Prima Prova Meccanica Razionale 31.03.2021 1.

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Prima Prova Meccanica Razionale 31.03.2021

1. Domanda 01

Il prodotto scalare tra due vettori !u, !v ∈ V , entrambi non nulli:

(a) ` E anticommutativo.

(b) ` E nullo se i vettori sono paralleli.

(c) ` E nullo se i vettori sono ortogonali. !

(d) ` E nullo se la loro somma vettoriale `e uguale al vettore nullo.

(e) Non rispondo.

2. Domanda 02

La legge di variazione dei momenti al variare del polo afferma che:

(a) ! M

O

= ! M

O!

+ ! R × (O

^!

− O) (b) ! M

O!

= ! M

O

∀ O

^!

, O

(c) ! M

O!

= ! M

O

+ ! R × (O

^!

− O ) ! (d) ! R = ! M

O

+ ! M

O!

× (O

^!

− O)

(e) Non rispondo.

3. Domanda 03

Un sistema materiale `e detto vincolato se il suo moto `e limitato:

(a) Da soli vincoli olonomi.

(b) Da soli vincoli anolonomi.

(c) Sia da vincoli ononomi che da vincoli anolonomi.

(d) Da vincoli olonomi o vincoli anolonomi. ! (e) Non rispondo.

4. Domanda 04

In un moto relativo, siano !a

a

, !a

r

, !a

τ

, !a

c

e !v

r

rispettivamente l’accelerazione assoluta, relativa, di trascinamento, di Coriolis e la velocit`a relativa di un punto P . Quale delle seguenti affermazioni `e falsa?

(a) In generale, si ha !a

^a

= !a

^r

+ !a

^τ

+ !a

^c

.

(b) Se il moto `e di traslazione rettilinea ed uniforme, allora !a

^a

= !a

^r

. (c) In generale, i vettori !a

c

e !v

r

sono paralleli. !

(d) !a

^c

= !0 se !v

^r

= !0.

(e) Non rispondo.

(2)

5. Domanda 05

L’atto di moto di un corpo rigido che si muove di moto rigido piano:

(a) ` E sempre rotatorio.

(b) ` E sempre traslatorio.

(c) ` E elicoidale.

(d) ` E sempre rotatorio o traslatorio. ! (e) Non rispondo.

6. Domanda 06

Se un sistema materiale possiede un piano di simmetria materiale, al- lora:

(a) La relativa matrice d’inerzia `e diagonale.

(b) Ha il baricentro appartenente al piano di simmetria materiale. ! (c) Il suo baricentro si trova su un qualunque asse perpendicolare al

piano.

(d) ` E equilibrato.

(e) Non rispondo.

7. Domanda 07

Il teorema di K¨onig per il momento della quantit`a di moto:

(a) Non pu`o essere applicato ai corpi rigidi.

(b) Vale per qualsiasi sistema materiale. ! (c) Pu`o essere applicato solo ai corpi rigidi.

(d) Afferma che il vettore ! K

O

non dipende dalla scelta del polo O.

(e) Non rispondo.

8. Domanda 08

Quale delle seguenti affermazioni sulla matrice d’inerzia di un corpo

rigido `e falsa?

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9. Domanda 09

Un corpo rigido ha il baricentro immobile rispetto ad un sistema di riferimento fisso. Possiamo affermare che:

(a) In generale, l’energia cinetica non dipende dal tempo.

(b) Se la velocit`a angolare ω `e non nulla, l’energia cinetica diminuisce se ω raddoppia.

(c) In generale, l’energia cinetica dipende dalla massa, ma non dalla geometria del corpo rigido.

(d) Se la velocit`a angolare ω `e non nulla, l’energia cinetica quadruplica se ω raddoppia. !

(e) Non rispondo.

10. Domanda 10

L’annullarsi delle forze generalizzate di Lagrange, in corrispondenza della configurazione x

^e

, con atto di moto nullo e per tutti gli istanti t ≥ 0, `e condizione necessaria e sufficiente affinch`e la configurazione x

e

sia di equilibrio:

(a) Per un sistema olonomo a vincoli fissi e bilaterali. ! (b) Solo per un sistema materiale libero.

(c) Per un sistema olonomo.

(d) Per un sistema olonomo a vincoli bilaterali.

(e) Non rispondo.

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Seconda Prova Meccanica Razionale 31.03.2021

1. Esercizio 01

Dato il sistema materiale di figura, costituito dalla lamina omogenea OBCDE (rettangolo OBCD avente un foro a forma di triangolo equi- latero OED), di massa m e lato BC = √

3L, e dal triangolo rettangolo isoscele omogeneo AOB, di massa 2m e cateto 3L, stabilire quanto vale l’ordinata y

^G

del baricentro del sistema materiale:

O x

y

A

B C D

E

(a)

√ 3 − 4

6 L !

(b) −

√ 3 6 L (c) − 2

3 L (d)

√ 3 − 1

6 L

(e) Nessuno dei risultati indicati

(f) Non rispondo

(5)

O A C B

E D

x y

r

(a) 5 3 ma

²

(b) 1

4 ma

²

(c) 5

12 ma

²

! (d) 5

6 ma

²

(e) Nessuno dei risultati indicati (f) Non rispondo

3. Esercizio 03

Nel cinematismo descritto in figura, il disco D (raggio R e centro O

²

) rotola senza strisciare sulle circonferenze C

¹

, C

²

(raggio R e centri O

1

, O

3

) che rotolano senza strisciare sulla retta fissa r. Detto C il centro di istantanea rotazione di D, determinare quale delle seguenti affermazioni

`e falsa:

(6)

y

H K

x

r O₃

O₂

O₁ C₁

D

C₂

(a) y

^C

= y

^O₂

! (b) x

^C

= x

^O₂

(c) CH = CK (d) y

^C

= y

^O₂

+ R

(e) Nessuno dei risultati indicati (f) Non rispondo

4. Esercizio 04

In un piano verticale Oxy sia dato il sistema materiale pesante costi- tuito da: un disco omogeneo, di massa m e raggio R, che rotola senza strisciare sull’asse Ox, un’asta omogenea BC, di massa m e lunghezza 2R, avente l’estremo C incernierato nel centro del disco e l’estremo B scorrevole sull’asse Ox e un punto materiale P , di massa m, saldato sul bordo del disco. Oltre alle forze peso, sul disco agisce una coppia di momento ! M = mgR!i×!j, dove!i e !j sono i versori rispettivamente degli assi Ox ed Oy. Introdotto il parametro lagrangiano θ = P ! CH , dove H

`e il punto di contatto tra il disco e l’asse Ox, determinare l’ordinata del

punto materiale P in corrispondenza alla configurazione di equilibrio

del sistema: y

(7)

(a) y

^P

= R ! (b) y

^P

= 0

(c) y

^P

= 2R (d) y

^P