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Sia x ∈ Z ∗ e p un numero primo. Allora possiamo scrivere x = p v

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Academic year: 2021

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(1)

1 Il valore assoluto p-adico

Definizione 1.1. Siano a, b ∈ Z. Se a divide b scriveremo a | b, altrimenti scriveremo a - b. Con (a, b) indichiamo il massimo comun divisore di a e b.

Sia x ∈ Z e p un numero primo. Allora possiamo scrivere x = p v

p

(x) α, (p, α) = 1, per cui p v

p

(x) la pi` u alta potenza di p che divide x.

Ovviamente v p (x) ∈ Z ≥0 e, definendo (coerentemente) v p (0) = +∞ introduciamo la somma in Z ≥0 ∪ {+∞} ponendo n + (+∞) = +∞. Chiameremo v p (x) ∈ Z ≥0 ∪ {+∞} valutazione p-adica di x.

Proposizione 1.2. La valutazione v p gode delle seguenti propriet` a:

a) v p (xy) = v p (x) + v p (y), per ogni x, y ∈ Z.

b) v p (x + y) ≥ min{v p (x), v p (y)}, per ogni x, y ∈ Z.

c) v p (x + y) = min{v p (x), v p (y)} se v p (x) 6= v p (y).

d) v p (1) = 0.

e) v p (−x) = v p (x), per ogni x ∈ Z.

Dimostrazione. Siano

x = p v

p

(x) α, y = p v

p

(y) β, p - αβ. (1.1) a) Poich` e xy = p v

p

(x)+v

p

(y) αβ e p - αβ si ha la tesi.

b) Supponiamo che xy 6= 0 (se xy = 0 la tesi ` e evidente). Allora, supponendo v p (x) = min{v p (x), v p (y)},

x + y = p v

p

(x) [α + p v

p

(y)−v

p

(x) β]

per cui v p (x + y) ≥ v p (x) = min{v p (x), v p (y)}.

c) Se v p (x) < v p (y) l’intero α + p v

p

(y)−v

p

(x) β non pu` o essere divisibile per p altri- menti p | α.

I punti d) ed e) sono immediati. 

Estendiamo la valutazione v p da Z a Q.

Definizione 1.3. Sia x ∈ Q , x = a

b con a, b ∈ Z, b 6= 0. L’intero v p (x) = v p (a) − v p (b)

sar` a chiamato valutazione p-adica di x. Per a) della Proposizione 1.2 v p (x) non dipende dalla frazione a

b che rappresenta x.

(2)

Proposizione 1.4. La valutazione v p gode delle seguenti propriet` a:

i) v p (xy) = v p (x) + v p (y), per ogni x, y ∈ Q.

ii) v p (x + y) ≥ min{v p (x), v p (y)}, per ogni x, y ∈ Q.

iii) v p (x + y) = min{v p (x), v p (y)} se v p (x) 6= v p (y).

iv) v p (1) = 0.

v) v p (−x) = v p (x), per ogni x ∈ Q.

In particolare la mappa v p : Q → Z `e un omomorfismo di gruppi.

Dimostrazione. Siano x, y ∈ Q , x = a

b , y = c

d , a, b, c, d ∈ Z.

i) Per a) della Proposizione 1.2 si ha v p (xy) = v p ( ac

bd ) = v p (ac) − v p (bd) = v p (a) + v p (c) − v p (b) − v p (d) = v p (x) + v p (y).

ii) Per b) della Proposizione 1.2 si ha v p (x + y) = v  ad + bc

bd



= v p (ad + bc) − v p (bd)

≥ min{v p (ad), v p (bc)} − v p (b) − v p (d)

= min{v p (a) + v p (d), v p (b) + v p (c)} − v p (b) − v p (d)

= min{v p (a) − v p (b), v p (c) − v p (d)}

= min{v p (x), v p (y)}.

(1.2)

iii) Sia v p (x) 6= v p (y). Allora v p (ad) 6= v p (bc), altrimenti

v p (a) + v p (d) = v p (b) + v p (d) ⇐⇒ v p (a) − v p (b) = v p (c) − v p (d)

cio` e v p (x) = v p (y). Per c) della Proposizione 1.2 si ha sempre l’uguaglianza nella (1.2).

I punti iv) e v) sono immediati. 

Definizione 1.5. Chiameremo il numero razionale positivo

|x| p = p −v

p

(x) , x ∈ Q ,

valore assoluto p-adico (normalizzato) di x. Poich` e v p (0) = +∞ si pone

(3)

Proposizione 1.6. Il valore assoluto p-adico gode delle seguenti propriet` a:

i) |x| p = 0 se e solo se x = 0.

ii) |xy| p = |x| p |y| p , per ogni x, y ∈ Q.

iii) |x + y| p ≤ max{|x| p , |y| p }, per ogni x, y ∈ Q.

iv) |x + y| p = max{|x| p , |y| p } se |x| p 6= |y| p . v) |−x| p = |x| p , per ogni x ∈ Q.

vi) |1| p = 1.

Dimostrazione. i) Per definizione.

ii) Immediato da i) della Proposizione 1.4.

iii) Si ha

|x + y| p = p −v

p

(x+y) ≤ p − min{v

p

(x),v

p

(y)} = max{p −v

p

(x) , p −v

p

(y) } = max{|x| p , |y| p }.

iv) Nella riga precedente si ha p −v

p

(x+y) = p − min{v

p

(x),v

p

(y)} .

I punti v) e vi) sono immediati. 

Osservazione 1.7. Sia x ∈ Q e n un intero positivo, allora dalla iii) segue

|nx| p ≤ |x| p .

Questo fatto si esprime dicendo che il valora assoluto p-adico ` e non-archimedeo.

Definizione 1.8. Una metrica d su un insieme X si dice ultrametrica se, per ogni x, y, z ∈ X vale la disuguaglianza (pi` u forte della disuguaglianza triangolare)

d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}.

Osserviamo esplicitamente che se d(x, y) 6= d(y, z) allora d(x, z) = max{d(x, y), d(y, z)}.

Supponiamo che d(y, z) < d(x, y). Se d(x, z) < d(x, y) avremmo d(x, y) > max{d(x, z), d(y, z)}

ma ci` o ` e in contrasto con la disuguaglianza d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(y, z)}.

(4)

Definizione 1.9. Definiamo la mappa d p : Q × Q → R ≥0 d p (x, y) = |x − y| p .

Per i) e v) della Proposizione 1.6 si ha subito

• d p (x, y) = 0 se e solo se x = y.

• d p (x, y) = d p (y, x).

Dalla iii) segue che

d p (x, z) ≤ max{d p (x, y), d p (y, z)}, ∀ x, y, z ∈ Q. (1.3) Dalla iv) segue che, se d p (x, y) 6= d p (y, z) allora

d p (x, z) = max{d p (x, y), d p (y, z)}.

La mappa d p ` e quindi un’ultrametrica detta metrica p-adica su Q.

Osservazione 1.10. Osserviamo esplicitamente che, se a, b ∈ Z allora

|a − b| p ≤ p −n ⇐⇒ a ≡ b (mod p n ), n ≥ 1.

Pertanto due interi a e b sono p-adicamente vicini se a − b ` e diviso da un’alta potenza di p.

Osservazione 1.11. Siano

D(0; 1) = {x ∈ Q : d p (x, 0) < 1}, S(0; 1) = {x ∈ Q : d p (x, 0) = 1}

il disco aperto di centro l’origine e di raggio 1 e la sfera di centro l’origine e di raggio 1, rispettivamente. Allora

D(0; 1) = {x ∈ Q : |x| p < 1}

= {x ∈ Q : v p (x) > 0}

= { a

b ∈ Q : a, b ∈ Z, p | a, p - b}.

S(0; 1) = {x ∈ Q : |x| p = 1}

= {x ∈ Q : v p (x) = 0}

= { a

b ∈ Q : a, b ∈ Z, p - ab}.

Gli spazi ultrametrici possiedono propriet` a geometriche singolari. Vale infatti

(5)

Proposizione 1.12. Sia (X, d) uno spazio ultrametrico. Allora:

1. I triangoli di (X, d) sono tutti isosceli.

2. Se y ∈ D(x 0 ; r) allora D(y; r) = D(x 0 ; r), cio` e un disco aperto di raggio r

`

e il disco aperto di raggio r e di centro un suo punto qualunque.

3. Se y ∈ D(x 0 ; r) allora D(y; r) = D(x 0 ; r), cio` e ogni disco chiuso di raggio r ` e il disco chiuso di raggio r e di centro un suo punto qualunque.

4. Se D(x 0 ; r) ∩ D(y 0 ; r 0 ) 6= ∅, r, r 0 > 0, allora D(x 0 ; r) ⊂ D(y 0 ; r 0 ) o D(x 0 ; r) ⊃ D(y 0 ; r 0 ), cio` e due dischi aperti o hanno intersezione vuota o uno ` e contenuto nell’ altro.

5. Se D(x 0 ; r)∩D(y 0 ; r 0 ) 6= ∅ allora D(x 0 ; r) ⊂ D(y 0 ; r 0 ) o D(x 0 ; r) ⊃ D(y 0 ; r 0 ), cio` e due dischi chiusi o hanno intersezione vuota o uno ` e contenuto nell’

altro.

6. Ogni disco aperto ` e chiuso in X.

7. Ogni disco chiuso di raggio > 0 ` e aperto in X.

8. Ogni sfera di raggio > 0 ` e aperta in X.

Dimostrazione. Esercizio. 

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