Esercizio 1. Si consideri la serie

Condividi "Esercizio 1. Si consideri la serie"

(1)

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova scritta del 6/11/2013

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Si consideri la serie

+ ∞

∑

n=1

x

n ^α (1 + nx ² ) , α > 0.

Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme al variare di α.

Esercizio 2. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di una sfera di centro (0, 0, 0) e raggio R su cui distribuita una massa con densit` a δ(x, y, z) = √

R ² − z ² .

Esercizio 3. Mostrare che la funzione f (x, y) = |xy| è differenziabile nel punto (0, 0), ma non è differenziabile nel punto (2, 0).

Esercizio 4. Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y ^′ = (y ² − 2y) log t,

y(e) = 1. (1)

Esercizio 5. Risolvere analiticamente il problema (1).

Esercizio 6. Sia f deﬁnita da

f (x) = {

e ⁻

^1−x2¹

, se x ̸= (−1, 1), 0, se x = ( −1, 1), e calcolare il seguente limite

n →+∞ lim

∫ 1

−1

f (x) cos(nx)dx.

Calcolare inoltre

n →+∞ lim n

∫ 1

−1

f (x) cos(nx)dx.

Esercizio 1. Si consideri la serie

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova scritta del 6/11/2013

A.A. 2012/2013

Esercizio 1. Si consideri la serie

+ ∞

∑

n=1

x

n α (1 + nx 2 ) , α > 0.

Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme al variare di α.

Esercizio 2. Calcolare il momento d’inerzia rispetto all’asse z di una sfera di centro (0, 0, 0) e raggio R su cui distribuita una massa con densit` a δ(x, y, z) = √

R 2 − z 2 .

Esercizio 3. Mostrare che la funzione f (x, y) = |xy| è differenziabile nel punto (0, 0), ma non è differenziabile nel punto (2, 0).

Esercizio 4. Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy {

y ′ = (y 2 − 2y) log t,

y(e) = 1. (1)

Esercizio 5. Risolvere analiticamente il problema (1).

Esercizio 6. Sia f deﬁnita da

f (x) = {

e −

, se x ̸= (−1, 1), 0, se x = ( −1, 1), e calcolare il seguente limite

n →+∞ lim

∫ 1

−1

f (x) cos(nx)dx.

Calcolare inoltre

n →+∞ lim n

∫ 1

−1

f (x) cos(nx)dx.

n ^α (1 + nx ² ) , α > 0.

R ² − z ² .

y ^′ = (y ² − 2y) log t,

e ⁻