MMMPG
prova scritta del 20/9/07
Esercizio 1. Si consideri una catena di Markov a tempo discreto con stati 0, 1, 2, ecc.
(tutti gli interi non negativi). Indichiamo con pi,j la probabilità di transizione da i a j.
a) Supponiamo che sia
pi,i+1 = 12 per i = 0,1,2; pi,i+1 = 13 per i > 2, pi,i−1 = 1
2 per i = 1,2,3; pi,i−1 = 2
3 per i > 3.
Calcolare la distribuzione invariante.
b) Supponiamo che sia
pi,i+2 = 14 per i pari (anche 0), pi,i+2 = 13 per i dispari, pi,i−2 = 34 per i pari ≥ 2, pi,i−2 = 23 per i dispari ≥ 3.
Stabilire se la catena è irriducibile e calcolare le distribuzioni invarianti.
Esercizio 2. L’azienda Pardini ha tre stabilimenti di produzione, a Avico, Buti e Cascine ed una sede centrale a Dovio. Quando viene segnalato un calo di qualità della produzione in uno stabilimento, l’azienda manda lì un team di esperti dalla sede centrale (supponiamo nullo il tempo che intercorre tra la segnalazione e l’arrivo degli esperti). Gli esperti devono esaminare numerosi aspetti ed impiegano mediamente 5 giorni a risolvere il problema.
i) Supponiamo che gli stabilimenti di Avico e Cascine mantengano una buona qualità per circa 100 giorni lavorativi, in media, prima di manifestare problemi che richiedano l’intervento degli esperti, mentre Buti ha una produzione meno impegnativa e richiede un intervento solo ogni 1000 giorni. Che probabilità c’è che, mentre gli esperti stanno
lavorando a Buti, con gli altri due funzionanti, arrivi una seconda richiesta di intervento?
Supporre, qui come nel seguito, esponenziali tutti i tempi aleatori in gioco.
ii) Per semplicità, assimiliamo ora 1000 ad infinito, così da escludere interventi su Buti.
Il team di manutentori, quando sta lavorando ad Avico o Cascine, completa il lavoro in corso prima di intervenire sull’altro stabilimento se questo richiede l’intervento. Descrivere il sistema con un processo di Markov a tempo continuo a cinque stati e calcolare la
probabilità a regime che gli esperti siano impegnati. Indicare gli stati nel seguente modo:
LL= Avico e Cascine lavorano (team di riparatori in sede a Devio); RL = Avico in fase di riparazione, Cascine lavora; LR= viceversa; RF = Avico in fase di riparazione, Cascine guasto in attesa dell’arrivo del team; FR= viceversa.
iii) Calcolare a regime la percentuale di tempo in cui lo stabilimento di Avico è
inattivo. Sia t0un istante in cui tale stabilimento riconosce il deterioramento della qualità e t1 l’istante, successivo a t0, in cui torna a lavorare correttamente; indichiamo con T il tempo trascorso tra t0 e t1; calcolare ET, a regime.
iv) Supponiamo che in un certo periodo lo stabilimento di Cascine, per qualche ragione, stia effettuando una produzione di importanza superiore a quella di Avico per cui, se
necessita di un intervento, il team lo ragiunge immediatamente interrompendo il lavoro che eventualmente stava svolgendo ad Avico. Descrivere il nuovo modello con un processo di Markov.
v) Torniamo alla situazione del punto ii). A partire da una certa data la dirigenza
dell’azienda decide che il team può operare in simultanea su diversi impianti di produzione
fuori qualità, comunicando telefonicamente per scambiare opinioni. In questo modo, quando il team opera su entrambi gli impianti impiega su ciascuno un tempo medio di 8 giorni a completare il lavoro. Descrivere il nuovo modello con un processo di Markov a 4 stati. Valutare se, a regime, il nuovo sistema di intervento è migliore di quello precedente.
Soluzioni
Esercizio 1. a) Con le usuali notazioni abbiamo a0 = 1, a1 = 0.5
0.5 = 1, a2 = 0.52
0.52 = 1, a3 = 0.53
0.53 = 1, a3+k = 0.531/3k
0.532/3k = 1 2
k
per k ≥ 1. Quindi
∑
n=0
∞
an = 4 +
∑
k=1
∞
1 2
k = 3 + 1
1 − 12 = 5 (in particolare, si raggiunge l’equilibrio),
π0 = ... = π3 = 15, π3+k = 15 1 2
k
per k ≥ 1.
b) La catena non è irriducibile: i pari comunicano solo tra loro e così i dispari. Formano due classi irriducibili. Troviamo la distribuzione invariante della catena ristretta ai numeri pari. Indicando il generico numero pari con la notazione 2n, è come considerare una catena sui numeri n con probabilità di crescita 1/4 e probabilità di calo 3/4, per cui la distribuzione invariante è (ρ = 13)
π2n = 23 1 3
n
, n = 0,1,2,3,...
Analogamente, troviamo la distribuzione invariante della catena ristretta ai numeri dispari.
Indicando il generico numero dispari con la notazione 2n+ 1, è come considerare una catena sui numeri n con probabilità di crescita 1/3 e probabilità di calo 2/3, per cui la distribuzione invariante è (ρ = 12 )
π2n+1 = 12 1 2
n
, n = 0,1,2,3,...
Infine, se consideriamo la catena nel suo complesso, ci sono infinite distribuzioni invarianti, tutte e sole quelle della forma
π2n = α 23 1 3
n
, π2n+1 = 1 − α 12 1 2
n
n = 0,1,2,3,...
con α ∈ 0, 1.
Esercizio 2. i) Comunque sia la descrizione completa con un processo di Markov, possiamo immaginare di trovarci nello stato B che descive la situazione in cui a Buti c’è un guasto (quindi il team è lì) mentre gli altri stabilimenti funzionano bene, da cui escono due transizioni, una ad uno stato 0, quello in cui tutti gli stabilimenti funzionano bene,
transizione che avviene se il team completa l’intervento a Buti prima che compaiano altri guasti altrove, e l’altra allo stato B+, quello in cui oltre a Buti anche almeno un altro dei due stabilimenti ha un guasto, transizione che avviene se si guasta un altro impianto prima che i manutentori completino l’intervento a Buti. Il tasso di transizione da B a 0 è pari a
1
ETr dove Tr è il tempo di riparazione, quindi ETr = 5 (giorni), ET1r = 15. Il tasso di transizione da B a B+ è pari a EminT1
2,T3 dove Ti sono due copie indentiche indipendenti del tempo di attesa ad Avico o Cascine prima che la qualità deteriori, quindi ETi = 100, Ti ∼ Exp 1001 , minT2, T3 ∼ Exp 1002 , EminT1
2,T3 = 1002 . La probabilità di transire prima in B+ che in 0 (che è la probabilità richiesta dall’esercizio) vale
2 100 2
100 + 15 = 0.091.
ii) Le transizioni possibili ed i loro tassi sono:
LL→RL, tasso 1001 (in giorni−1) LL→LR, tasso 1001
RL→LL, tasso 15 LR→LL, tasso 15 RL→RF, tasso 1001 LR→FR, tasso 1001 RF→LR, tasso 15 FR→RL, tasso 15.
Per simmetria πRL = πLR e πRF = πFR. Quindi la relazione πLL+ πRL + πLR + πRF + πFR = 1 diventa
πLL + 2πRL + 2πRF = 1.
Il bilancio in LL, 1002 πLL = 15πRL + 15 πLR diventa πLL = 20πRL. Aggiungiamo il bilancio in RF, 1001 πRL = 15πRFovvero
πRL = 20πRF
ed abbiamo tre equazioni in tre incognite. Dobbiamo trovare 1 − πLL. Sostituendo le seconde due equazioni nella prima troviamo
20πRL + 2πRL+ 110 πRL = 1 da cui πRL = 0.045, ed infine
1 − πLL = 1 − 20 ⋅ 0.045 = 0.1.
iii) La percentuale di tempo in cui lo stabilimento di Avico è inattivo equivale alla probabilità che Avico sia inattivo, quindi è pari a
1 − πLL− πLR = 0.1 − πRL = 0.1 − 0.045 = 0.055.
Al momento t0in cui Avico si rompe, Cascine poteva essere funzionante o rotto. A regime, Cascine era funzionante con probabilità πLL(notiamo che Avico immediatamente prima stava funzionando), mentre era rotto con probabilità πLR. Se Cascine era funzionante, il tempo medio di riparazione è 5 giorni. Se Cascine è rotto, il temo medio di riparazione è 10 (quello di Cascine più quello di Avico). In conclusione,
ET = 5πLL + 10πLR = 5 ⋅ 0.9 + 10 ⋅ 0.045 = 4.95 giorni.
iv) Non esiste più lo stato RF. Le transizioni possibili ed i loro tassi sono:
LL→RL, tasso 1001 (in giorni−1) LL→LR, tasso 1001
RL→LL, tasso 15 LR→LL, tasso 15 RL→FR, tasso 1001 LR→FR, tasso 1001 FR→RL, tasso 15.
v) Gli stati FR e RF sono sostituiti dallo stato RR in cui entrambi gli impianti sono in riparazione. Le transizioni possibili ed i loro tassi sono:
LL→RL, tasso 1001 (in giorni−1) LL→LR, tasso 1001
RL→LL, tasso 15 LR→LL, tasso 15 RL→RR, tasso 1001 LR→RR, tasso 1001 RR→RL, tasso 18 RR→LR, tasso 18.
Bisogna ora calcolare πLL, πRL, πLR, πRR, usando di nuovo la simmetria πRL = πLR che riduce il calcolo a tre stati. Ecco i calcoli. La relazione πLL+ πRL+ πLR + πRR = 1 diventa
πLL+ 2πRL + πRR = 1.
Il bilancio in LL è come sopra e conduce a
πLL = 20πRL.
Aggiungiamo il bilancio in RR, 1001 πRL + 1001 πLR = 28πRRovvero πRL = 252 πRR
ed abbiamo tre equazioni in tre incognite. Sostituendo le seconde due equazioni nella prima troviamo
20πRL + 2πRL+ 225 πRL = 1 da cui πRL = 0.0453, ed infine πLL = 0.906, πRR = 0.0036.
Confrontiamo i risultati. Usando degli apici per i problemi ii e v, abbiamo:
πLLii = 0.9, πRL
ii = 0.045, 2πRF
ii = 0.0045 πLLv = 0.906, πRL
v = 0.0453, πRR
v = 0.0036.
Vediamo quindi che, passando da ii a v, è migliorata leggermente la probabilità di
funzionamento di entrambi (aumentata), ed anche la probabilità di trovarli entrambi guasti (diminuita), mentre è un po’ peggiorata la probabilità di di averne uno guasto. Nel
complesso però le cose non sono cambiate visibilmente. Se stabiliamo che lo scopo del
nuovo sistema di manutenzione era quello di abbreviare i periodi in cui entrambi gli stabilimenti non funzionano, lo scopo è lievemente raggiunto ma in maniera non significativa.
