Definizione 2.67. Un elementoa∈ R si dice fortemente nilpotente, se per ogni successionex1, x2, x3, . . . di elementi di R esiste n∈ N + 1 tale chea[x1] . . . [xn] = 0.

Proposizione 2.68.√

0 `e l’insieme di tutti gli elementi fortemente nil- potenti diR.

Dimostrazione. (1) Siaa∈√

0. Allora per ogni S∈ S(a), 0 ∈ S. Assu- miamo, per assurdo, chea non sia un elemento fortemente nilpotente diR. Esiste allora una successione di elementi x1, x2, x3. . . di R tali che per ognin∈ N + 1 si ha a[x¹] . . . [xn]6= 0. Allora posso considerare S :={a, a[x1], a[x1][x2], . . .}.

Per il lemma 2.53S∈ S(a) ma 0 6∈ S, una contraddizione.

(2) Siaa un elemento fortemente nilpotente di R e sia S∈ S(a). Per il punto (1) del lemma 2.54,S `e un n-sistema e dato che a∈ S, allora esistex1∈ R tale che a[x¹]∈ S. Allora posso costruire una successione di elementix₁, . . . , x_ndiR tali che 0 = a[x₁] . . . [x_n]∈ S, cio`e a ∈√

0.

Osservazione 2.69. Sono equivalenti:

(1)R `e semiprimo.

(2) SeI e J sono ideali di R con IJ = 0, allora I ∩ J = 0.

Dimostrazione. (1)=⇒ (2): R sia semiprimo. Sia IJ = 0. Allora IJ ⊂ P per ogni P ∈ Spec R. Perci`o I ⊂ P o J ⊂ P e quindi I ∩ J ⊂ P per ogniP ∈ Spec R. Ci`o implica I ∩ J ⊂√

0 = 0.

(18)

(2)=⇒ (1): Sia I un ideale di R con I² = 0, segue che I ∩ I = I = 0.

Allora il punto (3) della prop. 2.56 `e verificato, quindi0 `e semiprimo.

Osservazione 2.70. Per ognin∈ N + 1, per ogni i, j, k, l ∈ {1, . . . , n} e per ogniA∈ RⁿnvaleAⁱ_jδ_lδ^k= δ_lδⁱAδ_jδ^k

Proposizione 2.71. (1) Sia I un ideale di R. Allora I_nⁿ `e un ideale diRⁿ_n.

(2) SiaL un ideale di Rⁿ_n. Allora esiste un idealeI di R, univocamente determinato, tale cheL = I_nⁿ.

Esplicitamente si haI ={A¹1| A ∈ L}.

(2) `E chiaro cheI_nⁿ= J_nⁿper idealiI, J di R implica I = J. Sia I come nell’enunciato. Dimostriamo cheL = I_nⁿ.

(2a) SiaA∈ L. Per ogni B ∈ Rⁿnsi ha cheAB∈ L oppure BA ∈ L.

In particolare per ognii, j∈ {1, . . . , n} esiste eA∈ L tale che

AⁱBj = eA¹₁ ∈ I. Dato che Bjⁱ ∈ R allora Aⁱj ∈ I per ogni i, j, cio`e A ∈ Inⁿ. (2b) Sia A ∈ Inⁿ. Allora Aⁱ_j ∈ I per ogni i, j ∈ {1, . . . , n}, dove I `e un ideale di R. Sia poi B ∈ Rⁿn allora Bⁱ_j ∈ R. In particolare AB = PAⁱBjδiδ^j coni, j∈ {1, . . . , n}, dove AⁱBj ∈ IR = I. Pertanto A ∈ L.

Definizione 2.72. L’anello R si chiama semplice, se R non possiede ideali6= 0.

Osservazione 2.73.R sia semplice. Allora anche Rⁿ_n `e un anello semplice per ognin∈ N + 1.

Corollario 2.74.R sia un anello con divisione. Allora Rⁿ_n `e un anello semplice per ognin∈ N + 1.

Osservazione 2.75. Sian∈ N + 1. Allora R `e primo se e solo se Rⁿn `e primo.

Dimostrazione. (1) Siano I, J ideali di R allora L := I_nⁿ e N := J_nⁿ sono ideali diRⁿ_n. SianoL, N tali che LN = 0Rⁿ_n, alloraIJ = 0. Segue cheI = 0 oppure J = 0. Sia ad esempio I = 0, ci`o implica che L = 0.

(2) Siano L, N ideali di R_nⁿ tali che LN = 0Rⁿ_n. Dal punto (2) della prop. 2.71 segue che esistono due idealiI, J di R tali che

I ={A¹1 | A ∈ L} e J = {B1¹ | B ∈ N}. D’altra parte Rⁿn è primo perciò L = 0R_nⁿoppureN = 0Rⁿ_n, cioèI = 0 oppure J = 0.

(19)

3. Anelli noetheriani

Situazione 3.1. SianoR un anello ed M un R-modulo.

Definizione 3.2.M si dice noetheriano, se ogni sottomodulo di M `e finitamente generato.

Proposizione 3.3. Sono equivalenti:

(1)M `e noetheriano.

(2) Per ogni catenaC 6= ∅ di sottomoduli di M si ha S

N∈C

N ∈ C.

(3) Ogni insieme6= ∅ di sottomoduli di M possiede un elemento massimale.

(4) Per ogni successione infinita ascendenteM0 ⊂ M¹ ⊂ M² ⊂ . . . di sottomoduli diM esiste k tale che Mi= Mk per ognii≥ k.

(5) Per ogni successione infinita ascendenteM₀ ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . di sottomoduli finitamente generati diM esiste k tale che Mi = Mk

per ognii≥ k.

Dimostrazione. (1) =⇒ (2): Consideriamo una catena C 6= ∅ di sottomoduli di M . Allora P := S

N∈C

N è un sottomodulo di M . Per ipotesi P è finitamente generato. Perciò esistono e1, . . . , ek ∈ P tali che P = Re1+ Re2+· · · + Re^k. SiccomeC è una catena, possiamo trovare unN ∈ C tale che e1, . . . , e_k ∈ N. Ciò implica P ⊂ N. Siccome ovvia- menteN ⊂ P, abbiamo P = N ∈ C.

(2)=⇒ (3): Ci`o segue dal lemma di Zorn.

(3)=⇒ (4): Chiaro.

(4)=⇒ (5): Chiaro.

(5) =⇒ (1): Sia N un sottomodulo di M. Assumiamo, per assurdo, che N non sia finitamente generato. Scegliamo e₁ ∈ N. Per ipotesi Re1 6= N, per cui esiste e2 ∈ N \ Re1. OvviamenteRe1 $ Re1+ Re2. Per ipotesiRe1+ Re2 6= N, per cui esiste e³ ∈ N \ (Re¹+ Re2). Ovviamente Re1+ Re2 $ Re1+ Re2+ Re3.

Continuando in questo modo otteniamo una successione infinita ascendente

Re1 $ Re1+ Re2 $ Re1+ Re2+ Re3 $ . . .

di sottomoduli finitamente generati diN , in contrasto con l’ipotesi.

Definizione 3.4.R si dice

(1) noetheriano a sinistra, se `e noetheriano comeR-modulo;

(2) noetheriano a destra, se `e noetheriano comeR-modulo destro;

(3) noetheriano, se `e noetheriano a sinistra e a destra.

Osservazione 3.5. Sianoϕ : M −→ N un omomorfismo di R-moduli e Q un sottomodulo di N . Allora:

(1)ϕ⁻¹(Q) `e un sottomodulo di M .

(20)

(2) Seϕ `e suriettivo, allora Q = ϕϕ⁻¹(Q).

Osservazione 3.6.M sia noetheriano ed N un sottomodulo di M . Allora ancheN `e noetheriano.

Dimostrazione. Ciò è chiaro, perché ogni sottomodulo diN è anche sottomodulo diM .

Osservazione 3.7.M sia noetheriano e ϕ : M −→ N un omomorfismo suriettivo diR-moduli. Allora anche N `e noetheriano.

Dimostrazione. SiaQ un sottomodulo di N . Per l’oss. 3.5 ϕ⁻¹(Q) `e un sottomodulo diM con Q = ϕϕ⁻¹(Q). Per ipotesi esistono e1, . . . , ek∈ M tali cheϕ⁻¹(Q) = Re1+· · · + Rek. `E chiaro che allora

Q = Rϕ(e1) +· · · + Rϕ(ek)

cio`eQ `e finitamente generato da ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_k).

Osservazione 3.8 (legge modulare). Siano A, B, C sottomoduli di M tali che A⊂ B. Allora

B∩ (A + C) = A + (B ∩ C)

Dimostrazione. Scarpone, cor. 2.10.

Proposizione 3.9. Sia N un sottomodulo di M . Allora sono equiva- lenti:

(1)M `e noetheriano.

(2)N e M/N sono noetheriani.

Dimostrazione. (1)=⇒ (2): Oss. 3.6 e 3.7.

(2)=⇒ (1): Sia M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ . . . una successione ascendente infinita di sottomoduli diM . Allora abbiamo due successioni ascendenti

M0∩ N ⊂ M1∩ N ⊂ M2∩ N ⊂ . . .

(M0+ N )/N ⊂ (M1+ N )/N ⊂ (M2+ N )/N ⊂ . . .

di sottomoduli rispettivamente diN e di M/N . Per ipotesi esiste k tale che per ognii≥ k si ha Mⁱ∩ N = M^k∩ N e (Mⁱ+ N )/N = (Mk+ N )/N e quindiMi+ N = M_k+ N .

Per ognii≥ k allora M^k⊂ Mⁱ, pertanto dall’oss. 3.8 otteniamo Mi = Mi+ (Mi∩ N) = Mi+ (Mk∩ N)

= Mk∩ (Mi+ N ) = Mk∩ (Mk+ N ) = Mk

Corollario 3.10. SiaI un ideale di R. Se R `e noetheriano a sinistra o a destra, ancheR/I `e noetheriano a sinistra, rispettivamente a destra.

Corollario 3.11.M ed N siano R-moduli noetheriani. Allora M⊕ N `e noetheriano.

Dimostrazione. Possiamo considerareM come sottomodulo di M⊕N.

Allora(M ⊕ N)/M ∼= N , cosicch´e l’enunciato segue dalla prop. 3.9.

(21)

Nota 3.12. SianoX un insieme ed f : X −→ M un’applicazione qualsiasi. Allora esiste un unico omomorfismo diR-moduli

ϕ : R^X −→ M tale che ϕ(δx) = f (x) per ogni x∈ X.

Qui abbiamo postoδ_x :=

y

(x = y) : X−→ R.

Dimostrazione. Chiaro.

Lemma 3.13. Esistono unR-modulo libero L e un omomorfismo suri- ettivoL−→ M.

SeM `e finitamente generato, anche L pu`o essere scelto in modo che L sia finitamente generato.

Dimostrazione. SiaE un sistema di generatori per M . Consideriamo l’inclusionei : E −→ M. Allora per la nota 3.12 esiste un omomorfismo dir-moduli ϕ : R^E −→ M tale che ϕ(δe) = i(e) = e per ogni e∈ E.

SeM `e finitamente generato, possiamo scegliere E finito.

Proposizione 3.14. R sia noetheriano a sinistra ed M finitamente generato. AlloraM `e noetheriano.

Dimostrazione. Per il lemma 3.13 esiste un omomorfismo suriettivo diR-moduli Rⁿ −→ M. Per il cor. 3.11 Rⁿ `e noetheriano. L’enunciato segue dall’oss. 3.7.

Osservazione 3.15. SianoA un anello e ρ : A−→ R un omomorfismo di anelli. AlloraM `e anche un A-modulo se per a∈ A e v ∈ M poniamo av := ρ(a)v.

In particolareR stesso `e un A-modulo.

Proposizione 3.16. SianoA un anello e ρ : A−→ R un omomorfismo di anelli. A sia noetheriano a sinistra ed M sia finitamente generato comeA-modulo. Allora M `e noetheriano come R-modulo.

Dimostrazione. SiaN un sottomodulo di M . Per la prop. 3.14 M è noetheriano come A-modulo. Perciò esistono α1, . . . , αk ∈ N tali che N = Aα₁+· · · + Aαk. SiccomeN è anche un R-modulo, abbiamo N = Aα1+· · · + Aαk⊂ Rα1+· · · + Rαk⊂ N.

Corollario 3.17. SianoA un anello e ρ : A −→ R un omomorfismo di anelli.A sia noetheriano a sinistra ed R sia finitamente generato come A-modulo. Allora R `e un anello noetheriano a sinistra.

Corollario 3.18. Siano A un anello commutativo e ρ : A −→ R un omomorfismo di anelli.A sia noetheriano ed R sia finitamente generato comeA-modulo. Allora R `e un anello noetheriano.

Esempio 3.19.HZ `e un anello noetheriano.

Dimostrazione.HZ:=Z+iZ+jZ+kZ, cosicch´e siamo nella situazione del cor. 3.18. Cfr. def. 2.16.

Nota 3.20. Sian ∈ N + 1. Allora Rⁿn `e generato come R-modulo dalle matriciδiδ^j coni, j = 1, . . . , n.

(22)

Se perciòR è noetheriano a sinistra, dalla prop. 3.14 segue che Rⁿ_n è unR-modulo noetheriano.

Osservazione 3.21. Sianon∈ N + 1 ed S un sottoanello di Rⁿn. Allora sono equivalenti:

(1)S `e un R-sottomodulo di Rⁿ_n. (2)aδ∈ S per ogni a ∈ R.

(3) OgniS-sottomodulo di S `e un R-sottomodulo di Rⁿ_n.

Dimostrazione. (1)=⇒ (2): Per ipotesi 1^Rⁿn = δ∈ S. D’altra parte S `e unR-sottomodulo di Rⁿ_n, quindi per ognia∈ R si ha che aδ ∈ S.

(2)=⇒ (3): Siano I un S-sottomodulo di S ed A ∈ I. Per ogni a ∈ R alloraaδ ∈ S e quindi aA = (aδ)A ∈ I.

(3)=⇒ (1): Chiaro.

Proposizione 3.22. R sia noetheriano a sinistra, n ∈ N + 1 ed S un sottoanello diRⁿ_ntale cheaδ∈ S per ogni a ∈ R.

AlloraS `e un anello noetheriano a sinistra.

Dimostrazione. Per la nota 3.20Rⁿ_n è un R-modulo noetheriano. Sia I un ideale sinistro di S. Per l’oss. 3.21 I è un R-sottomodulo di Rⁿ_n. Perciò esistonoA₁, . . . A_k ∈ I tali che I = RA1+ RA₂+· · · + RAk. Per ogniB ∈ I abbiamo allora B = a¹A1+ . . . akAk cona1, . . . , ak ∈ R. Ma per ipotesi ciò significaB = (a1δ)A1+ . . . (a_kδ)A_k∈ SA¹+· · · + SAk. Corollario 3.23.R sia noetheriano a sinistra ed n∈ N + 1. Allora Rnⁿ

`e un anello noetheriano a sinistra.

Lemma 3.24.R sia noetheriano a sinistra e ϕ : R −→ S un omomor- fismo suriettivo di anelli. Allora ancheS `e noetheriano a sinistra.

Dimostrazione. Ciò non segue direttamente dall’oss. 3.7, perché ϕ non è un omomorfismo di moduli, ma di anelli. Possiamo però usare essenzialmente la stessa dimostrazione.

SiaJ un ideale di S. Allora, per il punto (1) del lemma 2.30, ϕ⁻¹(J)

`e un ideale di R. Per ipotesi esistono e1, . . . , ek∈ R tali che

ϕ⁻¹(J) = Re₁+· · · + Rek. AlloraJ è generato da ϕ(e₁), . . . , ϕ(e_k). Sia infatti b ∈ J. Allora esiste x ∈ R con b = ϕ(x). Perciò x ∈ ϕ⁻¹(J), cosicchéx = a1e1+· · · + ake_kpera1, . . . , a_k∈ R. Ciò implica

b = ϕ(x) = ϕ(a1)ϕ(e1) +· · · + ϕ(ak)ϕ(ek).

Definizione 3.25. SianoA e B anelli. Un (A,B)-bimodulo `e un gruppo abelianoX che (con l’addizione data) `e un A-modulo sinistro e un B- modulo destro in modo che per a ∈ A, x ∈ X, b ∈ B si abbia sempre (ax)b = a(xb).

Definizione 3.26. Siano A, B anelli ed X un (A, B)-bimodulo. Con

A X

0 B

denotiamo allora l’insieme delle matrici

a x 0 b

cona∈ A, x ∈ X, b ∈ B, dotato della naturale addizione e con la moltiplicazione definita da

(23)

a x 0 b

c y 0 d

:=

ac ay + xd

0 bd

Si verifica immediatamente che

A X

0 B

`e un anello con elemento neutro

1A 0 0 1_B

.

In questa situazione diremo che

A X

0 B

`e un∇-anello.

Osservazione 3.27. SiaR =

A X

0 B

un∇-anello. Allora:

(1) Le proiezioni naturali R −→ A e R −→ B sono omomorfismi di anelli.

(2)

0 X 0 0

`e un ideale di R.

(2)X `e abeliano quindi la somma non presenta problemi.

Per la moltiplicazione definita nella def. 3.26 si ha che

0 x 0 0

a y 0 b

=

0 xb 0 0

∈

0 X 0 0

a y 0 b

0 x 0 0

=

0 ax 0 0

∈

0 X 0 0

per ogni

a y 0 b

∈ R.

Proposizione 3.28. Per un∇-anello R =

A X

0 B

sono equivalenti:

(1)R `e noetheriano a sinistra.

(2)A e B sono noetheriani a sinistra e X `e finitamente generato come A-modulo.

Dimostrazione. Usiamo l’oss. 3.27.

(1) =⇒ (2): Considerando le proiezioni naturali R −→ A e R −→ B del lemma 3.24 segue cheA e B sono noetheriani a sinistra.

Inoltre

0 X 0 0

`e un ideale e quindi anche un ideale sinistro di R.

Ci`o implica che esistonox1, . . . , xm ∈ X tali che

0 X 0 0

= R

0 x1

0 0

+· · · + R

0 xm

0 0

Se allorax∈ X, possiamo scrivere

0 x 0 0

=

α1 ξ1

0 β1

0 x1

0 0

+· · · +

0 xm

0 0

αm ξm

0 βm

per cuix = α1x1+· · · + α^mxm e ci`o mostra cheX = Ax1+· · · + Ax^m.

(24)

(2)=⇒ (1): Dall’isomorfismo naturale

A 0 0 B

∼= A× B vediamo che

A 0 0 B

`e noetheriano a sinistra. Per ipotesi esistono x1, . . . , xm ∈ X tali cheX = Ax1+· · · + Ax^m.

Sianoa∈ A, b ∈ B, x ∈ X. Allora esistono α1, . . . , αm ∈ A con x = α1x1+· · · + α^mxm, per cui

a x 0 b

=

a 0 0 b

1 0 0 1

+

α₁ 0 0 0

0 x₁ 0 0

+· · ·+

αm 0

0 0

0 xm

0 0

e vediamo che

1 0 0 1

,

0 x1

0 0

, . . . ,

0 xm

0 0

generano R come modulo su

A 0 0 B

. Dal cor. 3.17 segue che R `e noetheriano a sinistra.

Proposizione 3.29. Per un∇-anello R =

A X

0 B

sono equivalenti:

(1)R `e noetheriano a destra.

(2)A e B sono noetheriani a destra e X `e finitamente generato come B-modulo destro.

Dimostrazione. Come prop. 3.28.

Esempio 3.30. Il∇-anello R :=

Z Q

0 Q

`e noetheriano a destra, ma non a sinistra.

Dimostrazione.Z e Q sono anelli noetheriani e Q `e naturalmente finitamente generato comeQ-modulo. Invece Q non `e finitamente generato comeZ-modulo. Siano infatti α1 = a1

b1

, . . . , αm = am

bm

conaj, bj ∈ Z eb_j 6= 0 per ogni j. Allora Zα1+· · · + Zαm ⊂ 1

b1· · · bmZ $ Q. Pertanto, dalle prop. 3.28 e 3.29, segue direttamente l’enunciato.

Lemma 3.31. SiaM noetheriano e per ogni i, j ∈ N sia dato un sotto- moduloM_jⁱdiM in modo tale che nello schema

M₀⁰ M₁⁰ M₂⁰ M₃⁰ . . . M₀¹ M₁¹ M₂¹ M₃¹ . . . M₀² M₁² M₂² M₃² . . . . . . .

ogni riga sia ascendente cos`ı come ogni colonna.

Allora esisteα∈ N tale che:

(1)M_jⁱ = M_αⁱ per ognij≥ α, per ogni i ∈ N.

(2)M_jⁱ = M_j^αper ognii≥ α, per ogni j ∈ N.

Dimostrazione. SiccomeM `e noetheriano a sinistra, l’insieme {Mk^k | k ∈ N} contiene un elemento massimale che nel nostro caso evidentemente `e anche un massimo, ad esempioM_m^m.

(25)

Peri, j ≥ m e t := max(i, j) allora Mm^m ⊂ Mjⁱ ⊂ Mt^t ⊂ Mm^m e quindi M_jⁱ = M_m^m. Inoltre per ogni i ∈ {0, . . . , m − 1} esiste un λⁱ tale che M_jⁱ = M_λⁱ

i perj ≥ λi, e similmente, per ognij ∈ {0, . . . , m − 1} esiste unµj tale cheM_jⁱ= M_j^µ^j peri≥ µj.

Siaα := max{λ⁰, . . . , λm−1, µ0, . . . , µm−1, m}.

Peri < m e j ≥ α allora j ≥ α ≥ λi e quindiM_jⁱ = M_λⁱ

i = M_αⁱ, peri≥ m ej≥ α allora j ≥ α ≥ m e quindi Mjⁱ= M_m^m = M_αⁱ.

Ci`o mostra il punto (1) dell’enunciato. Il punto (2) si dimostra allo stesso modo.

Proposizione 3.32. SiaM noetheriano. Allora per ogni sottoinsieme Z ⊂ M con Z 6= ∅ esistono z¹, . . . , zk∈ Z tali che RZ = R{z¹, . . . , zk}.

Dimostrazione. Sia, per assurdo,Z un sottoinsieme non vuoto di M per il quale l’enunciato non sia vero. Scegliamoz1 ∈ Z in modo arbi- trario e poniamo Z1 := {z1}, N1 := RZ1. Per ipotesi N1 $ RZ, quindi Z 6⊂ Z¹, cosicch´e possiamo scegliere un elementoz2 ∈ Z \ Z¹; poniamo oraZ₂ :={z1, z₂} = Z1∪{z2} e N2:= RZ₂. Di nuovo troviamoz₃ ∈ Z\Z2

e possiamo porreN3 := RZ3 eZ3 := Z2∪ {z3}.

Continuando in questo modo otteniamo una catena ascendente infi- nitaN1 $ N2 $ N3 $ . . . di sottomoduli di M, in contraddizione con il punto (4) della prop. 3.3.

(26)

4. Il teorema della base di Hilbert

Situazione 4.1. SiaA un anello commutativo.

Definizione 4.2. Per un polinomiof = a0xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+· · · + an∈ A[x]

cona06= 0 poniamo grad f := n (grado di f )

f [xⁱ] := an−iper ognii = 0, . . . , n f [xⁱ] := 0 per ogni i > n

f⊙ := a0

Per il polinomio0 poniamo grad 0 :=−∞

0[xⁱ] := 0 per ogni i∈ N 0⊙ := 0

Per ognif ∈ A[x] l’elemento f⊙ ∈ A si chiama il coefficiente direttore dif . Per n ∈ N denotiamo con A[x]n l’insieme dei polinomi di gradon inA[x] insieme al polinomio 0. Quindi 0∈ A[x]ⁿper ognin.

Osservazione 4.3. SeA[x] `e noetheriano, allora anche A `e noetheriano.

Dimostrazione. SiccomeA ∼= A[x]/x, l’enunciato segue direttamente dal lemma 3.24.

Definizione 4.4. SianoI un ideale di A[x] ed n∈ N. Allora poniamo I[n] :={f⊙ | f ∈ I ∩ A[x]n}

Lemma 4.5. SianoI un ideale di A[x] ed n∈ N. Allora:

(1)I[n] `e un ideale generalizzato di A.

(2)I[n]⊂ I[n + 1]

E inoltre chiaro che per un ideale` J di A[x] con I ⊂ J si ha I[n] ⊂ J[n].

Dimostrazione. (1) Osserviamo prima che0∈ I[n], perch´e 0∈ I ∩ A[x]ⁿ.

Sianof, g∈ I ∩ A[x]ⁿ eda0 := f⊙ ∈ A, b⁰ := g⊙ ∈ A. Se a⁰+ b0 6= 0, alloraf + g∈ I ∩ A[x]neda₀+ b₀ = (f + g)⊙ ∈ I[n]. Altrimenti

a0+ b0= 0∈ I[n].

Siac∈ A. Dobbiamo dimostrare che ca0 ∈ I[n]. Ci`o `e chiaro se c = 0 oppurea0= 0. Altrimenti cf ∈ I ∩ A[x]ⁿeca0= (cf )⊙ ∈ I[n].

(2) Siano ancoraf ∈ I ∩ A[x]neda0:= f⊙. Se a0 = 0, allora automa- ticamente a0 ∈ I[n + 1]. Sia invece a⁰ 6= 0. Allora xf ∈ I ∩ A[x]ⁿ⁺¹ ed a0 = (xf )⊙ ∈ I[n + 1].

Teorema 4.6 (teorema della base di Hilbert). SiaA noetheriano.

Allora ancheA[x] `e noetheriano.

Dimostrazione. Seguiamo Gabelli, pag 76.

(27)

(1) SiaI0⊂ I1 ⊂ I2 ⊂ . . . una catena ascendente di ideali di A[x].

Per il lemma 4.5 allora otteniamo una tabella di ideali generalizzati diA,

I0[0] I0[1] I0[2] . . . I1[0] I1[1] I1[2] . . . I2[0] I2[1] I2[2] . . . . . . .

in cui ogni riga `e ascendente cos`ı come ogni colonna.

SiccomeA `e noetheriano, per il lemma 3.31 esiste α∈ N tale che I_j[n] = I_α[n] per ogni n∈ N ed ogni j ≥ α.

(2) Dimostriamo cheIj = Iαper ognij≥ α.

Supponiamo, per assurdo, che per qualchej≥ α si abbia I^α $ Ij. Sia f = a₀xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+· · · + anun polinomio di grado minimo inI_j\ Iα. Siccome 0 ∈ I^α, necessariamente a0 6= 0. Poiché a⁰ ∈ I^j[n] = Iα[n], esiste un polinomiog∈ I^α∩A[x]ⁿcong⊙ = a⁰. Allora peròf−g ∈ I^j\I^α possiede grado minore din, e ciò contraddice la minimalit à di n.

Definizione 4.7. Siano B un anello commutativo e ϕ : A −→ B un omomorfismo di anelli. AlloraB si dice un’algebra commutativa su A con omomorfismo di strutturaϕ.

Osservazione 4.8. Nella situazione della def. 4.7 ϕ sar à spesso sot- tointeso. Da un polinomio f ∈ A[x1, . . . , x_n] si ottiene un polinomio fϕ∈ B[x1, . . . , xn] sostituendo ogni coefficiente di f con la sua immagine sottoϕ. Per α1, . . . , αn∈ B è perciò definito

f (α1, . . . , αn) := fϕ(α1, . . . , αn)∈ B.

Definizione 4.9. Siano B un anello commutativo e ϕ : A −→ B un omomorfismo di anelli. Perα1, . . . , αn∈ B poniamo

A[α1, . . . , αn] :={f(α¹, . . . , αn)| f ∈ A[x¹, . . . , xn]}

E immediata la verifica che` A[α1, . . . , αn] coincide con il pi `u piccolo sottoanello diB che contiene sia ϕ(A) che l’insieme{α¹, . . . , αn}.

B si chiama un’algebra finitamente generata su A se esistono α1, . . . , αn∈ B tali che B = A[α1, . . . , αn].

Lemma 4.10. Un anello commutativoB `e un’algebra finitamente ge- nerata se e solo se esistonon ∈ N + 1 e un omomorfismo suriettivo di anelliθ : A[x₁, . . . , x_n]−→ B.

In tal casoB = A[θ(x1), . . . , θ(xn)].

Dimostrazione. (1) Siano ϕ : A −→ B un omomorfismo di anelli ed α₁, . . . , α_n ∈ B tali che B = A[α1, . . . , α_n]. Allora otteniamo un omomorfismo suriettivo di anelliθ : A[x1, . . . , xn]−→ B ponendo

θ(f ) := f (α1, . . . , αn) per ogni f ∈ A[x¹, . . . , xn]. In particolare si ha θ(xi) = αi per ognii.

(2) Sia viceversa dato un omomorfismo suriettivo di anelli

θ : A[x1, . . . , xn] −→ B. Allora possiamo definire un omomorfismo di anelli ϕ : A −→ B semplicemente ponendo ϕ := θ_|A. `E chiaro che