Fisica Generale A. 11. Lavoro ed Energia. Differenziali Esatti. Differenziali Esatti (III) Differenziali Esatti (II) ( ) ( ) ( ) x.

(1)

11. Lavoro ed Energia

Fisica Generale A

http://campus.cib.unibo.it/2431/

January 26, 2011

Differenziali Esatti

•! Un differenziale è un cambiamento infinitesimo di una variabile (p.es. dx, dy, dz, df, dU, dL, dQ, ecc.).

•! Consideriamo ora le variabili U1, U2 e U3, funzioni delle variabili indipendenti x, y e z:

•! I differenziali delle variabili U1, U2 e U3, ovvero gli infinitesimi dU₁, dU₂ e dU₃, possono essere scritti in funzione dei differenziali delle variabili x, y e z.

Domenico Galli – Fisica Generale A – 11. Lavoro ed Energia.! 2!

U₁= f₁

( )

x U₂= f₂

( )

x, y U₃= f₃

(

x, y,z

)

x U

dx

dU

^{U = f x}

( )

Differenziali Esatti (II)

•! Le relazioni che legano i differenziali dU₁, dU₂ e dU₃ai differenziali dx, dy, dz si scrivono:

•! I differenziali dU1, dU2 e dU3 si dicono differenziali esatti, in quanto essi sono differenziali delle variabili U₁, U₂ e U₃, le quali sono funzioni delle variabili x, y e z.

3!

dU₁= df₁ dx

!

"#

$

%&dx dU₂= 'f₂

'x

!

"#

$

%&_ydx + 'f₂ 'y

!

"#

$

%&_xdy dU₃= 'f₃

'x

!

"#

$

%&_y,zdx + 'f₃ 'y

!

"#

$

%&_x,zdy + 'f₃ 'z

!

"#

$

%&_x,ydz

U₁= f₁

( )

x U₂= f₂

( )

x, y U₃= f₃

(

x, y,z

)

x U

dx

dU

^{U = f x}

( )

Differenziali Esatti (III)

•! Esempio 1:

•! Esempio 2:

•! Esempio 3:

4!

y = f x

( )

^{= sin x}

dy = df dx

!

"#

$

%&dx = cos x dx

z = f x, y

( )

⁼^x²⁺^y²⁺^xy

dz = !f

!x

"

#$

%

&'_ydx + !f

!y

"

#$

%

&'_xdy = 2x + y

( )

dx + 2y + x

( )

^dy

U = f x, y,z

( )

⁼^x²⁺^y²⁺^z²⁺^xyz

dU = !f

!x

"

#$

%

&'_y,zdx + !f

!y

"

#$

%

&'_x,zdy + !f

!z

"

#$

%

&'_{x, y}dz = 2x + yz

( )

dx + 2y + xz

( )

dy + 2z + xy

( )

^dz

Domenico Galli

Digitally signed by Domenico Galli DN: c=IT, o=INFN, ou=Personal Certificate, l=Bologna, cn=Domenico Galli Date: 2011.01.26 08:46:27 +01'00'

(2)

Forme Differenziali

•! Consideriamo ora le forme differenziali:

•! Evidentemente dQ1, dQ₂, dQ₃, così come dx, dy e dz sono differenziali ed esiste una relazione funzionale tra di loro.

•! Ma siamo sicuri che si tratti di differenziali esatti, ovvero che esistano delle funzioni f₁, f₂ e f₃ tali che:

•! Non è detto, in generale, che le funzioni f1, f2 e f3 esistano.

•! Non è detto che i differenziali dQ1, dQ₂, dQ₃, siano dei differenziali esatti.

dQ₁=A₁

( )

x ^dx

dQ₂=A₂

( )

x, y ^{dx + B}²

( )

^{x, y} ^dy

dQ₃= A₃

(

x, y,z

)

^{dx + B}³

(

^{x, y,z}

)

^{dy + C}³

(

^{x, y,z}

)

^dy

dQ₁=df₁

dxdx, dQ₂=!f₂

!xdx +!f₂

!ydy, dQ₃=!f₃

!xdx +!f₃

!ydy +!f₃

!zdz

Forme Differenziali (II)

•! La forma differenziale:

è sempre un differenziale esatto, perché si può sempre trovare una funzione f tale che:

•! Infatti la funzione f cercata è la primitiva della funzione A:

dQ = A x

( )

^dx

A x

( )

^{= df}_dx ^{! dQ = df}^"_#$_dx^%_&'^dx

f = A x

_! ( )

^dx⁺^C

Forme Differenziali (III)

•! Esempio 1:

dy è perciò un differenziale esatto.

•! Esempio 2:

dy è perciò un differenziale esatto.

7!

dy = A x

( )

^{dx = xdx}

f x

( )

⁼

_!

^{A x}

( )

^dx⁼

_!

^xdx^{= x}₂²^, ^{dy = df}^"_#$_dx^%_&'^dx

dy = A x

( )

dx = cos x dx

f x

( )

⁼

_!

^{A x}

( )

^dx^{= cos x dx}

_!

^{= sin x,} ^{dy = df}^"_#$_dx^%_&'^dx

Differenziali non-Esatti

•! Consideriamo ora la seconda forma differenziale:

•! Per poterla scrivere nella forma esatta:

sarebbe necessario trovare una funzione f(x, y) tale che:

•! Si può dimostrare che questo è possibile soltanto nel caso particolarissimo in cui, tra le funzioni A(x, y) e B(x, y), valga la relazione:

8!

dQ = A x, y

( )

dx + B x, y

( )

^dy

dQ = !f

!x

"

#$

%

&'_ydx + !f

!y

"

#$

%

&'_xdy

A x, y

( )

^{= !f}^"_#$_!x^%_&'

y

, B x, y

( )

^{= !f}^"_#$_!y^%_&'

x

!A

!y

"

#$

%

&'_x = !B

!x

"

#$

%

&'_y

(3)

Differenziali non-Esatti (II)

•! Dimostriamo che la condizione è necessaria. Se esiste la funzione f tale che:

allora le derivate di A e B si possono scrivere come:

•! Per il Teorema di Scwartz l’ordine di derivazione non cambia il risultato, per cui si ha:

#

A x, y

( )

^{= !f}^"_#$_!x^%_&'

y

, B x, y

( )

^{= !f}^"_#$_!y^%_&'

x

!A

!x

"

#$

%

&'_y= !

!x

!f

!x

"

#$

%

&' =!²f

!x², !A

!y

"

#$

%

&'_x = !

!y

!f

!x

"

#$

%

&'= !²f

!y !x

!B

!x

"

#$

%

&'_y = !

!x

!f

!y

"

#$

%

&'= !²f

!x !y, !B

!y

"

#$

%

&'_y = !

!y

!f

!y

"

#$

%

&'=!²f

!y²

!²f

!y !x= !²f

!x !y " !A

!y

#

$%

&

'(_x= !B

!x

#

$%

&

'(_y

Differenziali non-Esatti (III)

nel caso generale in cui:

non è perciò un differenziale esatto.

•! Diremo che il differenziale è un differenziale non-esatto e lo indicheremo con una barra obliqua trasversale sulla .

dQ = A x, y

( )

dx + B x, y

( )

^dy

!A

!y

"

#$

%

&'_x( !B

!x

"

#$

%

&'_y

dQ d

Differenziali non-Esatti (IV)

•! Esempio 1:

Il differenziale è esatto. Per determinare la funzione f si calcola l’integrale di linea di dQ lungo una qualunque spezzata, come quella in figura, che congiunga l’origine O, di coordinate (0,0), con un punto generico P di coordinate (x,y):

11!

dQ = A x, y

( )

dx + B x, y

( )

^{dy = xy}²^{dx + x}²^ydy

!A

!y

"

#$

%

&'_x = 2xy

!B

!x

"

#$

%

&'_y = 2xy ( )

**

+

**

, !A

!y

"

#$

%

&'_x = !B

!x

"

#$

%

&'_y

!

( )

O, P ⁼^!¹

( )

^O,C ^"^!²

( )

^{C, P}

!₁

( )

O,C ⁼

{ ( )

^{x , #}^# ^y ^$!²^{; #}^{x $ 0,x}%& '(, #y = 0

}

!₂

( )

C, P ⁼

{ ( )

^{x , #}^# ^y ^$!²^{; #}^{x = x, #}^{y $ 0, y}%& '(

}

^x

y

O 0,0

( )

^{C x,0}

( )

P x, y

( )

!₁

( )

O,C

!₂

( )

C, P

Differenziali non-Esatti (V)

•! Dette x! e y! le variabili di integrazione, l’integrale si scrive:

12!

f x, y

( )

⁼ ^dQ

! O,P( )

"

⁺^{C =} _$%^{A #}

( )

^{x , #}^y ^{d #}^{x + B #}

( )

^{x , #}^y ^{d #}^y _&'

! O,P( )

"

⁺^{C =}

= $%x ##y²d #x + #x ²y d ## y &'

! O,P( )

"

⁺^{C =} ^{x #}^#^y²^{d #}^x

! O,C( )

"

⁺ ^x^#²^{y d #}^# ^y

! C,P( )

"

⁺^{C =}

= x ##y²d #x

# x ( 0,x$% &'

# y =0

"

⁺ ^x^#²^{y d #}^# ^y

# x =x# y ( 0,y$% &'

"

⁺^{C =}

= x 0# ²d #x

0

"

x ⁺ ^x²^{y d #}^# ^y

0

"

y ⁺^{C = x}² ^{y d #}^# ^y

0

"

y ⁺^{C = x}²₂^y²⁺^C

f x, y

( )

^{= x}²₂^y²⁺^C

x y

O 0,0

( )

^{C x,0}

( )

P x, y

( )

!₁

( )

O,C

!₂

( )

C, P

(4)

Differenziali non-Esatti (VI)

•! Esempio 2:

Il differenziale è non-esatto. Non esiste la funzione f cercata.

dQ = A x, y

( )

dx + B x, y

( )

dy = ! ydx + xdy

"A

"y

#

$%

&

'(_x= !1

"B

"x

#

$%

&

'(_y = +1 )

* ++

, ++

- "A

"y

#

$%

&

'(_x . "B

"x

#

$%

&

'(_y

Differenziali non-Esatti (VII)

•! Consideriamo ora la terza forma differenziale:

•! Per poterla scrivere come:

sarebbe necessario trovare una funzione f(x, y, z) tale che:

•! Si può dimostrare che questo è possibile soltanto nel caso particolarissimo in cui valgono le 3 relazioni:

A x, y,z

( )

⁼^"_#$^!f_!x^%_&'

y,z

, B x, y,z

( )

⁼^"_#$^!f_!y^%_&'

x,z

, C x, y,z

( )

⁼^"_#$^!f_!z^%_&'

x, y

!A

!y

"

#$

%

&'_x,z= !B

!x

"

#$

%

&'_y,z, !A

!z

"

#$

%

&'_x,y = !C

!x

"

#$

%

&'_y,z, !B

!z

"

#$

%

&'_x,y = !C

!y

"

#$

%

&'_x,z dQ = A x, y,z

( )

dx + B x, y,z

( )

dy + C x, y,z

( )

^dz

dQ = !f

!x

"

#$

%

&'_y,zdx + !f

!y

"

#$

%

&'_x,zdy + !f

!z

"

#$

%

&'_x,ydz

Differenziali non-Esatti (VIII)

•! Dimostriamo che la condizione è necessaria. Se esiste la funzione f₃ tale che:

allora le derivate di A₃, B₃ e C₃ si possono scrivere come:

15!

!A

!x = !

!x

!f

!x

"

#$

%

&'= !²f

!x², !A

!y = !

!y

!f

!x

"

#$

%

&' = !²f

!y !x, !A

!z = !

!z

!f

!x

"

#$

%

&'= !²f

!z !x

!B

!x = !

!x

!f

!y

"

#$

%

&'= !²f

!x !y, !B

!y = !

!y

!f

!y

"

#$

%

&' = !²f

!y² , !B

!z = !

!z

!f

!y

"

#$

%

&'= !²f

!z !y

!C

!x = !

!x

!f

!z

"

#$

%

&' = !²f

!x !z, !C

!y = !

!y

!f

!z

"

#$

%

&'= !²f

!y !z, !C

!z = !

!z

!f

!z

"

#$

%

&'= !²f

!z² A x, y,z

( )

⁼^"_#$^!f_!x^%_&'

y,z

, B x, y,z

( )

⁼^"_#$^!f_!y^%_&'

x,z

, C x, y,z

( )

⁼^"_#$^!f_!z^%_&'

x, y

Differenziali non-Esatti (IX)

•! Per il Teorema di Scwartz l’ordine di derivazione non cambia il risultato, per cui si ha:

#

16!

!²f

!y !x = !²f

!x !y " !A

!y

#

$%

&

'(_x,z= !B

!x

#

$%

&

'(_y,z

!²f

!z !y = !²f

!y !z " !B

!z

#

$%

&

'(_{x, y}= !C

!y

#

$%

&

'(_x,z

!²f

!x !z = !²f

!z !x " !C

!x

#

$%

&

'(_y,z= !A

!z

#

$%

&

'(_{x, y}

(5)

Differenziali non-Esatti (IX)

•! Si osservi che le 3 condizioni:

ovvero:

o ancora:

si possono scrivere, in forma compatta, come:

!A

!y

"

#$

%

&'_x,z= !B

!x

"

#$

%

&'_y,z, !B

!z

"

#$

%

&'_x,y= !C

!y

"

#$

%

&'_x,z, !C

!x

"

#$

%

&'_y,z= !A

!z

"

#$

%

&'_x,y

!B

!x "!A

!y = 0, !C

!y "!B

!z = 0, !A

!z "!C

!x = 0

det

ˆı ˆ! ˆk

!

!x

!

!y

!

!z

A B C

= !

" #

(

Aˆı + Bˆ! + C ˆk

)

⁼⁰^!

!C

!y "!B

!z

#

$%

&

'(ˆı + !A

!z "!C

!x

#

$%

&

'( ˆ! + !B

!x "!A

!y

#

$%

&

'( ˆk =! 0

Differenziali non-Esatti (X)

nel caso generale in cui:

o, equivalentemente:

non è perciò un differenziale esatto.

•! Diremo che il differenziale è un differenziale non-esatto e lo indicheremo con una barra obliqua trasversale sulla .

dQ

dQ = A x, y,z

( )

dx + B x, y,z

( )

dy + C x, y,z

( )

^dz

!A

!y

"

#$

%

&'_x,z( !B

!x

"

#$

%

&'_y,zo !A

!z

"

#$

%

&'_{x, y}( !C

!x

"

#$

%

&'_y,zo !B

!z

"

#$

%

&'_{x, y}( !C

!y

"

#$

%

&'_x,z

d

! "!

(

Aˆı + Bˆ! + C ˆk

)

^#⁰^!

Differenziali non-Esatti (XI)

•! Esempio 1:

•! Il differenziale è esatto.

19!

dQ = A x, y,z

( )

dx + B x, y,z

( )

dy + C x, y,z

( )

^{dz = y}^!^A²^z^{dx + 2xyz}^!^B ^{dy + xy}^!^C²^dz

!A

!y

"

#$

%

&'_x,z= 2yz = !B

!x

"

#$

%

&'_y,z

!B

!z

"

#$

%

&'_{x, y}= 2xy = !C

!y

"

#$

%

&'_x,z

!C

!x

"

#$

%

&'_y,z=y²= !A

!z

"

#$

%

&'_{x, y} (

)

**

+

**

Differenziali non-Esatti (XII)

•! Per determinare la funzione f si calcola l’integrale di linea di dQ lungo una qualunque spezzata, come quella in figura, che congiunga l’origine O, di coordinate (0,0,0), con un punto generico P di coordinate (x,y,z):

•! Dette x!, y! e z! le variabili di integrazione, l’integrale si scrive:

dove D è una costante arbitraria.

20!

!

( )

O, P ⁼^!1

( )

O, A ^"^!2

( )

A, B ^"^!2

( )

B, P

!₁

( )

O, A ⁼

{ (

^{x , #}^# ^{y , #}^z

)

^$!³^{; #}^{x $ 0,x}%& '(, #y = 0, #z = 0

}

!₂

( )

A, B ⁼

{ (

^{x , #}^# ^{y , #}^z

)

^$!³^{; #}^{x = x, #}^{y $ 0, y}%& '(, #z = 0

}

!₂

( )

B, P ⁼

{ (

^{x , #}^# ^{y , #}^z

)

^$!³^{; #}^{x = x, #}^{y = y, #}^{z $ 0,z}%& '(

}

!

"

#

! !! "! "

!_"!!! #"

!_#!#! $"

!_$!$! ""

# %! %! %! "

! %! %! %! "

$ %! &! %! "

" %! &! '! "

f x, y,z

( )

⁼ ^dQ

! O,P( )

"

⁺^D

(6)

Differenziali non-Esatti (XIII)

•! Avremo:

f x, y,z

( )

⁼ ^dQ

! O,P( )

"

⁺^{D =}

= _$%A #

(

x , #y , #z

)

^{d #}^{x + B #}

(

^{x , #}^{y , #}^z

)

^{d #}^{y + C #}

(

^{x , #}^{y , #}^z

)

^{d #}^z _&'

! O,P( )

"

⁺^{D =}

= $%y#²z d ## x + 2 #x #y #z d #y + #x #y²d #z &'

! O,P( )

"

⁺^{D =}

= y#²z d ## x

! O, A( )

"

^{+ 2} ^{x #}^#^{y #}^{z d #}^y

! A,B( )

"

⁺ ^{x #}^#^y²^{d #}^z

! B,P( )

"

⁺^{D =}

= y#²z d ## x

x ( 0,x# $% &'

# y =0# z =0

"

^{+ 2} ^{x #}^#^{y #}^{z d #}^y

# x = x

# y ( 0, y$% &'

# z =0

"

⁺ ^{x #}^#^y ²^{d #}^z

# x = x

# y = y

# z ( 0,z$% &'

"

⁺^!^D

"

#

! !! "! "

!_"!!! #"

!_#!#! $"

!$!$! ""

# %! %! %! "

! %! %! %! "

$ %! &! %! "

" %! &! '! "

Differenziali non-Esatti (XIV)

•! Da cui:

dove D è una costante arbitraria.

f x, y,z

( )

⁼ ^y^!²^{z d !}^! ^x

! x " 0,x#$ %&

! y =0! z =0

'

^{+ 2} ^{x !}^!^{y !}^{z d !}^y

! x = x

! y " 0, y#$ %&

! z =0

'

⁺ ^{x !}^!^y²^dz

! x = x

! y = y

! z " 0,z#$ %&

'

⁺^{D =}

= 0²0d !x

0

'

x ⁺ ^{x !}^{y 0d !}^{y +} 0

'

y ^xy²^dz

0

'

z ⁺^{D =}

=xy² dz

0

'

z ⁺^{D = xy}²^{z + D}

f x, y,z

( )

⁼^xy²^{z + D} ^!

"

#

! !! "! "

!_"!!! #"

!_#!#! $"

!_$!$! ""

# %! %! %! "

! %! %! %! "

$ %! &! %! "

" %! &! '! "

Differenziali non-Esatti (XV)

•! Esempio 2:

•! Il differenziale è non-esatto. Non esiste la funzione f cercata.

23!

dQ = A x, y,z

( )

dx + B x, y,z

( )

dy + C x, y,z

( )

^{dz = y}^!^A²^z^{dx + xyz}^!^B ^{dy + xy}^!^C²^dz

!A

!y

"

#$

%

&'_x,z = 2yz ( yz = !B

!x

"

#$

%

&'_y,z

!B

!z

"

#$

%

&'_{x, y}=xy ( 2xy = !C

!y

"

#$

%

&'_x,z

!C

!x

"

#$

%

&'_y,z= y²= !A

!z

"

#$

%

&'_{x, y} )

* ++ ++

, ++ ++

Integrale di Linea di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita in R³ e sia data una curva

"(P₀, P) !R³, avente, per estremi, i punti P0 e P;

•! Prendiamo, sulla curva "(P0, P), un certo numero n ! 1 di punti:

e consideriamo la spezzata:

formata dai segmenti orientati:

•! La somma dei prodotti scalari della funzione per tali segmenti, nel limite in cui essi diventano infinitesimi, diviene l’integrale di linea:

!P₁

! "!!

=!P!!!!!₁"P"₀ , !P! "!!

2=!P!!!!!₂"P"₁

, …, !P! "!!

n"1=!P!!!!!!!!!_n"1"P_n"2"

, !P! "!!

n=!P " P!!!!!!!_n"1"

!v x

(

_i, y_i,z_i

)

^{i !P}^{" !}^""ⁱ

i=1

"

n !P" !""^n#$

i#!

%%%0# I = !v P

( )

^{i dP}^{" !}^""

& P( )

'

₀,P ⁼ ^{!v x, y,x}

( )

^{i dP}^{" !}^""

& P( )

'

₀,P

P₁, P₂, …, P_n!1"#

( )

P₀, P ^, ^Pⁱ⁼

(

^xⁱ^{, y}ⁱ^,zⁱ

)

P₅ P4

!P5

! "!!

!P4

! "!!

!P2

! "!!

!P₁

! "!! !P! "!!₃ !P6

! "!!!P! "!!₇

! P

( )

₀, P P₀

P

P₁ P₂ P₃

P₆

P₀, P₁, P₂, …, P_n!1, P

!v

24!

(7)

Integrale di Linea di una Funzione Vettoriale (II)

•! La curva "(P0, P) !R³, può essere definita utilizzando un paramtero # :

•! L’integrale di linea si calcola quindi come:

I = !v P

( )

^{i dP}^{" !}^""

! P( )

"

₀,P ^{= !v}

( )

^P

( )

^# ⁱ^dP^{" !}_d^"_#

#₁

#₂

"

^d^#

! =

{

P "!³; P = P

( )

# ^,^#^"_$%^#1,#₂_&'

}

P5

P₄

!P₅

! "!!

!P₄

! "!!

!P₂

! "!!

!P₁

! "!!! P

( )

₀!P! "!!, P₃ !P! "!!!P! "₆!!₇

P₀

P

P₁ P₂ P₃

P6

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita in R³ e sia data una superficie " !R³;

•! Suddividiamo la superficie " in un certo numero n di superfici infini- tesime #", prendiamo su di esse i punti:

e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui le superfici

#" diventano infinitesime, la somma diventa l’integrale di superficie:

!v

P₁

(

x₁, y₁,z₁

)

^{, P}2

(

x₂, y₂,z₂

)

^{, …, P}n

(

x_n, y_n,z_n

)

!v P

( )

_i ^{i ˆn P}

( )

ⁱ ^!"

i=1

#

n

!v P

( )

_i ^{i ˆn P}

( )

ⁱ ^!"

i=1

#

n ^&^!"$0^&&^n$%^$ ^{I =} ^{!v P}

( )

i ˆn d"

"

''

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (II)

•! La superficie " !R³, può essere definita utilizzando i parametri ! e ":

•! L’integrale di superficie si calcola quindi come:

! =

{

P "!³; P = P #,$

( )

, # " #%& ₁,#₂'(, $ " $%& 1,$₂'(

}

!v P

( )

^{i ˆn d!}

""

! = d# !v P #,$

( ( ) )

ⁱ^'₍⁾^%P^{" !}_%#^" ^&^%P^{" !}_%$^" ^*₊^{, d$}

$₁

$₂

"

#₁

#₂

"

27!

Lavoro ed Energia

•! I princìpi della dinamica sono sufficienti per determinare il moto di un sistema meccanico.

•! Tuttavia risulta conveniente l’introduzione di nuove grandezze fisiche (lavoro ed energia) in quanto:

–! Semplificano la soluzione di molti problemi dinamici.

•! Si può descrivere il moto con equazioni differenziali del I ordine invece che del II ordine.

•! Spesso si può determinare lo stato finale di un sistema senza bisogno di risolvere equazioni del moto (p. es.: problemi d’urto).

–! Consentono di estendere la nostra comprensione fisica ad ambiti più ampi (termodinamica, meccanica relativistica, ecc.).

•! Intuitivamente si può dire che l’energia è la capacità di produrre lavoro e che il lavoro è il processo attraverso il quale una certa quantità di energia si trasferisce da un corpo a un altro.

28!

(8)

Lavoro Elementare

•! Si definisce lavoro elementare compiuto da una forza il prodotto scalare:

dove è lo spostamento infinitesimo del punto di applicazione della forza.

•! non è, in generale, il differenziale esatto:

–! In generale, è un differenziale non-esatto.

–! Cioè, in generale, il lavoro L non è una “funzione” delle coordinate. Per questo si mette la barra obliqua trasversale sulla .

dL F!

dL = ! F i dP" !"

=F_xdx + F_ydy + F_zdz

dL

F ! dP ! " ! P

F = F! _xˆı + F_y ˆ! + F_z ˆk dP" !"

= dx ˆı + dy ˆ! + dz ˆk

!"

#

$#

d dP! "!

Lavoro

•! Il lavoro di una forza il cui punto di applicazione P si sposta lungo la linea # che connette A con B è l’integrale di linea:

•! Le dimensioni del lavoro sono:

e l’unità di misura nel Sistema Internazionale è il Joule:

mentre nel sistema tecnico (obsoleto e deprecato) è il kilogrammetro:

F! L_{! A,B}_{( )}

L_{! A,B}( ) = ! F i dP" !"

! A,B( )

"

F ! P dP ! " !

A ! B

!" #$ = F

l

!" #$ L !" #$ = Ma !" #$ L !" #$ = MLT !"

^%2

#$ L !" #$ = ML !"

²T^%2

#$

1J = 1N m

1kgf m = 9.80665 J

Lavoro (II)

•! Nota Bene:

–! Si compie lavoro sollevando una valigia;

–! Ma non si compie lavoro mantenendola sollevata o trasportandola ad altezza costante (poiché la forza è perpendicolare allo

spostamento del punto di applicazione).

31!

Lavoro (III)

•! Esempio 1: lavoro compiuto da una molla che si espande:

•! Si ha:

per cui:

32!

F = !k x ˆı! dP" !"

= dx ˆı

"

#$

%$& dL = ! F i dP" !"

= !k xdx ˆıi ˆı = !k xdx

F!

x

l1 !

F l0

m

l2

L₁₂ = ! O F i dP" !"

! P(₁

"

,P₂) ^{= #k} ^xdx

l₁#l₀ l₂#l₀

"

⁼

= #k x² 2

$

%& ' ()

l₁#l₀ l₂#l₀

= # 1

2k l

(

₂#l₀

)

²^{+ 1}₂^{k l}

(

1#l₀

)

²

(9)

F = !mg ˆk! dP" !"

= dx ˆı + dz ˆk dL = !

F i dP" !"

= !mg ˆki dx ˆı + dz ˆk

( )

^{= !mg dz}

L₁₂ = ! F i dP" !"

" P(₁

#

,P₂) ^{= !mg dz}

h

#

0 ^{= !mg z}^{$% &'}⁰^h⁼^{mgh > 0}

Lavoro (IV)

•! Esempio 2: lavoro compiuto dalla forza peso su di un punto che scende lungo un piano inclinato.

P

2

h

P1

x z

dz P dx

!

! F = !mg ˆk!

dP

Lavoro (V)

•! Esempio 3: lavoro compiuto dalla forza peso su di un punto che scende lungo una superficie sferica.

h

P1

P

2

x z

dz P dx

! F = !mg ˆk!

dP

!

F = !mg ˆk! dP" !"

= dx ˆı + dz ˆk dL = !

F i dP" !"

= !mg ˆki dx ˆı + dz ˆk

( )

^{= !mg dz}

L₁₂= ! F i dP" !"

" P(₁

#

,P₂) ^{= !mg dz}

h

#

0 ^{= !mg z}^{$% &'}^h⁰⁼

=mgh > 0

x = r sin!

y = r cos!

"

#$

dx = r cos! d!

dy = %r sin! d!

"

#$

t_x= cos!

t_y= %sin!

"

#&

$&

F_x= %F_acos!

F_y=F_asin!

"

#&

$&

Lavoro (VI)

•! Esempio 4: lavoro compiuto dalla forza di attrito radente dinamico quando un punto si muove lungo una circonferenza.

35!

P1

P

2

x y

dy P dx

! F!

dP

!

F = !F! _aˆv = !F_aˆt

F = F! _a

(

!cos" ˆı + sin" ˆ!

)

dP" !"

= dx ˆı + dy ˆ! = r cos" d" ˆı ! r sin" d" ˆ! =

=r cos" ˆı ! sin" ˆ!

( )

^d"

dL = ! F i dP" !"

=F_ar d" !cos" ˆı + sin" ˆ!

( )

i cos" ˆı ! sin" ˆ!

( )

⁼

=F_ar d" !cos

(

²" ! sin²"

)

^{= !}^F^a^{r d"}

L₁₂= !

F i dP" !"

#(P₁

$

,P₂) ^{= !}^F^a^{r d"}

"₁

"₂

$

⁼

= !F_ar "%& '("₁

"₂

= !F_ar "

(

₂!"₁

)

^{= !F}as < 0

Teorema delle Forze Vive

•! Consideriamo un sistema di n punti materiali Pi, di massa mi, soggetti alle forze .

•! Se le masse sono costanti (approssimazione non relativistica):

36!

F!_i

dL = !

F_ii dP" !"_i

i=1

!

n ⁼ ^mⁱ^!aⁱ^{i dP}^{" !}^"ⁱ i=1

!

n ⁼ ^mⁱ^!aⁱⁱ^dPⁱ

" !"

dt dt

i=1

!

n ⁼

= m_id !v_i dt i!v_idt

i=1

!

n ⁼ ^mⁱ¹₂_dt^d

( )

^!vⁱⁱ^!vⁱ ^dt

i=1

!

n ^{= 1}₂ ^mⁱ^{d v}

( )

ⁱ²

dt dt

i=1

!

n

dL = d

dt 1

2

m_iv_i²

i=1

!

n

"

#$

%

&' dt

(10)

Teorema delle Forze Vive (II)

•! Definita l’energia cinetica:

si ha:

•! Il lavoro compiuto da tutte le forze che agiscono su di un sistema meccanico, nel passaggio da una configurazione iniziale A a una configurazione finale B è uguale alla corrispondente variazione dell’energia cinetica di tale sistema.

T !v

(

₁, !v₂,…, !v_n

)

^{= 1}₂ ^mⁱ^vⁱ²

i=1

!

n

dL =dT dt dt L_{! A,B}( ) = d L

! A,B( )

"

^{= dT}_dt ^dt

t_A t_B

#

$% =_&'T t

( )

₍₎_t^t_A^B ⁼^{T t}

( )

B ^*^{T t}

( )

A ⁼^TB*T_A

L_{! A,B}_{( )}

=

T_B

"

T_A (Teorema delle Forze Vive)

Energia Cinetica

•! L’energia cinetica ha le stesse dimensioni del lavoro:

e perciò si misura in Joule nel Sistema Internazionale.

•! L’energia cinetica non è mai negativa. È nulla se tutti i punti sono in quiete.

•! Nel caso di un semplice punto materiale:

•! Nel caso invece di un sistema di n punti materiali, definita la velocità relativa al centro di massa:

!" #$ = MLt !" ²T^%2#$

T = 1

2mv² (punto materiale)

!w_i= !v_i! !v_G

Energia Cinetica (II)

•! Si ha:

•! Poiché il centro di massa è definito come il punto G tale che:

39!

T = 1 2 m_i!v_i²

i=1

!

n ^{= 1}₂ ^mⁱ

(

^!v^G^{+ !}^wⁱ

)

ⁱ

(

^!vG+ !w_i

)

i=1

!

n ⁼

= 12 m_i

(

v_G²+w_i²+ 2!v_Gi!w_i

)

i=1

!

n ⁼

= 12v_G² m_i

i=1

!

n ^{+ 1}₂ ^mⁱ^wⁱ²

i=1

!

n ^{+ !v}^Gⁱ ^mⁱ^!wⁱ

i=1

!

n

G ! O!!!!!!"

= 1M m_i P!!!!!!_i!O"

i=1

( )

"

n ^# ^{M G ! O}

( )

^!^!!!!!^" ⁼

^"

_i=1ⁿ ^mⁱ

( )

^!^P^!!!!!ⁱ^!^O^" ^#

# m_i P!!!!!!_i!G"

i=1

( )

"

n ⁼^{M G ! G}

( )

^!^!!!!!^" ⁼⁰^"

Energia Cinetica (III)

•! Derivando rispetto al tempo:

•! Perciò:

•! L’energia cinetica di un sistema meccanico è la somma dell’“energia cinetica del centro di massa” (che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa) e dell’energia cinetica relativa al centro di massa.

40!

m_i

( !v

_i

! !v

_G

)

i=1

"

n

⁼ ^{0 #} ^!

^mⁱ

^!w

ⁱ i=1

"

n

⁼ ⁰ ^!

T = 1

2

v_G² m_i

i=1

!

n

^{+ 1} ₂

^mⁱ^wⁱ² i=1

!

n

^{+ !v}

^G

ⁱ

^mⁱ

^!w

ⁱ i=1

!

n 0!

"# $ % $

T = 1

2

M v_G²

+ 1

2

m_iw_i²

i=1

!

n (sistema di punti materiali) (Teorema di König)

(11)

Energia Cinetica (IV)

•! Nel caso di un corpo rigido, utilizzando la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi, ed essendo g la retta passante per G e parallela a :

!v

_i

= !v

_G

+ ! ! " (

P_i

#

G

)

!w

_i

= !v

_i

# !v

_G

= ! ! " (

P_i

#

G

)

m_iw_i²

i=1

$

n

⁼

^mⁱ

_%& ^! ^! ^" (

^Pⁱ

^#

^G

) _'(

²

i=1

$

n

⁼ ^!

² ^mⁱ

_%& ^{ˆu " P} (

ⁱ

^#

^G

) _'(

²

i=1

$

n

⁼ ^!

²^I^g

T = 1

2

v_G² m_i

i=1

$

n

^{+ 1} ₂

^mⁱ^wⁱ² i=1

$

n

^{= 1} ₂

^v^G² ^mⁱ i=1

$

n

^{+ 1} ₂

^I^g

^!

²

!^!

T = 1

2

Mv_G²

+ 1

2

I_g

!

² (corpo rigido) (Teorema di König)

!

! g G

P_i

!v_G

Energia Cinetica (V)

•! Nel caso di un corpo rigido, che ruota attorno a un asse fisso u (vincolato), prendendo un punto qualunque O dell’asse si ha:

!v

_i

= !v

_O

!0

"

+ ! ! " (

P_i

#

O

) ^{= !} ^! ^" (

^Pⁱ

^#

^O

)

T = 1

2

m_iv_i²

i=1

$

n

^{= 1} ₂

^mⁱ

_%& ^! ^! ^" (

^Pⁱ

^#

^O

) _'(

²

i=1

$

n

⁼

= 1 2 !

² m_i

_%& ˆu " P (

_i

#

O

) _'(

²

i=1

$

n

^{= 1} ₂ ^!

²^I^u

T = 1

2

I_u

!

² (corpo rigido vincolato a un asse)

(Teorema di König)

!

u O

P_i

Il Lavoro della Forza Peso

•! Per potere applicare il teorema delle forze vive occorre conoscere il lavoro compiuto dalle forze considerate.

•! Consideriamo innanzitutto la forza peso.

•! Abbiamo visto che il lavoro compiuto dalla forza peso su di un punto che scende lungo un piano inclinato o una superficie sferica è il medesimo e dipende soltanto dal dislivello h.

43!

h

P1

P

2

x z

dz P dx

! F = !mg ˆk!

dP

2

! h P

P1

x z

dz P dx

!

! F = !mg ˆk!

dP

Il Lavoro della Forza Peso (II)

•! Mostriamo che il lavoro compiuto dalla forza peso è il medesimo lungo qualunque curva !.

•! Il lavoro dipende soltanto dalla variazione di quota !z ed è indipendente dal percorso.

44!

F = !mg ˆk! dP" !"

= dx ˆı + dy ˆ! + dz ˆk dL = !

F i dP" !"

= !mg ˆki dx ˆı + dy ˆ! + dz ˆk

( )

^{= !mg dz}

L_{" A,B}( ) = ! F i dP" !"

" A,B( )

#

⁼ ^{!mg dz}

z A( )

z B( )

#

^{= !mg z}^{$% &'}^{z A}( )

z B( ) = mg z A_$%

( )

^!^{z B}

( )

_&'

z A

( )

z

z B

( )

A

B

! ( )

A, B